棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教案、导学案、课后作业

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式..能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.数学学科素养.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题.怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？.柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究棱柱、棱锥、棱台的表面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积.棱柱：柱体的底面面积为S,高为团则丫=5h.棱锥：锥体的底面面积为S,高为h,则V=〈Sh.33.棱台：台体的上、下底面面积分别为S'、S,高为h,则VMas,+qVS3+S）h.四、典例分析、举一反三题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知如图，四面体SABC的棱长均为a，求它的表面积.【答案】ma2【解析】因为四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.不妨求4SBC的面积，过点S作SDLBC,交BC于点D,如图所示.

因为BC=SB=a,SD=、；SB2-BD2=所以S=—BC,SD=-aX'3a=、3a2,aSBC2 2 2 4故四面体S-ABC的表面积S=4X亘a2=Qa2.4解题技巧（求多面体表面积注意事项）.多面体的表面积转化为各面面积之和..解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决.跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m,底面外接圆的半径是0.46m,问：制造这个滚筒需要m2铁板（精确到0.1m2）.L6mL6m【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m,所以底面正六边形的边长是0.46m.所以5侧=。卜=6义0.46义1.6=4.416（m2）.所以S=S+S+S=4.416+2X%X0.462X6'5.6（m2）.表侧上底下底 4故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD-ARCR的棱长为1,E为线段B1c上的一点，则三棱锥A-DED"T体积为.01 G【解析】V三棱锥A-DED=V三棱锥E-DDA=1X1X1X1X1=1.1 13 2 6例3如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?【答案】0.67m3【解析】由题意知长方体ABCD-A，BCD,的体积V=1x1x0.5=0.5(m3),棱锥P—ABCD，的体积V=1义1x1x0.5=1(m3),3 6所以这个漏斗的容积V=―+―=—^0.67(m3).263解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项).常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积..求几何体体积时需注意的问题

柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.跟踪训练二1、在正三棱柱ABC—A1B1cl中，D为棱人与的中点，若^BCp是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为；【答案】8【答案】8、且【解析】由题意，设AC=a(a>0),【解析】由题意，设AC=a(a>0),CC=b(b>0),则BD=CD=b2a2+］，,BC=1由ABCD是面积为6的直角三角形，得.2+由2］义2=@2+匕2,得1 I4)b2=2a2,又2义2@2=6,.,.a2=8,.,.b2=16,即b=4.：S.AB不平a2,.^=9x8X4如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF〃AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.【答案】见解析【解析】如图，连接EB,EC.

四棱锥E—四棱锥E—ABCD的体积V四棱锥e—abcd1=-X42X3=16.3•・・AB=2EF,EF〃AB,ASaeab=2SabEF・・・V=V三棱锥F-・・・V=V三棱锥F-EBC三棱锥C-EFB2三棱锥C-ABE2三棱锥E-ABC四棱锥e-abcd=4.・•・多面体的体积V=V四棱锥eABCD+V一棱锥Febc=16+4=20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1例2例32、棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题.【教学反思】本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系（棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了；棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.）使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式..能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.核心素养.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：棱台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本114-115页，填写。棱柱、棱锥、棱台的表面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个图形围成的多面体，因此它们的表面积等于的面积之和，也就是的面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积.棱柱：柱体的底面面积为S,高为卜，则丫=..棱锥：锥体的底面面积为S,高为团则丫=..棱台：台体的上、下底面面积分别为S'、S,高为h,则V=.小试牛刀.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）一个几何体的展开图有多种形式,所以其表面积是不确定的.（）（2）锥体的体积等于底面面积与高之积.（）⑶任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥.（）.若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm,则长方体的体积为（）A.27cm3 B.60cm3C.64cm3 D.125cm33.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于.【自主探究】题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m,底面外接圆的半径是0.46m,问：制造这个滚筒需要m2铁板（精确到0.1m2）.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积

例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1c上的一点，则三棱锥A—DED*q体积为.例3如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面abcd是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）?跟踪训练二1、在正三棱柱ABC—A『1cl中，D为棱AA"q中点，若△BCJ是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为；2、 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF〃AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.EF【达标检测】.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为（）TOC\o"1-5"\h\zA.22 B.20C.10 D.11.已知高为3的棱柱ABC—ARCgq底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B—AB1c的体积为（）11A-4 B-2c州 D•苧.棱长都是3的三棱锥的表面积S为..用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是..如图所示，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）.俯视阳（1）画出这个几何体（不要求写画法）；⑵求这个几何体的表面积及体积.答案小试牛刀(1)X(2)X(3)JB.6+2-J2.自主探究例1【答案】忑a2【解析】因为四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.不妨求4SBC的面积，过点S作SDLBC,交BC于点D,如图所示.因为BC=SB=a,SD=SsB2—BD2=Ja2——=-^-a,\ 12) 2所以S=』BC・SD=』aX3-0-a=-^3a2.aSBC2 2 2 4故四面体S-ABC的表面积S=4X亘a2=1a2.4跟踪训练一1、【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m,所以底面正六边形的边长是0.46m.所以S侧=函=6义0.46义1.6=4.416(m2).所以S=S+S+S=4.416+2X^3X0.462X6^5.6(m2).表侧上底下底 4故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板.例2【答案】6【解析】V三棱锥A-DED=V三棱锥E-DDA=1x1X1X1X1=1.1 1 32 6

例3【答案】0.67m3【解析】由题意知长方体ABCD-A，BCD'的体积V=1x1x0.5=0.5(m3),棱锥P—ABCD，的体积V=1义1x1x0.5=1(m3),3 6所以这个漏斗的容积V=―+―=—^0.67Cm3).263跟踪训练二bza2+bza2+J，【解析】由题意，设AC=a(a>0),CC=b(b>0),则BD=CD=BC=yaz+bz,BC=yaz+bz,X2=a2+b2,得由ABCD是面积为6的直角三角形，得az晟=以,又；x|a2=6,・・・a2=8,・・上=16,即b=4...”BC=¥a2,小=¥*8*4=8%：3.【答案】见解析【解析】如图，连接EB,EC.四棱锥E-ABCD的体积V =jx42X3=16.四棱锥E-ABCD3•・・AB=2EF,EF〃AB,ASaeab=2Sabef-・・・V三棱锥F-EBC=V・・・V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB三棱锥C-ABE三棱锥E-ABC11W—x^-V =4.2 2四棱锥E-ABCD・•・多面体的体积V=V四棱锥EABCD+V三棱锥Febc—16+4—20.当堂检测1-2.AD9黄.8.【答案】（1）如图所示.（2）表面积（22+4-.⑵cm2,体积10（cm3）.【解析】（1）这个几何体如图所示.I—三⑵这个几何体可看成是正方体Aq及直三棱柱B1clQ-ARP的组合体.由P2=Pq=小，AR=AD=2,可得PAJP:故所求几何体的表面积S―5X22+2X2X1 /故所求几何体的表面积S―5X22+2X2X\,'2+2X-X(-...,'2)2=(22+乙所求几何体的体积V=23+jXG.；2）2X2=10（cm3）.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课后作业基础巩固.将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（),2111A.一B.一C.—D.一3234.若棱台上、下底面的对应边之比为1：2,则上、下底面的面积之比是

A.1：2B.1：4 C.2：1D.4：1A.1：2B.1：4 C.2：1D.4：1.将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为（ ）A.8cmB.80cm C.40cm D.—cm5.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2,互相平行的两个侧面的5.若正方体的棱长为、5.若正方体的棱长为、5，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A姮B<2 CV3 D2A. B. C.D.3.棱长为2的正四面体的表面积是..如图，长方体ABCDA1B1clR的体积是120,E为CJ的中点，则三棱锥E-BCD的体积是..已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.

能力提升.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH.正四棱锥P—EFGH的高为行，EF=2，AE=1，则该组合体的表面积为（ ）A.20 B.4<3+12C.16体的表面积为（ ）A.20 B.4<3+12C.16.如图AAjBBjCq直线相交于点0,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，AO=A1O,BO=BO,CO=C1O.设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为..如图，在几何体ABCFED中，AB=8,BC=10,AC=6，侧棱AE,CF,BD均垂直于底面ABC,BD=3,FC=4,AE=5,求该几何体的体积.EL一「一\」& C

素养达成.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课后作业答案解析基础巩固.将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )1B.—1B.—2C.D.【答案】C【解析】将正方体ABCD-ABCD'截去四个角后得到一个四面体B-DAC,设正方体的棱长为。,则V=VB一BbA'C A则V=VB一BbA'C A'-ABD=VC-BCDa3 ,3\o"CurrentDocument"=—x—xaxaxa=—,

32 6a3 ,3\o"CurrentDocument"四面体B-DA'C'的体积V=V -4V正方体ABCD-A'B'C'D' B-DA'C1所以这个四面体的体积是原正方体体积的§.故选：C..若棱台上、下底面的对应边之比为1：2,则上、下底面的面积之比是()

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1【答案】B【解析】由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1：4.选B..将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为（ ）8cm80cm8cm80cm40cmc16D.cm5【答案】B【解析】•・•正方体的棱长为10cm,，两个正方体的体积V=2X10X10X10=2000cm3设熔化后铸成一个正四棱柱的铜块的高为acm,则5X5Xa=2000解得a=80cm故选：B.互相平行的两个侧面的4.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2,B.3互相平行的两个侧面的4.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2,B.3—m34C.1m31D.—m32【答案】B【解析】设正六棱柱的底面边长为am,【解析】设正六棱柱的底面边长为am,高为hm,贝U2ah=1, a=1,解得所以六棱柱的体积v=1/=亘二3(m3).

2 4故选：B..若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A.三6B.A.三6B.三3C.亘D.【答案】B【解析】所求八面体体积是两个底面边长为1,高为9'的四棱锥的体积和,一个四棱锥体积V=1义1X丑二拦,故八面体体积V=2V=三,故选B.13 2 6 13.棱长为2的正四面体的表面积是【答案】4V3.【解析】每个面的面积为2x2222W常，'正四面体的表面积为4石.7•如图,长方体ABCD-A】BqDi的体积是12。，E为％的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.』 』 -B【答案】10.【解析】因为长方体ABCD-A1B1clD1的体积为120,所以AB-BC-CC1=120，因为E为CC1的中点，一…1所以CE=2CC1，由长方体的性质知CC1,底面ABCD，所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高，11 __所以二棱锥E—BCD的体积V=—义―AB•BC-CE=3211 1 1=_义_AB-BC•—CC=义120=10.32 2112.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.【答案】80+48<15【解析】如图，在四棱台ABCD—ABCD中，1111过BI作B1F1BC，垂足为F，1在RtBFB中，BF=-x(8—4)=2，BB=8，1 2 1故BF=<82-22=2<15，1A所以S =1x(8+4)x2<E=12<17，梯形BB£C2故四棱台的侧面积S=4x12<15=48、必，侧所以四棱台的表面积S=48x/15+4x4+8x8=80+48<15.表能力提升.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为,/,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为（）A.20 B.4<3+12 C.16 D.4<3+8【答案】A【解析】由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为m=2，该组合体的表面- 1积为2义2+4*2义1+4x-x2义2=20.2故选：A.如图A\,6q,cq直线相交于点。，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，AO=AO,BO=BO,CO=CO.设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为.【答案】1-史.21【解析】液体部分的体积为三棱锥体积的-，流下去后，液体上方空出的三8棱锥的体积为三棱锥体积的7.设空出三棱锥的高为