线性系统的能控性和能观测性课件

第四章线性系统的能控性和能观测性4．1能控性和能观测性的定义能控性和能观测性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。不完全能控但能观测不能控不能观测电路状态能控性，能达性定义对连续时间线性时变系统如果存在一个时刻以及一个无约束的容许控制u(t),使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。注意：

对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1。系统能控性，能达性定义

该系统是不完全能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎等于1。其解为；4．2连续时间线性系统的能控性判据

结论1：(格拉姆矩阵判据)线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵。证明：

充分性为非奇异时，系统能控说明系统是能控的。必要性证明采用反证法，自阅。

由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆矩阵判据的意义主要在于理论分析中的应用。结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变系统：完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵为非奇异。(格拉姆矩阵判据)主要在于理论分析和推导中的应用。结论7：（约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8：（约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。注：1.能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。2.状态向量的线性非奇异变换不改变系统的能控性。例

图示电路，判断系统能控性条件解

选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：即（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例

系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}不为零向量。系统能控结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足如下估计：设为矩阵A的最小多项式次数，则结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r，则系统完全能控的充分必要条件为：结论12：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，将Q表为：其中：1＋2＋＋r＝n由于rankB=r，将Q中的n个线性无关列重新排列：能控性指数满足：＝max{1，2，，r}且称{1，2，，r}为系统的能控性指数集。BA-1B4．3连续时间线性系统的能观测性判据

结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵结论2：连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵为非奇异。结论4

对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵满秩，即rankQo=n结论5n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值C为复数域结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量定义：令完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为＝n。结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则设为矩阵A的最小多项式次数，则结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：结论2若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能控的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵为非奇异若系统矩阵G(k)对一个或一些k∈[h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。时不变系统的能控性和能达性判据

结论3离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l>0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l

>0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。结论4n维离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为矩阵满秩若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n为系统完全能控的一个充分条件。结论5对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。

令

若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。时变系统的能观测性判据结论6离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l∈Jk,l>h,使格兰姆矩阵为非奇异时不变系统的能观测性判据

结论7离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l>0,使格兰姆矩阵为非奇异显然，是一个p维输入q维输出的n阶系统，其对偶系统d是一个q维输入p维输出的n阶系统。d系统矩阵＝系统矩阵的转秩d输入矩阵＝输出矩阵的转秩d输出矩阵＝输入矩阵的转秩对偶系统之间具有如下属性：1.线性属性和时变属性2.系数矩阵的对偶性3.状态转移矩阵的对偶性互为转秩逆！互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。TTTATCTBTd原构系统与其对偶系统具有相同属性。4.方块图对偶属性结论:设Σ为原构线性系统,Σd为对偶线性系统,则有Σ完全能控Σd完全能观测Σ完全能观测Σd完全能控线性时不变系统，其传递函数矩阵互为对偶系统的传递函数矩阵互为转置，特征方程式相同，特征值相同。对偶性原理Σ完全能控Σd完全能观测根据这一原理，一个系统的状态完全能控（状态完全能观测）的特性，可以转化为其对偶系统的状态完全能观测（状态完全能控）的特性来研究。对偶原理的意义，不仅在于提供了一条途径，使可由一种结构特性判据导出另一种结构特性判据，而且还在于提供了一种可能性，使可建立了系统最优控制问题和最佳估计问题基本结论间的对于关系。4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件

设连续时间线性时不变系统对应的时间离散化系统其中G=eAT

H=A的特征值结论1：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。将线性连续系统化为线性离散系统进行分析和控制，是现今系统与控制理论中常为采用的一种模式。结论2：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：不是A的特征值。其中l为非零整数结论3:对时间离散化系统，使采样周期T的值，对满足Re[i－j]=0的一切特征值，成立则时间离散化系统能控的充分必要条件是eATB为行线性无关结论4:连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数l，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。4.7能控性、能观测性与传递函数的关系

结论1:单输入单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。例设单输入、单输出系统的传递函数由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论2:多输入多输出线性时不变系统能控的充分必要条件是：状态向量与输入向量之间的传递矩阵的各行在复数域上线性无关。结论3：多输入多输出线性时不变系统能观测的充分必要条件是：输出向量与初始状态向量X(0)之间的传递矩阵的各列在复数域上线性无关。4．8能控规范形和能观测规范形：SISO情形

由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间描述也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间描述化成相应的几种规范形式：如约当规范型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控规范型对于状态反馈来说比较方便，而能观测规范型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种规范形，其实质都是对系统状态空间描述进行非奇异线性变换，其关键在于寻找相应的变换矩阵。本节以线性时不变SISO系统为对象，讨论能控规范形和能观测规范形的基本形式和变换矩阵的构造方法。线性时不变系统状态空间描述为能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性引入坐标变换，则变换后系统的状态空间描述为结论1：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。能控规范形结论2：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统则通过变换矩阵或可将系统变换成能控规范形，即导出：注：1.能控规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，1，…，n-1｝

联系起来，对于系统综合与仿真研究很方便。2.完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。3.一个单输入系统，如果其A、b阵具有如上形式，则系统一定能控。4.单输入系统具有唯一的能控规范形。无特殊形式结论3：对完全能观测的n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换导出其中注：1.能观测规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，1，…，n-1｝

联系起来，对于综合系统的观测器很方便。2.完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。3.一个单输出系统，如果其A、c阵具有如上形式，则系统一定能观测。4.单输出系统具有唯一的能观测规范形。无特殊形式例：已知线性时不变能控系统的状态方程，试化为能控规范型。解：4．9能控规范形和能观测规范形MIMO情形

多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控规范型和能观测规范型，相比于单输入单输出情形，无论规范形式还是构造方法都要复杂一些。1.规范形式的不唯一性2.构造变换矩阵的复杂性本节仅讨论应用较广的龙伯格规范形。搜索线性无关的行或列的方法多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵从Qc或Qo中找出n个线性无关的列或行，通常需经过一个搜索过程。nnpnqn考察n维多输入多输出连续时间线性时不变系统能控性判别矩阵为若系统完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n个线性无关。nnp1.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“列向搜索方案”用格栅图的方法在Qc中搜索n个线性无关的列向量。格栅图b1b2b3b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn＝61

2

3搜索到1＋

2＋

3＝n停止。1＝3，

2＝2，

3＝1，l＝3Qc中的6个线性无关的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3

b1b2b3b4A0A1A2A3A4A51

2

31＝3，2＝1，

3＝22.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“行向搜索方案”rankB=r<pn＝6，p＝4，r＝3搜索到1＋2＋

3＝n停止。{1,2,3}为系统的能控性指数集。Qc中的6个线性无关的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,

Ab3BABA2BA3BA4BA5B龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形在系统极点配置综合问题中有着广泛的用途。考察完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统能控性判别矩阵为rankB=r<p采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n个线性无关的列向量，并组成非奇异矩阵：其中{1，2，，r}为系统的能控性指数集，且1＋2＋＋r＝n构造变换矩阵S{1，2，，r}为系统的能控性指数集，且1＋2＋＋r＝n对于完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统rankB=r<p基于线性非奇异变换，可导出系统的龙伯格能控规范形无特殊形式r列P-r列例：已知完全能控的连续时间线性时不变系统试将其变换为龙伯格能控规范形解：1.写出能控性判别矩阵Qc采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3个线性无关的列向量b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2b1b2A0A1A21

21＝2，2＝1rankB=r=p=2Qc中3个线性无关的列向量为b1，b2，Ab1由Qc中找出的3个线性无关的列向量组成非奇异矩阵：1＝2，2＝1龙伯格能控规范形为：4.10连续时间线性时不变系统的结构分解系统按能控性分解

设不完全能控n维多输入多数出连续时间线性时不变系统的状态空间描述为在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k个线性无关列q1,q2，…，qk；其次，在除Qc外的n维状态空间中，任意选取n-k个线性无关列qk+1,qk+2，…，qn，构成非奇异变换P-1

结构分解的实质是以明显的形式，将不完全能控或/和不完全能观测的系统分解为不同的四部分，其目的既可以深入了解系统的结构特征，又可以深入揭示状态空间描述与输入输出描述间的关系。能控性判别矩阵的秩引入非奇异线性变换其中可使系统实现按能控性的结构分解：状态向量的非奇异线性变换，不改变系统的能控性及能控程度。经非奇异变换后，系统的动态方程写为于是可得能控子系统动态方程为：不能控子系统动态方程为：由于输入u的作用，只能改变能控振型位置，不能改变不能控振型位置，这对系统分析和综合具有重要意义。结构分解形式惟一性和结果的不惟一性。基于结构分解式的能控性判据。特征值为能控振型特征值为不能控振型例：已知试按能控性进行规范分解解：系统不完全能控，取能控子系统动态方程为不能控子系统动态方程为系统按能观测性分解

设不能观测系统的动态方程为其能观测性矩阵Qo=[C,CA,CA2,…,CAn-1]T的秩为m<n，选出其中m个线性无关行，再加任意n-m个行，构成非奇异变换F系统按能观测性的结构分解对偶于系统按能控性的结构分解。能观测子系统动态方程为不能观测子系统动态方程为系统结构的规范分解

系统结构的规范分解是指，对不完全能控和不完全能观测系统，同时按能控性和能观测性进行结构分解。但变换阵Tco的构造需要涉及较多的线性空间概念。下面介绍一种逐步分解的方法。(1)先将系统按能控(能观测)性分解；(2)将不能控的子系统按能观测(能控)性分解；(3)将能控的子系统按能观测(能控)性分解；(4)综合以上三次变换，导出系统同时按能控性和能观测性进行结构分解的表达式。可通过非奇异变换，将原系统(A,B,C)变换为按能控性和能观测性规范分解的系统（Aco,Bco,Cco）。设系统（A、B、C）不完全能控、不完全能观测，可先对系统按能控性分解，即令kn-k再分别对k维能控子系统、n－k维不能控子系统按能观测性分解Fo1为kk维非奇异方阵，Fo2为(n－k)(n－

k)维非奇异为方阵。综合以上三次变换，系统的动态方程为结构分解形式惟一性和结果的不惟一性。作为输入输出描述的传递函数矩阵G(s)只能反映系统的能控能观测部分。u＋y＋系统结构规范分解方块图作为输入输出描述的传递函数矩阵G(s)只能反映系统的能控能观测部分。例：设线性时不变系统如下，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解。解：1.系统能控性判别阵rankQc=2<n=3,所以系统是不完全能控的。取

其中q3是任意的，只要能保证P非奇异即可。2.按能控性进行结构分解变换后的系统的状态空间描述为：显然，不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。将能控子空间按能观测性进行分解。能控子系统为

3.对能控子系统按能观测性进行结构分解显然，能控子系统不完全能观测即

综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性分解为

能控能观测：x1，x2能控不能观测：x3，x5不能控能观测：x4不能控不能观测：x6结构分解的另一种方法按此顺序重新排列，可导出；4.11最小实现

由描述系统输入—输出动态关系的微分方程式或传递函数建立系统的状态空间描述，这样的问题叫实现问题。由于状态变量的选择是非唯一的，因此实现也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或传递函数都能求得其实现，实现存在的条件是

从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构的系统中，其中维数最小的一类实现就是所谓的最小实现。对于给定传递函数阵G(s)，若有一状态空间描述使之成立则称为传递函数阵G(s)的一个实现。当m<n时，D＝0当m=n时，标量传递函数的实现(单输入单输出系统)上式中的d就是下列动态方程中的直接传递部分所以只需讨论上式中的严格真有理分式部分。给定严格真有理函数设给定