力矩分配法课件

结构力学欢迎使用工程力学系多媒体教学课件系列第7章力矩分配法水利土木工程学院结构力学课程组水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法本章要理解力矩分配法的概念及基本原理、基本思路，重点掌握用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。这也是本章的难点在学习中要清楚力矩分配法是一种渐进法，要明确两个状态——固定状态和放松状态，掌握力矩分配法的三要素（固端弯矩、分配系数、传递系数）的计算，才能真正领会力矩分配法的意义。另外，在熟练掌握力矩分配法的基础上，本章还将简单介绍无剪力分配法、附加链杆法和分层法等实用计算方法。它们与力矩分配法通称为渐进法。要理解这些方法的计算原理。第7章教学基本要求、重点和难点：水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法第7章§7.6多层多跨刚架的分层计算法水利土木工程学院结构力学课程组§7.1基本概念二、力矩分配法的正负号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。另外，作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。第7章力矩分配法一、力矩分配法的应用条件理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：通过增量调整修正，逐步逼近真实状态；适用范围：连续梁和无侧移刚架。水利土木工程学院结构力学课程组§7.1基本概念三、转动刚度杆件杆端抵抗转动的能力，称为杆件的转动刚度，AB杆A端的转动刚度用SAB表示，它在数值上等于使AB杆A端产生单位转角时所需施加的力矩。第7章力矩分配法1111SAB=4i1SAB=3iSAB=i1由左图可知，杆端转动刚度SAB值不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端的支承情况有关,而与近端支撑无关。水利土木工程学院结构力学课程组§7.1基本概念四、分配系数和分配弯矩（j=B、C、D）分配系数分配弯矩同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即第7章力矩分配法水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法第7章§7.6多层多跨刚架的分层计算法水利土木工程学院结构力学课程组一、单结点连续梁的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法i2kN/m⑴附加刚臂，确定基本体系⑵固定刚臂，计算固端弯矩结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代数和，称为该结点的不平衡力矩，并规定顺时针转向为正。20kNACB3m6m3miACB15159

9R1P152kN/m20kNACBZ1基本体系MB=水利土木工程学院结构力学课程组一、单结点连续梁的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法i2kN/m20kNACB3m6m3mi2kN/m20kNACBACB15159

9MB15Z1基本体系ACBZ14iZ13iZ1=SBAZ1=SBCZ1⑶放松刚臂，计算刚臂转动Z1时结点的反力矩R11。⑷计算转角Z1。R11SBAZBSBCZB水利土木工程学院结构力学课程组一、单结点连续梁的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法ACB15159ACBZ1

9MB154iZB3iZBR11SBAZBSBCZB=SBAZB=SBCZB⑹力矩传递。由于转角Z1引起的远端弯矩称为传递弯矩，有⑺计算最终杆端弯矩。⑻作最终弯矩图。C0ACB93016.71411.574M图

(kN·m)-MB水利土木工程学院结构力学课程组§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法

⑵固定—计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数i2kN/m20kNACB3m6m3mi⑶放松—计算分配弯矩⑷计算传递弯矩⑸叠加—计算最终杆端弯矩⑹画弯矩图AC0.571

0.429分配系数固端弯矩-1515-90分配弯矩结点不平衡力矩6传递弯矩0杆端弯矩-16.71411.574-11.5740ACB93016.71411.574M图

(kN·m)单结点连续梁的力矩分配法小结水利土木工程学院结构力学课程组§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法荷载作用下的杆端弯矩，由载常数表查得。将结点的不平衡弯矩改变符号，乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分配弯矩。将结点的分配弯矩乘以传递系数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递弯矩杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩。固端弯矩：不平衡弯矩：分配弯矩：传递弯矩：最终杆端弯矩：

固定状态下交汇于结点各杆固端弯矩的代数和，称为结点的不平衡弯矩。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法ABCD⑶计算分配弯矩⑷计算传递弯矩⑸计算杆端弯矩⑹画弯矩图ABACAD4/92/93/9分配系数传递弯矩结点不平衡力矩-35分配弯矩15.5511.677.78固端弯矩-40+400-75-25+7.78-7.780杆端弯矩-32.22-32.7855.5511.67-67.220ABCDM图

(kN·m)32.7867.2255.5532.2211.67§7.2力矩分配法的基本原理水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法二、多结点问题的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理单结点问题比较简单，一次放松即可消去附加刚臂作用，得到精确解。但是对于多结点问题，由于不能同时放松或固定全部的结点，只能采取逐个放松或固定结点的方法。下面将通过两个结点的连续梁说明多结点问题的力矩分配法的基本原理。EI=120kN/m100kNACB6m4m4m6mEI=2EI=1D⑴计算分配系数EI=120kN/m100kNACBEI=2EI=1D水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理⑵计算固端弯矩EI=120kN/m100kNACBEI=2EI=1D分配系数固端弯矩C一次分配传递B一次分配传递C二次分配传递最后杆端弯矩B二次分配传递C三次分配传递B三次分配传递⑶固定B，放松C⑷固定C，放松B⑸重复⑶、⑷⑺计算杆端弯矩⑹再重复⑶、⑷⑻画弯矩图60–60–100100000.4000.6000.6670.333–66.7–33.3–33.444.029.414.722.0–14.7–7.3–7.34.42.91.52.20.40.3–0.7–1.5–0.7–43.892.6–92.6–41.341.30M图

(kN·m)ACBD43.892.641.3133.1水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理固定放松再固定再放松……分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。因为分配系数小于1，传递系数也小于1，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递。水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法第7章§7.6多层多跨刚架的分层计算法水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】【例7-1】6kN/m20kNACB4m4m4mEIEIACB分配系数0.73

0.27固端弯矩结点不平衡力矩-88-30（-22）0用力矩分配法画弯矩图。⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数⑶分配和传递⑷计算最终杆端弯矩⑸画弯矩图传递弯矩+8.030杆端弯矩-0.03+24.06-24.060ABCD0.0324.060.04527.97(12)M?(kN·m)分配弯矩+16.06+5.94水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架2EI50kNACB1m6m2m10kN/m2mEID【解】【例7-3】画弯矩图。⑵计算固端弯矩⑴计算分配系数2EI50kNACB6m2m10kN/m2mEI5kN·m⑶分配传递，计算杆端弯矩⑷画弯矩图ACBD0.4280.572分配系数M图(kN·m)ACBD5039.6454530.18固端弯矩37.5–42.5-5539.64–39.640杆端弯矩-55分配传递2.142.8600水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架画弯矩图。【解】【例7-4】水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架⑶分配和传递⑷计算杆端弯矩⑸画弯矩图【解】BACD分配系数1/32/33/52/5固端弯矩18.75-151500分配和传递-9-6-3-4.50.250.500.25-0.15-0.1-0.05-0.07-3.05杆端弯矩-19.02019.026.10-6.10M图

(kN·m)22.519.02BACD6.103.0515.19259.940.050.02水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【例7-6】用力矩分配法画弯矩图。10m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kN·m10m10m10m水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架杆端弯矩22.80.10.061/21/20.640.36固端弯矩分配与传递分配系数25←5050→25-2←-4-4→-28←169

0.64←1.280.72-0.16←-0.32-0.32→-0.1645.754.340.2-40.2100-100100kNm10kN0.75EI10m8kN/mEIEI10m10m10mABCD100kN.m-100-100+50100-100【解】水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架22.845.754.340.2100100M图（kN.m)说明：计算C点的分配系数、MUCD向外传递时，D点按铰支。25←5050→2516.7←33.3水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】杆端弯矩22.840.10.06-100-200/3200/3-1000.50.50.640.3610固端弯矩分配与传递分配系数-2←-4-4→-28←169→00.64←1.280.72-0.16←-0.32-0.32→-0.1645.6854.3240.2240.22100-10010m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kN·m10m10m10m水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架10m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kN·m10m10m10mM图

(kN·m)10010022.8445.6854.3240.22说明：计算C点的分配系数、MUCD向外传递时，D点按固支。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】【例7-7】用力矩分配法画弯矩图。⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数A15kN·m

4m2m2m

3m40kN/m100kNBDi=1ACi=1i=215kN·m水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架⑶分配和传递⑷计算最终杆端弯矩⑸画弯矩图

4m2m2m

3m40kN/m100kNBDi=1ACi=1i=215kN·m【解】BDAC1007010404580M图

(kN·m)结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩-5050-80101510－10最后弯矩-4070-6510-100第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架2m

4m15kN/m10kNBDAC3m3m1m2EI2EIEIEH40kN15kN·mDAC2EIEIE40kN10kN30kN30kN·mC

400MC30kN·mMC=–10kN·m水利土木工程学院结构力学课程组DA+10C–10+5+5+5–35+2.50CACD0.50.5M图

(kN·m)BDACEH10356037.53052.5【解】【例7-8】画弯矩图。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【例7-9】画下列两刚架的弯矩图。(a)(b)【解】(a)为画有两个刚结点的无侧移刚架。(b)可以由对称性取半刚架计算。其中i1、i2值为相对线刚度。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】(a)水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架(b)【解】水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【例7-9】画下列两刚架的弯矩图。(a)(b)水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】【例7-10】试画连续梁在图示支座位移下的M图，并求D端的角位移D。已知EI=2×104kN·m2。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】【例7-10】()水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架力矩分配法小结：

1、单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。

3、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐个放松、传递。当结点较多（大于3个）时，可以同时放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。

4、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。一般当传递力矩达到固端弯矩的5﹪以下时，即可终止计算，不再传递力矩。

2、力矩分配（放松结点）过程宜从结点不平衡力矩大的结点开始，可加快收敛速度，且不平衡力矩要变号。水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法第7章§7.6多层多跨刚架的分层计算法水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.4无剪力分配法一、无剪力分配法的基本原理工程中或在结构的计算过程中，常见右图所示有侧向位移的结构，其特点是其竖柱的剪力是静定的，可以由静力平衡方程直接求得。如果先将竖柱的剪力求出，并入外荷载系统，计算固端弯矩，则在近端进行力矩分配时竖柱就不再有剪力。因此竖柱的远端可看成是一定向支承端，其线刚度为i，传递系数为–1，结点沿垂直于竖柱方向的线位移就不再作为基本未知量，使计算在为简化。这种方法就称为无剪力分配法。BACEDF1F2(a)BACEF1F1F2(b)F1+F2D水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.4无剪力分配法二、无剪力分配法的基本步骤下面以图(a)所示刚架为例说明无剪力分配法的基本步骤。⑴由静力平衡条件计算竖杆剪力，转化成图(b)所示的等效刚架，显然有FQ1=F1

和FQ2=F1+F2。BACEDF1F2(a)⑵取图(b)所示系统为研究对象计算固端弯矩。其中AB和BC均可看作一端固定一端定向支承的杆件，而BD和CE可看作是一端固定一端铰支的杆件。BACEF1F1F2(b)F1+F2D注意：由于各竖杆都是定向支承杆，杆端虽的水平侧向位移，但不影响竖杆内力，因此对于图(b)所示等效刚架中的侧向位移可不作为基本未知量。这是无剪力分配法的根本所在。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.4无剪力分配法二、无剪力分配法的基本步骤BACEDF1F2(a)BACEF1F1F2(b)F1+F2D①注意区分剪力静定杆的滑动端与固定端。②注意剪力静定杆上除承受本层荷载外，杆顶端还承受上层传来的剪力。

⑷根据计算结果作结构的弯矩图。

⑶按无侧移刚架力矩分配法计算分配系数、分配弯矩、结点不平衡力矩、传递弯矩，并进行分配和传递计算最后杆端弯矩。无剪力分配法只适用于结构中有线位移杆件的剪力是静定的一类结构，或者当结构中除无侧移杆件外，其它杆件的剪力都能由静力平衡条件确定时才能应用。三、无剪力分配法的应用条件水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.4无剪力分配法【解】【例7-15】画弯矩图，杆侧圆圈内为杆件的相对线刚度。BACED20kN6m4m20kN181518206mFQ1BCED20kN20kNAFQ2⑴计算竖杆剪力，显然有FQ1=20kN和FQ2=40kN。⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩。⑶计算分配系数。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.4无剪力分配法【解】BACED20kN6m4m20kN181518206m

⑷列表进行分配传递结点ECBAD杆端ECCECBBCBDBAABDB固端弯矩-60-60-120-120分配系数0.7830.2170.1680.6070.225B分配传递-30.2430.24109.2640.5-40.5C分配传递70.6619.58-19.58B分配传递-3.293.2911.884.41-4.41C分配传递2.580.71-0.71B分配传递-0.120.120.430.16-0.16C分配0.090.03杆端弯矩073.33-73.33-46.64121.57-74.93-165.070

⑸求杆端弯矩。M图

(kN·m)BACED165.0774.93121.5746.6473.3373.33

⑹画弯矩图。水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法第7章§7.6多层多跨刚架的分层计算法水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.5附加链杆法附加链杆法适用于独立结点线位移较少而独立结点角位移较多的刚架。附加链杆法只取刚架的独立结点线位移作为基本未知量，在有独立线位移的方程加附加链杆，得到无侧移刚架作为基本体系，写出计算独立线位移的典型方程式。因为基本体系是无侧移刚架，在荷载及单位线位移分别作用下，可以分别用力矩分配法作出Mi图和M图。与一般位移法一样，再利用平衡条件求得附加链杆法典型方程中的各系数后，求出独立结点线位移，进而求出原结构的内力，作出最后内力图。由于在计算过程中，没有取独立的结点角位移作为基本未知量，使典型方程数目大大减少，从而使计算简化。下面通过例题来说明附加链杆法的计算方法。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.5附加链杆法【解】【例7-16】画M图。BACEIDql

l

lEIEIBACDr11Z1=1BACDqR1P⑴取基本体系BACDqR1Z1基本体系⑵建立典型方程r11Z1+R1P

=0⑶计算r11和R1P

用力矩分配法画M1图和M图。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.5附加链杆法【解】结点ABCD杆端ABBABCCBCDDC分配系数0.50.50.5710.429固端弯矩-6-6分配与传递+1.50.1070.0077+30.2140.01530.0011+3-0.4280.214-0.03060.0153-0.00220.0011+1.5-0.8560.107-0.0610.00770.0044-0.644-0.0459-0.0033最后弯矩-4.3853-2.76962.76960.6932-0.69320M1图最后杆端弯矩的计算水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.5附加链杆法【解】结点ABCD杆端ABBABCCBCDDC分配系数0.50.50.5710.429固端弯矩-0.083330.08333分配与传递-0.02084-0.0148-0.00010-0.04167-0.00297-0.00021-0.041670.00594-0.002970.00042-0.00021-0.020830.01189-0.001490.000850.008940.00064最后弯矩-0.10575+0.03848-0.03848-0.00958+0.009580M图最后杆端弯矩的计算水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.5附加链杆法【解】BACEIDql

l

lEIEIBACDr11Z1=1BACDqR1P⑶计算r11和R1P

用力矩分配法画M1图和M图。由平衡条件得BCDr11BCDR1PqM1图2.76964.38530.6932MP图0.038480.009580.10575r11Z1+R1P

=0⑷求Z1⑸由叠加法作图

BACD0.129M图0.1290.3710.0323水利土木工程学院结构力学课程组力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.6多层多跨刚架的分层计算法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法第7章水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩分配法§7.6多层多跨刚架的分层计算法分层计算法适用于多层多跨刚架承受竖向荷载作用时的情况。一、两个近似假设第一，忽略侧移的影响。第二，忽略每层梁上的竖向荷载对其他各层的影响。二、一般步骤⑴将各层刚架沿高度方向划分成若干独立的分层，其中每层都是由本层的横梁和与之相连的上下柱构成的单层敞口刚架，并将其作为计算单元，每个单元只承受本层的荷载，柱的远端均视为固定端。水利土木工程学院结构力学课程组第7章力矩