大连市必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(答案解析)

一、选择题13cm的内切球，则此棱柱的体积是（）.．正三棱柱有一个半径为A．93cm3B．54cm3C．27cm3D．183cm3cm2．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2cm3．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积（单位：cm2）是（）B1025．1625．1325D．A．10C”“”的（）是“l4．已知平面内一条直线l及平面，则A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件ABCDABCDDD中，E是棱的中点，F是侧面5．如图所示，在棱长为的正方体a11111//面ABE，则F在侧面上的轨迹的长度是（）CDDC11上的动点，且CDDC1BF111a．2a．A．aBC2D．a22ABCDABCDBD16．如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面OAC111111ABD于点M，则下列结论正确的是（）11A．A,M,O三点共线C．A,M,C,O不共面B．A,M,O,A不共面1DB,B,O,M．共面17ABCDABC．已知三棱锥中，侧面底面，是边长为的正三角形，BCDABC3BCD是直角三角形，且BCD90，，则此三棱锥外接球的体积等于(CD2)6432．．43．12ABCD．33ABCDABCDABAD23CC2中，，，则二面角18．在长方体1111CBDC的大小是（）B．45º9．设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不．若α⊥βα∩βmm⊥nn⊥β1A．30ºC．60ºD．90º下列说法正确的是（）同的直线，A，＝，，则B．若α⊥β，，则n∥αn⊥βC．若m∥αm∥βα∥β，，则D．若m⊥αm⊥βn⊥αn⊥β，，，则102．边长为的正方形沿对角线折叠使得ABCDACACD垂直于底面，则点ABCC到平面的距离为（）ABD26．323．322．36ABCD．311．如图，在长方体﹣1中，AA1＝8，AB＝3，AD＝8，点是棱的中ABCDABCDMAD111NAAPADDACP∥点，点是棱的中点，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面1111CMNCP，则线段长度的取值范围是（）1D3,17．A17,5B．，[45]C．，[35]．1218cmA,B,C2cm．用一根长为的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将半径为的球放.M()置在这个框架上（如图）若是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为33．AcmB．3cm3C．33cm3D．93cm334．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）13l．若，，则．若，，则Al//l////Bl//l．若，，则l．若，，则l//ClDl//14,．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长是（）A．9cmB．10cmC．12cmD．15cm二、解答题梯形中，，平面平面SAB15SABCD．如图，在四棱锥中，底面ABCDBC//ADABCDSABAC2AB4，BC2AD2CD25.，是等边三角形，已知1SAB（）求证：平面平面；SAC2ADSAC（）求直线与平面所成角的余弦值.16CADABC90，中，．如图所示，在四棱锥PABCDBACADC30，PA平面ABCD，E为PD中点，AC2.1（）求证：AE//平面PBC.3（）若四面体的体积为，求的面积2PABCPCD.3AB4，，点AD2．如图，在长方形中，ADEE是的中点．将沿DC17ABCDAE折起，使平面平面ABCE，连结、DC、EBDBADE1（）求证：平面BDE；AD2BDC.锐二面角的余弦值（）求平面ADE与平面所成ABCABC中，侧棱垂直于底面，1ACBC，18．如图，在三棱柱11ACBCCC，，AB，BC的中点．分别为11EF1（）求证：ACCF；Ⅰ1Ⅱ∥（）求证：平面ACF；11BEⅢ（）在棱上是否存在一点G，使得平面BEG平面？说明理由．ACFCC1111ABAC,A12019．如图，在等腰三角形中，ABCMD，为线段BC的中点，为线△ADCACBD．段BC上的一点，且，沿直线AD将ADC翻折至，使点BDBA11AMC1（）证明：平面平面；ABD1CADB的平面角的余弦值．12（）求二面角20ABC－ABC柱AB⊥中，侧面，是上的中点，且BC＝1，BBCCECC．如图，在直三棱111111BB1＝2.1BE⊥（）证明：平面；ABE13ABEA异面直线AB和A1C1所成角的大小.锥－1的体积是，求32（）若三棱21．如图，在四棱锥PABCD中，四边形为菱形，BAD60ABCD，△PAD为正EFADPC三角形，且，分别为，的中点．ⅠPEB（）求证：DF//平面；ⅡPEB（）求证：BC⊥平面．22ABCDEFFA⊥ABCDAD//BC//FE，AB⊥AD，为的中MEC中，平面，．如图，在五面体12点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.I（）证AMD⊥明：平面平面；CDEII二面角A﹣CD﹣E的余弦值.（）求23PD2的菱形，底面ABCD.．如图，四棱锥PABCD的底面是边长为（）求证：AC平面；1PBD若PD2，直线DBP452（）PABCD的体积.底面是正侧棱PD底面过E点作EFPB交PB于点F.求证：，求四棱锥PABCDABCD24．如图所示，在四棱锥中，方形，ABCD，PDDC，E是PC的中点，1PA//（）平面EDB；（）PB平面EFD2.ABCDABCD中，点是BD中点．O125．如图，在棱长为1的正方体111BDDBCOC1:（）求证平面平面；111CBDC的正切值．2（）求二面角1中，26．如图，已知三棱柱ABCABC1，为上一点，平面ABACDBCAB111ACD．11DBC;（）求证：为的中点ACD2ABC（）若平面平面，求证：为直角三角形BCCB.111***【参考答案】试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．BB解析：【分析】由题意知正三棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，可得底面正三角形的边长为6cm，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则正三棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，3a133a6cm，，解得设底面正三角形的边长为acm,则2∴正三棱柱的底面面积为66393cm2，122故此正三棱柱的体积V＝932354cm3．B故选：．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.2．CC解析：【分析】求解出a,b,c设出长方体的三条棱的长度为a,b,c，根据表面积公式S2abbcac在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为a,b,c，所以长方体表面积S2abbcacabbcac，222取等号时有abc，又由题意可知abc不可能成立，所以考虑当a,b,c的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：，8,8,9用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9，2888989416cm2.所以最大表面积为：故选C.【点睛】的最aba0,b0本题考查基本不等式与长方体表面积最大值的综合，难度一般.求解abab2大值，根据ab可知最大值为，此时要注意取等号的条件ab是否成2a,b.立，若取等号的条件不成立，则满足条件的相差最小时可取得最大值3．BB解析：【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱ABCDABCD，由矩形的面积公式得出1111.该几何体的侧面积【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱ABCDABCD，如下图所示1111ADAD1222511122222521025该几何体的侧面积为B故选：【点睛】.本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题4．BB解析：【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】“l⊥β”“α⊥β”解：由面面垂直的定义知，当时，成立，l当时，不一定成立，即是”的充分不必要条件，“l”“B故选：．【点睛】.本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题5．DD解析：【分析】解：设G，H，I分别为CD、CC、CD边上的中点，11证明平面平面，ABGE//BHI11112求出HICD1aABE得到BF//1面，则F落在线段HI上，122【详解】解：设G，H，I分别为CD、CC、CD边上的中点，111AB//EG,则ABEG四点共面，11EG//HI,BH//AE,平面ABGE//平面BHI，1111BF//面ABE，F落在线段HI上，1又1正方体ABCDABCD中的棱长为a，1111HI1CDa，22212即F在侧面CDDC1上的轨迹的长度是a．21故选：D．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题.6．A解析：A【分析】连接AC,AC，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.11【详解】连接AC,AC，则AC//AC，1111A,C,C,A四点共面，11AC1ACCA平面，11MAC，平面ACCA，M111M平面ABD，11ACCAABD点M在平面与平面的交线上，1111O在平面与平面的交线上，ACCAABD1111同理点A,M,OA三点共线，故正确；A,M,O三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，A,M,O,A四点共面，A,M,C,OBC四点共面，故，错误；1BB平面ABD，OM平面ABD，B平面ABD且BOM，111111111BB和是异面直线，OM1B,B,O,M1D.四点不共面，故错误A.故选：【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据.两平面的公共点在一条直线上即可判断7．BB解析：【分析】把三外接球的体积．【详解】棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥三棱锥ABCD中，ABCBCD侧面底面，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；3AB33；AM且2223233AM1CD1，，接球的球心为O，则AG设三棱锥外3OG322所以三棱锥外ROAOG2AG2接球的半径为12(3)22，323．V4R423所以三棱锥外接球的体积为333故选：B．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．8．AA解析：【分析】CCABCDABCDO，平面，所以即在平面上的投影，易知CC11取BD中点为COBD，再利用线面垂直证明BDCO，得到COC即二面角CBDC，再计111.算二面角大小即可【详解】由题意，作出长方体ABCDABCD的图象，1111取BD中点为O，连接CE、CE，1CCCC1因为平面，所以即在平面上的投影，ABCDABCD1又BD平面ABCD，所以CCBD，1因为ABAD23，所以四边形ABCD是正方形，O为BD中点，所以COBD，又COCCC，1所以BD平面COC，又CO平面COC，所以BDCO，1111COCCBDC，即二面角11232232又CC2，CO6，12tanCOC2所以3，COC30.6311A故选：【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于.中档题9．DD解析：【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】αβmn由、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，知：Aα⊥βα∩βmm⊥n在中，若，＝，，则与相交、平行或，故错误；nβn⊂βABα⊥βn∥α在中，若，，则与相交、平行或，故错误；nβn⊂βBCm∥αm∥β在中，若，，则与相交或平行，故错误；αβCDm⊥αm⊥βα∥β在中，若，，则，∴n⊥αn⊥β若，则，故正确D.D.故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运.算求解能力，是中档题10．AA解析：【分析】取AC的中点O，连接DO和BO，由等腰三角形的性质得出DOAC，可求出和DOBO的长，再由平面ACD平面ABC，根据面面垂直的性质可得DO平面ABC，进而得到DOOB，利用勾股定理即可求出BD，最后利用等体积法得出VCABDVDABCC.，进而求出点到平面的距离ABD【详解】解：取AC的中点O，连接DO和BO，则DOAC，BOAC，由于四边形ABCD是边长为的正方形，2ADCDABBC2，22，DOBO222，AC则222222由题知，平面ACD平面，且交线为，而DO平面，则DO平面ABC，ABCACACD又BO平面，所以DOBO，ABC在RtBOD中，BD222，2222sin603，12△ABD是等边三角形，则S△ABDS则在RtABC中，1222，2ABC设点C到平面的距离为ABDd，1，即d1SDO，VCABDVDABCS△ABD则33△ABC1即：3d126，322，解得：3d326C到平面的距离为.ABD3即点A.故选：【点睛】本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查.推理证明和运算能力11．AA解析：【分析】取中点，取中点，连接、、，则平面CMN∥平面，推导出PADEDDFEFCECFCEF111111线段EF，当P与EF的中点O重合时，线段长度取最小值PO，当P与点CPE或点F重合1时，线段C1P长度取最大值PE或PF，由此能求出线段【详解】CP长度的取值范围．1ADEDDFEFCECF解：取中点，取中点，连接、、，11111则EF//MN,EFMNCMN面，面，所以MNCEF//面，MNCEFECE，又EC//MNC1同理面，1则平面MNC∥平面，CEF1四边形内一动点∵P是侧面（含边界），C1P∥平面MNC，∴P线段EF，∵在长方体﹣ABCDABCD中，AA1＝8，AB＝3，AD＝8，1111则CECF32425，所以ECF为等腰三角形，111∴PEF当与的中点O重合时，线段CP长度取最小值PO，1当P与点E或点F重合时，线段长度取最大值PE或PF，CP1∴CPCECF5EF，42442，21max11CPCOCE2EO2252217．21min11．∴线段CP17,5长度的取值范围是1A故选：．【点睛】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．12．DD解析：【分析】93cm2，从出ABC内切圆半径r3cm，其面积S由等边三角形的性质，求ABCh3，进而可求.最大值而可求四面体MABC的高max出体积的【详解】O解：设球的圆心为O，半径为R，ABC内切圆圆心为，由题意知ABC三边长为16cm，则ABC内切圆半径r1ABcos303cm，则OOR2r1，23134AB293cm2，hOOR3.因为S所以四面体MABC的高max1ABC13所以四面体MABC体积的V最大值Sh93cm3.maxmaxABC:D.故选【点睛】.出球心到三角形所在平面的距离.本题考查了三棱锥体积的求解本题的难点是求13．DD解析：【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若l//，l//，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.l，则与可能的位置关系有相交、平行或lB.若，l//,所以不正确.C.若，l，所以不正确.，则可能lD.若l//，lll，又l.面平行的性质过的平面与相交于l，则l，由线所以l，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.14．A解析：A【分析】31，计算得到答案.计算得到r:r1:4，根据相似得到l3412【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则r:r1:4.1231，故l9.设圆台母线长为l，根据相似得到：l34故选：A.【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、解答题85.1015．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）在ABC中，利用勾股定理易证ABAC，再由平面SAB平面ABCD，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明.（2）由（1）以A为原点，以AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系，分别求得AD的坐mx,y,z，再由cosAD,m|ADm||AD||m|标和平面SCA的一个法向量求解.111【详解】ABC中，由于AB2，CA4，BC25，（1）在∴AB2AC2BC2，ABAC,平面SAB平面ABCD，AC平面SAB,又因为AC平面SAC,所以平面SAB平面；SACAxyz2（）如图建立空间直角坐标系，B(2,0,0)C(0,4,0)则A(0,0,0)，，S(1,0,3)，，则CS(1,4,3)，BC(2,4,0)，AC(0,4,0)，AD1BC(1,2,0).2mx,y,z设平面SCA的一个法向量，111mAC04y0，即1x4y则mCS03z0111∴m(3,0,1).cosAD,m|ADm||AD||m|1015，设直线与平面所成夹角为，ADSAC15，10则sin|cosAD,m|85∴ADSAC直线与平面所成夹角的余弦值为.10【点睛】(1)方法点睛：利用向量求线面角的方法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向()(2)向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．1612．（）证明见解析；（）.27【分析】1CDAF（）取中点F，连接EF，，利用面面平行的判定定理证明平面AEF//平面PBC，再用面面平行的性质可得AE//平面PBC；AQCDQ于，连接，，求出和后，PQAQPQCD2（）根据体积求出PA，过A作.根据三角形面积公式可求得结果【详解】1CD（）取中点F，连接EF，，则AFEF//PC，又BCDAFD120，∴AF//BC，∴平面AEF//平面，PBC∴AE//平面PBC.，，AC2（）因为CADABC90，BACADC302BC1,AB3所以1132ABBCPA311，即31PA332由已知得：VPABC，33PA2过A作AQCDQ.可得于，连接，，PQAQ∴PAAQ∵PA平面ABCD，，PACD，CDPQ，∴AC2，CAD90，ADC30，中，△ACD，ACAD223∴CD4，AD23AQ3，CD4PQPA2AQ22237，∴S12PQCD17427.2△PCD【点睛】.关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键111712．（）证明见解析；（）．11【分析】（）计算出AEBE得证1AEBE，从而由面面垂直性质定理得线面垂直中，又得线线垂直，再由已知线线垂直ADAE可证得结论线面垂直；ADBE（）取的中点，连结，可证DO平面，过2AEODOABCEE作直线EF//DO，以yEA、EB、EF分别为轴，xz轴建立空间直轴，角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（）证明：∵ADDE2，ADE901∴AEBE22，AB4，，∴AEBEAEBE2AB22∴又平面平面ABCE，平面平面ABCEAE，ADEADE∴BE平面ADE，又AD平面ADE，所以，ADBE又ADDE，DEBEE，所以AD平面BDE.（）取AE的中点，连结，DO∵DADE，∴DOAE，2O又平面平面ABCE，∴DO平面ABCE，ADE过E作直线EF//DO，y以EA、EB、EF分别为为轴，xz轴建立空间直轴，角坐标系：则E(0,0,0),A(22,0,0),B(0,22,0),D(2,0,2)，C(2,2,0)平面ADE的法向量n//EB，n(0,1,0)11又CB(2,2,0)，DB(2,22,2)，设平面BDC的法向量为nx,y,z，22x2y0nDB0x2yz0nCB02xy0，，即2x22y2z02平面BDC的法向量n(1,1,3)2cosn,nnn123211111112nn12121211∴平面ADE与平面BDC所成锐二面角的余弦值为.11【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角．证明线面垂直的方法是：根据线面垂直的判定定理先证线线垂直，当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直．三个垂直相互转化可证结论；求二面角（空间角）常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，用计算代替证明．18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在棱CC上存在点G，且G为的CC11中点．理由见解析.【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABCABC中，平面，则ABCCC由侧棱垂直于底面，可得1111CCAC，再由ACBC，结合线面垂直的判定可得AC平面BCCB．从而得到111ACCF；1（Ⅱ）取AC的中点，连结EH，．可得EH//BF，且EHBF．则四边形HFH11BEHF为平行四边形，则．再由线面平行的判定可得BE//平面ACF；BE//FH11（Ⅲ）在棱CC上存在点G，且G为的CC中点．连接EG，GB．首先证明111△CCF．可得CCFBGC90，则BGCF△BCG．由（Ⅰ）可得11111111BBCCACAC平面，得到BBCCACBG．由线面平面．即垂直的判定可得111111111BG1ACFBEG1ACF平面．进一步得到平面平面．1111【详解】解：（Ⅰ）在三棱柱ABCABC中，111因为侧棱垂直于底面，CC平面．又AC平面ABC所以1ABC所以CCAC．1因为ACBC，CCBCC，平面，平面CC1BCCBBCBCCB11111所以AC平面BCCB．11CF平面BCCB，因为111所以ACCF．1Ⅱ（）取AC中点，连结EH，．HFH111则EH//BC，且EHBC，112111又因为BF//BC，且BFBC，11211所以EH//BF，且EHBF．所四边形BEHF为平行四边形．BEFH．所以//又BE平面ACF，FH平面ACF，1111所以BE//平面ACF11Ⅲ（）在棱上存在点，且为的中点．GCC1CCG1连接EG,GB．在正方形BBCC中，111因为F为BC中点，△BCG≌△CCF．所以111CCFBGC90．所以111BGCF．11所以由（）可得AC平面，ⅠBBCC11因为AC//AC，11所以AC平面．BBCC1111BG平面，BBCC111因为ACBG．111所以ACCFC，平面，ACFCF平面．ACFAC因为11111111111BGACF11所以平面．1BG平面，BEG因为11所以平面1BEG平面．ACF11【点睛】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法．22319．（1）见详解；（）【分析】BD平面，进而可得面面垂AMC1（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，先证明直；CF作CFAM交AMCF平面ACM（2）在平面中，过1F，由（1）知，于点111CFADFHADMGADGH，过点M作于点于点，，所以；过点F作ABD1FHAF则MG//FH，所以MGAM，连接CH，根据题中条件，得出FHC即为二面角11CADB的平面角；设AM＝1，结合条件，即可计算出结果.1【详解】（1）由题意知AMBD，又因为ACBD，ACAMA，ACAMCAMC平面，AM平面，11111所以平面AMC，BD1因为BD平面，ABD所以平面AMC平面；ABD1ACM（2）在平面中，过1CF作CFAM交AM于点11F，CFCFAD；平面，所以ABD1由（1）知，1FHADMGAD于点H，过点M作于点，则MG//FH，所以G过点F作FHAF，MGAM连接CH，1由CFAD，FHAD，FHCFF，FHCFHCF平面平面，1111CFH，所以AD平面CFH，则ADCH，111所以FHC即为二面CADB的平面角；角11设AM＝1，则ABAC2，BC3，MD2－3，DCDC332，AD62，1642，在RtAMD中，S12AMMD1ADMG，则MG2AMD在RtCMD中，MC2CD2MD29－43．2233223111设AFx，在RtCFA中，AC2AF2MC2MF2，1114x943x1，解得，2即x232，即AF＝2322MG62232CF2233FH，AFAM－4226，所以1因此CH1CF2FH283122262，21所以cosFHC23.FH226CH121CADB的平面角的余弦值是23.即二面角1【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：1（）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；2（）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.201．（）230.证明见解析；（）【分析】ABBE，由（）由侧面可得勾股定理可得1BEBE，即可证明；1AB⊥BBCC1112（）由AB//AB可得即为异面直线AB和A1C1CAB所成角，由等体积法可求得AB11111长度，即可求出角的大小.【详解】1AB⊥BBCCBEBBCC（）侧面，侧面，11111ABBE，1BC1BB2ECC＝，＝，是上的中点，11BEBE2，满足BE2BE2BB2，111BEBE，ABBEB，1B1E⊥ABE平面；2AB//ABAB即为异面直线和所成角，CABAC（），1111111A1ABEBABE且到平面的距离等于到平面的距离，11BE⊥由（）平面，故的长度即为到平面的距离，ABEBEBABE111由侧面可得AB⊥BE，AB⊥BBCC11V13SBE11AB223，解得，AB3则VABEA323AABE1ABE11则ABAB3，11BC113，ACB30，111△中，tanCAB33在RtABC1AB11111111即异面直线和所成角为30.ABAC11【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：1（）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；2（）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；3（）计算：求该角的值，常利用解三角形；0,24（）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．21Ⅰ．（）证明见解析；（）证明见解析Ⅱ.【分析】Ⅰ（）取中点，可证得四边形是平行四边形，进而可得DF//EG，最后可证PBGDEGFDF//平面PEB；（）由条件可得PEAD，BEAD，进而由线面垂直的判定定理得出结论Ⅱ.【详解】1（）取中点，因为是中点，∴FG//BC，且FGBC，ⅠPBGFPC21∵EAD是的中点，则DE//BC，且BC，∴FG//DE，且FGDE，DE2DF//EG，又平面，EG平面，∴DEGF∴四边形是平行四边形，∵DFPEBPEB∴DF//平面；PEB（）因为是正三角形边为的中点，则PEAD，ⅡEPADAD∵ABCD四边形为菱形，BAD60，正三角形中，BEAD，∵PEBEE，∴AD平面，PEB∵AD//BC，∴BAD∴BC⊥PEB．平面【点睛】方法点睛：本题考查线面平行、线面垂直的判定，解题关键是熟记线面平行和线面垂直的.判定定理，以及定理成立时的条件，考查空间想象能力，属于常考题3．证明见解析；322(I)(II).【分析】，EPPC（）取AD的中点，连结，MP，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证IP明PE,PC,AD相互垂直，从而可证明与MP,MD垂直，然后可得线面垂直，面面垂EC直；EQPACDE的平面角，在PQ,EQ，可得为二面角为QCDII（）取的中点，连结Rt△EPQ中求得其余弦值．【详解】EFAP，，．Ⅰ（）证明：取AD的中点，连结EPPC则P∵FE//AP∴FAPE，四边形是平行四边形，∴FA//EPAB//PC.，同理，又FA平面ABCD，平面ABCD，EP∴∵而PC，AD都在平面内，∴EP⊥PC，EPAD.由ABAD，可得PCAD，设FAa，则ABCDEPPCPDa，CDDEEC2a.△ECD.正三角形所以为∵DCDE且M为的中点，∴DMCE.连结MP，则MP⊥CE.CEPM∩MD=M，PMMDAMD而，在平面内，∴CE平面AMD而CE平面CDE，所以平面AMDCDE.Ⅱ为（）解：取QCD的中点，连结PQ,EQ，CEDE，∴EQ⊥CD.∵PCPD，∴PQCD∵∴EQP角ACDE的平面角.为二面由(Ⅰ)可得，EP⊥PQ，EQ6a，PQ2a．22于是在Rt△EPQ中，cosEQPPQ3．EQ3角ACDE的余弦值为.33∴二面【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．43.32312证明见解析；（）．（）【分析】ACBDPDAC，，结判定定理得出AC平面；合线面垂直的PBD1（）证明PD（）2求出菱形ABCD的面积，结合平面，利用棱锥的体积公式得出四棱锥ABCDPABCD的体积.【详解】ACBD.是菱形，所以1（）证明：因为四边形ABCD又因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以P