2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的求．参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式P(AB)P(A)P(B)S4πR2如果事件A，B相互独立，那么其中表示球的半径RP(AB)P(A)P(B)球的体积公式V4πR33如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P(k)CkPk(1P)(k01,，2，，n)nknn一、选择题sin585（1）o的值为2(A)22(B)233(D)2(C)2集UAB，则集合ð(AB)U(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全中的元素共有(A)3个（B）4个（C）5个（D）6个x1（3）不等式1的解集为x1x0x1xx1（B）x0x1（A）（D）xx0x1x0（C）1（4）已知tana=4,cot=,则tan(a+)=37(B)77(D)713(A)(C)111113xy22－＝1a＞0，b＞0y＝x2＋1相切，则该双曲线的的渐近线与抛物线（5）设双曲线ab22离心率等于356（D）（A）（B）2（C）f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx＞x0，则f(1)g(1)（6）已知函数（A）0（B）1（C）2（D）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有2名女同学，若从甲、乙两组中各选出（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种||||||,，则a,ba、b、c满足abcabc（8）设非零向量（A）150°（B）120°（C）60°（D）30°（9）已知三棱柱ABCABC的侧棱与AABC底面边长都相等，在底面上的射影为BC1111的中点，则角的余弦值为异面直线AB与CC所成的13(A)45734(B)(C)(D)444中心对称，那么的最小值为y3cos(2x)的图像关于(,0)(10)如果函数点3(A)(B)(C)(D)6432（11）已知二面角,3内，P到的距离为，Ql为60，动点P、Q分别在面023到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为x2C:y21的右焦点为F,右准线B。若l，点Al，线段AF交C于点（12）已知椭圆2FA3FB,则AF=23(A)(B)2(C)(D)3第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．(xy)10xyxy（13）的展开式中，73的系数与的系数之和等于37_____________.SS72aaa_______________.（14）设等差数列{a}的前n项和为。若，则249nn9。(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，则球O的表面积等于__________________.l:xy10与l:xy30所截得的线段的22，（16）若直线m被两平行线长为12则m的倾斜角可以是①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)．．．．．．．．．{a}的前设等差数列ns，公比是正数的等比数列{b}的前T，已知n项和为n项和为nnna1,b3,ab17,TS12,求{a},{b}的通项公式.113333nn(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）在ABC中，内角的对边长分别为.已知A、B、Ca、b、cac22b，且2sinB4cosAsiCnb，求.(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）SABCD中，底面为矩形，底面SD如图，四棱锥ABCDABCD，AD2，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM60（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；SAMB的大小。（同理18）（Ⅱ）求二面角(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比甲、乙各胜1局。赛结果相互独立。已知前2局中，（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。（21）（本小题满分已知函数f(x)x43x26.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．yf(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方（Ⅱ）设点P在曲线程(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．如图，已知抛物线E:y2x与圆M:(x4)2y2r2(r0)相交于A、B、C、D四个点。（Ⅰ）求r的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。2解：sin585osin(360o225o)sin(180o45o)sin45o，故选择A。22【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理1）解：AB{3,4,5,7,8,9}，AB{4,7,9}ð(AB){3,5,8}故选A。也可用摩根U定律：痧(AB)(A)(?B)UUU3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解：xx11xxxxx0x0，1|1||1|(1)(1)0422故选择D。4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。1tantantantan43112解：由题tan3，tan()7，故选择B。115【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。bxy的一条渐近线方程为，代入抛物线方程axy22－＝1a＞0，b＞0解：由题双曲线a2b2整理得ax2bxa0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a20，即c25a2e5，故选择C。（6）【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令x112lgx1得，即，又，所以f(1)g(1)2，f(1)1g(1)1故选择C。（7）【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。CC1C1C1C1C2345解：由题共有，故选择D。2562536（8）【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。知a、b可构成菱形的两条相邻边，B。解：由向量加法的平行四边形法则，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择（9）【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）设BC的中点为D，连结AD，AD，易知AAB即为异面直线解：AB与CC所成的111ADAD3角,由三角余弦定理，易知coscosAADcosDABAAAB4.故选D11(10)【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。4y＝3cos2x＋的图像关于点，0中心对称解:函数313(kZ)24kk||由此易得min.故选A3266（11）【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理10）解:如图分别作QA于A,ACl于C,PB于B,PDl于D，连CQ,BD则ACQPBD60,AQ23,BP3，ACPD2又PQAQ2AP212AP223当且仅当AP0，即点A与点P重合时取最小值。故答案选C。（12）【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定，义基础题。l过点B作BMl于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题解：意FA3FB,|BM|2故.又由椭圆的第二定义,得BF222AF||2.故选A||3233（13）【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）解:因T(1)rCrx10ryr所以有C(C7)2C32403r110101010（14）【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题。（同理14）解:a是等差数列,由S72,得S9a,a8n9955aaa(aa)a(aa)a3a24。2492945645(15)【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。RR，圆解：设球半径为M的半径为r，则3r，即r3由题得R()23，2222。RR216所以442（16）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。|31|d解：两平行线间的距离为2，由图知直线m与l的夹角为30o，l的倾斜1111角为45o，所以直线m的倾斜角等于30450750或4530015。故填写①或⑤0oo(17)【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题。解：设b的公比为0q，a的公差为d，数列nnab17得12d3q217①由33TS12得q2qd4②33由①②及q0解得q2,d2故所求的通项公式为a12(n1)2n1,b32n1。nn(18)【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。acb2bccosA，解：由余弦定理得222ac2b,b0，又22b22bccosA2b，即b2ccosA2bsinB由正弦定理得①csinCsinB4coAssCin又由已知得sinB4cosA，sinC所以b4ccosA②故由①②解得b4(19)解法一：（I）作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME平面SAD连接AE，则四边形ABME为直角梯形作MFAB，垂足为F，则AFME为矩形设MEx，则，SExED2AD2(2x)22AEMFAE(2x)22,FB2x由MFFBtan60。,得(2x)223(2x)x1解得1即ME1，从而MEDC2所以M为侧棱SC的中点MBBC2MC22，又ABM60,AB2,所以ABM为等边三角形，（Ⅱ）又由（Ⅰ）知M为SC中点SM2,SA6,AM2，故SASM2AM2,SMA902BGAMGH,AM,由此知BGH取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则SAMB的平面角为二面角连接BH，在BGH中，BG3AM3,GH1SM2,BHAB2AH2222222所以cosBGHBG2GH2BH622BGGH36SAMB的大小为arccos()二面角3解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设A(2,0,0)，则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）设SMMC(0),则221122,),MB(2,)M(0,,11又AB(0,2,0),MB,AB60故MBAB|MB||AB|cos60)2(2)24211(2)2(即1SMMC解得1，即所以M为侧棱SC的中点（II）211由M(0,1,1),A(2,0,0)，得AM的中点G(,,)222231又GB(,,),MS(0,1,1),AM(2,1,1)222GBAM0,MSAM0GBAM,MSAM所以因此GB,MS等于二面角SAMB的平面角GBMS6cosGB,MS|GB||MS|3SAMB的大小为arccos(6)所以二面角3(20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第i局甲获胜”为事件A(i3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件B(j3,4,5)。ij（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则AAABB，由于各局比赛结果相互独立，故3434P(A)P(AABB)P(AA)P(BB)34343434P(A)P(A)P(B)P(B)34340.60.60.40.40.52（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而BAABAAABA，由于各局比赛结果相互独立，故34345345P(B)P(AABAAABA)34345345P(AA)P(BAA)P(ABA)34345345P(A)P(A)P(B)P(A)P(A)P(A)P(B)P(A)343453450.60.60.40.60.60.60.40.60.648（21）【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（Ⅰ）f'(x)4x36x4x(x6)(x6)22令f'(x)0得6x0或x；62266令f'(x)0得x或0x22因此，fx在区间(6,0)和(6,)26为增函数；在区间和(,)226(0,)为减函数。2（Ⅱ）设点0P(x,f(x))，由0l过原点知，l的方程为yf'(x)x，0f(x)xf'(x)，因此000即3xx6x(4x36x)0，4020000整理得(x1)(x22)0，020x或x2解得200因此切线l的方程为y2x或y22xE:yx代入圆M:(x4)2y2r2(r0)的方程，消去(22)解：（Ⅰ）将抛物线2y2，x7x16r20整理得2①E与M有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根x、x122(7)4(16r)02xx70由此得21x1x16r20215解得r2164又r0所以r的取值范围是(15,4)2A(x,x)、B(x,x)、C(x,x)、D(x,x)。设四个交点的坐标分别为1（II）1112222xx7,xx16r2，r(15,4)I）根据韦达定理有12则由（212则S12|xx|(xx)|xx|(xx)221122112S2[(xx)24xx](xx2xx)(7