弹性薄板的小挠度弯曲课件

第五章薄板的小挠度弯曲板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯曲问题。第五章薄板的小挠度弯曲

§5-1基本概念与计算假定§5-2薄板内力§5-3薄板弯曲的基本方程§5-4边界条件§5-5四边简支矩形薄板的重三角级数解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角级数解(Levy解)§5-7圆形薄板的弯曲

§5-1基本概念与计算假定

板、板面、板边、板厚薄膜薄板：当板厚与板面内最小特征尺寸之比在1/80～1/5之间时

厚板挠度小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于1/5大挠度问题

基尔霍夫假设（1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向下，则根据此假设，有εz=0和γxz=γyz=0。基尔霍夫假设（2）与σx，σy，τxy等相比，σz很小，在计算变形时可以略去不计。（3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移，即（u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y）根据这个假设，中面内的应变分量εx，εy和γxy均等于零，即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y）称为挠度函数。在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析计算中，已得到广泛的应用。§5-2薄板内力

根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式。一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式二、薄板中的应力分量表示式

三、薄板横截面上的内力表示式

（5-1）式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量的表示式

由此可见，应变分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。

（5-2）

二、薄板中的应力分量表示式

根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。

（5-3）

次要应力分量按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上，它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程：

（5-4）

（5-5）

式（5-4）就是切应力τxz和τyz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力τxz和τyz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿梁高方向的变化规律相同。σz沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。

将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:三、薄板横截面上的内力表示式下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。阴影微分面单位宽度上的正应力和切应力的主矢量分别为σxdz，σydz和τxy=τyxdz。由于σx，σy，τxy=τyx沿板厚按线性规律分布，以及分布的反对特性，所以，它们在板的全厚度上的主矢量为零。构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它们在单位宽度内的力偶矩横向剪力切应力分量只可能合成横向剪力，在每单位宽度上分别为

应力分量又可通过相应的内力表示

与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。

§5-2薄板弯曲的基本方程

通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满足和微分方程。薄板弯曲的小挠度问题，是以挠度w作为基本未知函数求解的，属位移解法。

变扭矩为静力等效的横向剪力对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理：他将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力。这样，就将每边上的三个边界条件归并成两个边界条件。FRB=（Myx）B+（Mxy）B＝2（Mxy）B （5-16）集中力的指向，应由扭矩（Mxy）B的符号来判断。图示为当四个角点上的扭矩都为正时的指向。小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程和板边的边界条件。§9－5四边简支矩形薄板的重三角级数解求w条件对于四边简支的矩形板，边界条件为(b)四边简支纳维解答是用多种正弦波形的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷载q，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。当q为集中荷载F，作用于一点时，可用代替q，并且只在处的微分面积上存在，其余区域q=0，于是中当q为均布荷载时，代入式(f)，便可求出，并得出w解答。设矩形板的两对边为简支边，其余两边为任意边界。§9－6矩形薄板的单三角级数解

两对边简支其中是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了的简支边条件,莱维采用单三角级数表示挠度，将式(a)代入挠曲线微分方程，得两对边简支将也展开为单三角级数，两对边简支代入式(b)，比较系数，得出求的常微分方程，其中为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将代入式(a)，得w解，其中的系数由其余两边界条件来确定。式(d)的解为书中列举了受均布荷载时,四边简支板的解答。矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。从求解薄板弯曲问题来看，两者比较如下：

适用性四边简支两对边简支，另两边可任意求解较困难，须求解系数

收敛性慢快应用局限于四边简支可推广应用到其他各种边界纳维解法莱维解法简便2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解，用于解决各种矩形薄板的边

界条件问题。3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静力（弯曲）问题中得到了广泛的应用，而且可以推广应用于薄板的动力、稳定问题,以及能量法中。1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载，如何应用莱维法求解？2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载，如何应用莱维法求解？思考题（3）两对边简支，另两对边固定；（4）两邻边简支，另两邻边固定；（5）一边简支，三边固定；（6）四边固定。§9－8圆形薄板的弯曲

圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。1.

挠曲微分方程仍为其中圆板方程将对x，y的导数变换为对的导数，并代入，得2.

内力公式--类似地可利用公式，例如，内力公式同样，得出类似地，横截面上的总剪力为

3.

边界条件可以表示为⑵设为简支边，则⑴设为固定边，则边界条件前一条件使w对的导数在边界上均为0，故简支边条件为⑶设为自由边，则若圆板的荷载q和边界条件均为轴对称，则薄板的挠度和内力必然也为轴对称。所以有§9－9圆形薄板的轴对称弯曲挠曲微分方程为轴对称弯矩对于无孔板，则除2个外边界条件外，还应考虑挠度和内力在的有限值条件，所以得。式(a)的全解为对于有孔板，由内外边界共4个边界条件来确定。通解的系数由边界条件来确定：其中特解为边界条件上述的轴对称解答(b)，是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。读者可参考教科书的解答和有关力学手册。受均布荷载作用，如图，试求其挠度和内力。固定边椭圆板的边界方程为

Oabyx例题1由，显然。因此，从方向解：固定边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载，将式(c)代入方程得出，并从而得因此，只需取(c)内力为读者可以检验，最大和最小弯矩分别为当时，便由上述解得出圆板的解答;若令则椭圆板成为跨度为的平面应变问题的固端梁。四边简支矩形板，如图，受有分布荷载的作用，试用重三角级数求解其挠度。例题2解：将代入积分式，由三角函数的正交性，及得代入，得挠度的表达式为四边简支矩形板，如图，在的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。yxabOFa例题3解：板中的荷载只作用在的线上，对荷载的积分项只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0.在的线上，荷载强度可表示为代入系数的公式，(n=1,3,5…)得出挠度为四边简支矩形板，受静水压力作用，，如图，试用单三角级数求解其挠度。xyaO例题4解：应用莱维法的单三角级数求解，将代入书中§9－6式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为从而得到和挠度的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于轴，应为的偶函数，由此，。于是的表达式为在的边界，有简支边条件将挠度代入边界条件，记，得解出从而得挠度解答发生