讲义结构力学大学教材章节课件讲义附例题七

§9.6对称结构的计算对称结构是几何形状、支座、刚度都对称.EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性：对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。反对称荷载——绕对称轴对这后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。对称轴对称轴EIEI对称轴↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1对称荷载对称轴↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反对称荷载1任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载aP/2FF对成荷载aaP/2WW反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F23、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)PP2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶

如果荷载对称，MP对称，Δ3P=0，X3=0；

如果荷载反对称，MP反对称，Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。3EIEIEI①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。a）位于对称轴上的截面的位移，内力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代结构PPC对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPC对称：uc=0中柱：vc=0P等代结构c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。NCNCMC2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法)4PPC2EIEIEIEI②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

a）、位于对称轴上的截面的位移，

内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构P等代结构P等代结构CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMCc）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆5EIEIEIEIQCQC

由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC返航当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP6198103.581135kNm例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m等代结构的计算103.581135MKkN·m198198103.581135kNm396207等代结构利用对称性计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；④非对称荷载分成对称和分对称荷载。EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/m7PPEI=常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图8作图示刚架的弯矩图。EI=常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/29例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=úûùêëé··+····=dEIEI13341M图(kN.m)2kN2kN

10无弯矩状态的的判定：在不考虑轴向向变形的前提提下，超静定定结构在结点点集中力作用用下有时无弯矩、、无剪力，只只产生轴力。。常见的无弯矩矩状态有以下下三种：1）一对等值反反向的集中力力沿一直杆杆轴线作用，，只有该杆有有轴力。－PM=02）一集中力沿沿一柱轴作用，只有该该柱有轴力.－PM=0M=03）无结点线位位移的结构，，受结点集中力力作用，只有有轴力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPP11EI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求图示对称刚刚架在水平荷荷载作用下的的弯矩图。M=0－P/2P/2等代结构X1基本体系l/2l/2X1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lPhkk2166+-=XP1111D-=d41626Phkk·++4166Phkk·+1241626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph4Ph2Ph2Phk很小弱梁强柱k很大强梁弱柱4Ph41920Phk=3荷载作用下，，内力只与各各杆的刚度比比值有关，而而与各杆的刚刚度绝对值无无关。内力分布与各各杆刚度大小小有关，刚度度大者，内力力也大。lIhIk12=13例：试用对称称性计算图示示刚架，并绘绘弯矩图。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：将荷载分分为正对承和和反对称两组组正对称结点荷荷载作用下各杆弯矩矩为零反对称荷载作作用取等代结构如如下1、取基本结结构；2、力法方程程：=+EI=CEAP/2P/2P/2P/2P/2P/2等代结构00P/2P/2X1基本体系X1=1X1MP3、绘求系数自由项4、解方程：：5、按绘弯矩图。1512715127M图a14§9-7超静定拱的计计算方法16m3m15X1d111HPD-=jcos1N-=1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=òjcos2dsEA+ò01dsEIyMP-=Dò21dsEAN+òd2111dsEIM=òEI11dsMMPp=DòMP=M0X1=1xyX1=1由于拱是曲杆杆δ11Δ1P不能用图乘法法基本体系是曲曲梁，计算Δ1P时一般只考虑弯曲变形形，计算δ11时，有时（在在平拱中）还还要考虑轴向变形形jjcossin0HQN--=fjsincos0HQQ-=0HyMM-=求出H后，内力的计计算与三铰拱拱相同即：三铰拱中：两铰拱中：d111HPD-=16MP=M000＝≠E1A1H=1X1=1d111HPD-=MP=M0ò=DdsEIMMPP11òò+=dsEANdsEIM212111d落地式拱带拉杆的拱作作为屋盖结构构如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的的受力状态基基本相同。如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉拉杆的三铰拱拱实际一简支曲梁，对对拱肋的受力力是很不利的的。由此可见，为为了减少拱肋肋的弯矩，改改善拱的受力力状应适当的加大拉杆杆的刚度。H*=117例：EI=常常数，求H。。拱轴线方程程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓qql81ql83ql162()xlqlM810-=()lxl2<<qxqlxM221830-=fqlHP162111=D-=d()EIlfdxxlxlfEIøöçèæ-=òddxyMdxyEIlpl10010211-=D=òòd解:简化假定:只考虑弯曲变变形;近似地取ds=dx,cos=1(平拱,f/l<0.2)。∴(0<x<0.5l)ql642ql642Mxx上例，两铰拱拱与三铰拱的的内力相等，，这不是普遍遍性结论。如果在别的荷荷载作用下，，或在计算位位移时不忽略略轴向变形的的影响，两者内内力不一定相相等。但是，，在一般荷载载作用下，两两铰拱的推力与与三铰拱的推推力及内力通通常是比较接接近的。M=M0－Hyql162M0－Hy18例：图示拱拱，EI=常数，求求其水平推推力H。拱拱轴线方程程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2X1对称荷载下下，取三铰铰拱为基本本体系，其MP=0∴Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0，而M=M对称=0基本体系＝＋在反对称荷荷载下，对对称未知力力X1=0↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2X1M反对称=M1X1+MP=MP=M0-Hy而H==0＝＝↓↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑↑↑ql642ql642M0=M0＝M反对称MP19对称无铰拱拱的计算P1P2P1P2CC1OO1P1P2X1X2X3000333322221211212111=D+=D++=D++PPPXXXXXdddddX3X2X2X1X1对称的基本本体系=oyxjcos2-=-=N2yM001111===QNMd21212112++=òòòdsEANNdsGAQQkdsEIMMX1=1引起：：X2=1引起：：=0òò+¢-=dsEIadsEIy1ò-=dsEIy12dy‘yaò--=dsEIay¢òò¢=dsEIdsEIya1δ12=δ21=0→x’O点的物理含含义：jsin2-=-=N2xMX3=1引起：：òòò+=-=DdsEAdsEIydsEIyMPP22222cosjdEIEIòò==DdsdsMPP1111dòò==DdsxdsxMP2dEIEIP333201/EIaòò¢=dsEIdsEIya1y‘y‘x‘弹性中心O刚臂的端点点O就是弹性面面积的形心心，叫弹性性中心。21例题10-3等等截面圆圆弧无铰拱拱求内力。。l=10mΦ0Φ0RRf=2.5m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ADOq=10kN/mx’X2X2X1X1Φ0Φ0RR↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓AOq=10kN/my‘yayx解:求R和φ0R=6.25mxφRdsMEIRdsMEIyayMM027.0855.1132222211121====¢-=-==òòddmEIdsdsEIyaRayyRx39.5cossin=¢==+=¢=òòjj22三铰拱的水水平推力505.2810108220=··===¢kNfqlfMHC350507.51=-=¢¢-HHH%qqRdsMMEIqRdsMMEIxMPPPPP0223.0224.024223112-==D-==D=òòmkNRaXXMMmkNaRXXMkNXHBA.98.6)cos(.76.2)(7.510212102=-+===--===jkNqRXmkNqRXPP7.51827.0.1.47121.0222221111==D-===D-=dd23pΦ0Φ0RRDOΦX1X2X3合理拱轴线线M=0，Q=0，N=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR例10-4求等截截面圆形无无铰拱在均均匀水压力力作用下的的内力。解：1）忽忽略轴向变变形，取三铰拱为基基本体系。。Δ1P=0ΔΔ2P=0ΔΔ3P=0无铰拱和三三铰拱均处于无弯矩矩状态pRpRpR=2）考虑轴轴向变形，，用弹性中心法计计算将精确确的内力状态分分为：X1X2X2yxcos012211-====jN-yMNM①不计轴向向变形产生生无弯矩状状态②单由轴向向变形产生生的附加内内力状态以无弯矩状状态作基本本体系cos0221·==D=DòòjPPPdsEApRdsEANNMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR基本体系24cos22+=òòjdsEAEIdsy222222+=òòdEAdsNEIdsM如果在某一一荷载作用用下，三铰铰拱处于无无弯矩状态态，则在同同一荷载作作用下，与与三铰拱轴轴线形式相相同的无铰铰拱的内力力在忽略轴轴向变形时时也处于无无弯矩状态态；考虑轴轴向变形时时产生不大大的弯矩，，接近无弯弯矩状态。。X2X225§9.8温度改变、支座座移动时超静定定结构的内力由于超静定结构构由多余约束，，所以在无荷载载作用时，只要要有发生变形的的因素，如温度度改变、支座移移动、材料收缩缩、制造误差等等，都可以产生生内力（自内力力）。261、温度内力的计计算（仅自由项计算算不同）例9-6图图示刚架施工时时的温度为15°C，使用期期间（冬季）温温度如图。求温度变变化产生的内力力。EI=常数数。－35°－35°－35°+15°+15°+15°40cm60cm8m6mX1基本体系X1=166δ11X1+Δ1t=001523515t--=25C-=o)35(15t--=D50C=o1143223622666861EIEI=úûùêëé···+··=d6800=a1)81)(25()22/6686(6.050t·-+··+·=Daa1111XNNXMM==111174.154326800EIEIXt-=-=D-=aad94.2N=－15.74M&N×αEI+15°+15°+15°－35°－35°－35°ååD±Δit=MNhttwawa0温度改变时的力力法计算特点：：1）自内力全由多多余未知力引起起，且与杆件刚刚度的绝对值有关；2）系数计算同前前；3）自由项计算ååD±Δit=MNhttwawa027t0C2t0C2t0C2t0C2t0C图示封闭框温度度变化如图，画出弯矩图的大大致形状。2t0C2t0C2t0C2t0C2t0C－t0C282、支座移动时时的计算aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEIlaX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系数计算同前前；自由项ΔiC=－∑R·cc是基本体系支座座位移。3）内力全由多余余未知力引起，，且与杆件刚度度的绝对值有关关。支座移动时的力力法计算特点：：1）取不同的基本本体系计算时，，不仅力法方程程代表的位移条条件不同，而且且力法方程的形形式也不一样。。基本体系的支支座位移产生自自由项。与多余余未知力对应的的支座位移出现现在方程的右边边。29用力法求解单跨跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddúûùêëéD-+=úûùêëéD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X130θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22=qC232=-DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM当杆件两端为刚刚结或固定，且且无相对侧移时时，可在一端及及距该端2/3处加铰选基本体体系，可使相应应付系数等零。。31↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本体系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2Δ1=0Δ2=0当{原结构与基本体体系受力和变形相同同=36=－13.5求原结构的位移移就归结求基本体系的的位移。X=16MCDDD求ΔDH16=——（2×6×135－6×81）EI61134=——EI虚拟的单位荷载载可以加在任一基本体体系上，计算结果相同。。例：ΔGVGG13M11.56×1.581729=－———·—=－——2EI24EI§9.9超静定结构位移移计算32超静定结构在支支座移动和温度度改变下的位移移计算c1c2MNQMNQRP=1MNQt1t2MNQP=1GAkQEANEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a033å-cR综合影响下的位位移计算公式aEIlM例9-7求求例9-5中超超静定梁跨中挠度。P=1l/41/2P=1l/2l/234求超静定结构因因温度改变、支支座移动产生的的位移时，若选选原结构建立虚虚拟力状态，计计算将会更简单单。cEI,l,t0,ΔtP=1①②虚功原理而：T12=035Δc=－∑R*×c3Pl/16P=1aEIl例：求超静定梁梁跨中挠度。5P/16例：求超静定结结构，各杆EI为常数，截面为矩形，h=0.1l，求A点水平位移。ll/2l/215°15°15°25°AP=11/21/2l/2l/2P=1－1/2＋1－136例：求超静定结结构，各杆EI为常数截面为矩形，h=0.1l，求C点竖向位移。ll/2l/215°15°15°25°CP=1P=1403l403l－3/40－1/2－1/2解：在原超静定定结构上虚拟单位荷荷载，并用力法求得其其弯矩图和轴力图。。371）重视校核工作作，培养校核习习惯。2）校核不是重算算，而是运用不不同方法进行定定量校核；或根据结构的性性能进行定性的的判断或近似的的估算。3）计算书要整洁洁易懂，层次分分明。4）分阶段校核，，及时发现小错错误，避免造成成大返工。力法校核1）阶段校核：①计算前校核计算算简图和原始数数据，基本体系系是否几何不变。②求系数和自由项项时，先校核内内力图，并注意意正负号。③解方程后校核多多余未知力是否否满足力法方程程。§9.10超静定结构计算算的校核382）最后内力图总总校核：a）平衡条件校核核4m2m2m4m200kN751251522.511.3＋＋＋－－Q图（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3N图（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)B6040100∑M=02003.77515147.511.322.5∑X=3.7+11.3－15=0∑Y=75+147.5－200－22.5=039δij=∫MjMi/EI×ds=δji力法基本体系与原原结构等价的条件件是n个位移条件，Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0将它们展开得到力力法方程Δi=∑δijXj+ΔiP=0i，j=1，2，……n其中：解方程，求多余未知力；按M=∑Mj·Xj+MP

叠加最后弯矩图。ΔiP=∫MPMi/EI×ds这样，超静定结构构的最后弯矩图，，与任意基本体系系的任一多余未知力的单位弯弯矩图图乘结果如如果等于零，则满满足变形条件。注意：这个结论对对温度改变或支座座移动引起的超静静定结构计算是不不成立的。2)变形条件的校核δii=∫MiMi/EI×ds>0+=åòòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=òåPjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+åiPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP404m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)BAXA=144200380-=12402044-·+3422410024úûù··-VA2420021êëé·=DAX1=1111040¹=úûù14215301êëé·-+úûù142603021êëé·-+4220401úûùêëé·-=ò1dsIM=D