《概率论与数理统计》-教学教案

概率论与数理统计教学教案1章随机事件与概率授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第1章第1节 随机事件教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学重点样本空间、随机事件、事件的关系与运算参考教材

课的类型新知识课教学手段黑板多媒体结合教学难点事件的关系与运算作业布置课后习题大纲要求了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。教 学 基 本 内 容一．随机试验与样本空间1随机试验:可以在相同的条件下重复进行；每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；在概率论中，把具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为2EE的样本空间,记为S.E二．随机事件随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的结果，统称随机事件，简称事件，记作A,BC，.随机事件的类型：必然事件.每次试验中都发生的事件称为必然事件，必然事件可以用样本空间S表示；不可能事件.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，不可能事件可以用空集表示；（样本点）称为基本事件，基本事件可以用一个样本点表示；3．两点说明：三．随机事件的关系与运算1．事件的关系AB，则称事件ABABABBAAB相等.事件A B称为事件A与事件B的和事件，表示中至少一个发.称nA为n个事件A,

,,

的和事件，称A为可列个事件A,

,的和事件.kk1

1 2

k 1 2k1事件A B称为事件A与事件B的积事件，表示同时发生，AB一般简写为AB.n称

A为nA,

, ,

的积事件，称

AA,

, 的积事件kk1

1 2

k 1 2k1ABABAB不发生.若AB,ABA与事件B（8）若A BS且A B，称事件A与事件B互为逆事件，或称事件A与事件B互为对立事件，即事件A,B 中必有一个发生，且仅有一个发生的对立事件记作A，即ASA.2．事件间的运算律：设A,B,C为事件，则有（1）交换律:ABBA,ABBA.（2）结合:A(BC)(AB)C ,A(BC)(AB)C.（3）分配律:A(BC)ABACA(BC)(AB)(AC).(4)德摩根:ABAB ABAB.11，2，3的运算可表示下列各事件：至少有一个次品 A B C;没有次品 A B C;恰有一个次品 ABC至少有两个次品

ABC ABC ABC ABCAB BC CA;至多有两个次品（考虑其对立事件）(ABC ABC ABC) (ABC ABC ABC) (ABC)ABCA B C.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第1章第2节 概率 课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点概率的概念，概率的基本性质，古典型概率，概教学难点古典型概率，概率的加法公式率的加法公式参考教材 作业布置课后习题大纲要求理解概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式。教 学 基 本 内 容一．频率与概率频率：在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数

称为事件A发生的频AnAAfn

A.频率的性质：设A是随机试验Efn

A具有性质：（1）0fn

(A)1;fn

(S)1，fn

()0;AA

是两两互不相容的事件，则f

(A

A)f(A)f(A)f(A).1 2 k

n 1 2

k n 1 n 2 n k事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.频率大,事件发生就越频繁,这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大，反之亦然.频率的稳定性由于频率是依赖于试验结果的，而试验结果的出现具有一定的随机性，因而频率具有随机波动性,即使对于同样的n,所得的频率不一定相同;另一方面大量试验证实,当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn渐稳定于某个常数.

A逐概率的统计定义：随机事件A在大量重复试验（观测）n→∞一常数称为随机事件AP(A).二．古典概率与几何概率1.古典概率1（概率的古典定义）设试验的样本空间S包含n个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，若事件A包含k个样本点，则事件A的概率为P(A)k

事件包含的样本点数.排列与组合有关公式

n 样本空间中样本点总数mn1

种方法，第二种方式有n2

种方法，……,m种方式有nm

种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为nn1 2

n .mmn1

种方法，第二个步骤有n2

种方法，……，第m个步骤有nm

种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为nnn .1 2 m排列公式：从n个不同元素中任取kkn个元素的不同排列总数为n!Ak1) (nk1) .n (nk)!组合公式：从n个不同元素中任取k个元素的不同组合总数为n n(n1) (nk1) n!Ck .n k

k! (nk)!k!几何概率：设样本空间S(S，点落入S内任何部分区域A的可能性只与区域A的面积成比例,而与区域A的位置和形状无关，该点落在区域A的事件仍记为，则事件A的概率为P(A)(.(S)三．概率的定义与性质1ESEA赋予一个实数，记为PAPA满足以下条件：非负性: 对于每一个事件,有P()0;2规范性: 对于必然事件S,有P(S)1;3可列可加性:设A,A是两两互不相容的事件即A

, ij, i,j, 有1 2 i jPA

P(A)，则称PA为事件A的概率.i1 i

ii12．概率的运算性质（1）0P(A)P()0.若AA,,

是两两互不相容事件,则有𝑃(𝐴1∪𝐴2∪⋯∪𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯+𝑃(𝐴𝑛).1 2 nBPABP(AP(ABAB，则有P(AB)P(A)P(B)，因而有P(A)P(B).BBP(AP(BP(AB)BC为任意三个事件，则有PABCPAPBPCPABPACPBCPABC.对于任意事件PA1PA.四．例题讲解例1.箱中放有ab个外形一样的手机充电器（不含充电线，其中a个充电器具有快充功能，其余b个k(kab)个人依次在箱中取一个充电器，作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回作不放回抽样（抽取后不再放回；求第i(i1,2, ,k)人取到具有快充功能的充电器（记为事件的概.2N件产品，其中有M件次品，今从中任取n件，问其中恰有kminM件次品的概率是多少？31512例4.某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这125.某福利彩票游戏规则：购买者从01-3535761250奖项设置为一等奖：选7中6+（不考虑基本号码的顺序；二等奖：选7中6；三等奖：选7中75；五等奖：选74+174；七等奖：选73+1.试计算单注中奖概率.例1.10365天中的某一天，在有个人的班级里，生日各不相同（记为事件A）的概率为多少？存在至少两人生日在同一天（记为事件B）的概率为多少？610例7.（会面问题)某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人半个小时,过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达,试计算二人能够会面的概率.例8.对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，同时使用两种移动支付的占10%.求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.例是两个事件，已知P(B)0.3，P(A B)0.6，求P(AB).授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第1章第3节条件概率课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式教学难点参考教材作业布置式，贝叶斯公式课后习题大纲要求理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。教 学 基 本 内 容一．条件概率与乘法公式条件概率（1）设P(A0P(B

P(AB)为事件A发生的条件下事件B发生的条件P(概率.（2）PAB

P(AB)为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.P(B)P(B|A的性质：BP(B0；规范:对于必然事件S ，有P(S1；设B,B,是两两互不相容事件，则有P(

)PBA；1 2 i

ii1（4）P(BB)|AP(B|P(BB

|； P(B|1P(B；1 2 1 1 2PB B|AP(B|P(B|P(BB

|A).1 2 1 2 1 2两点说明：计算条件概率的方法:在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|；在样本空间SPABPA)，再按定义计算P(B|.3．乘法公式：P(AB)P(BA)P(A) P(A)0，P(AB)P(AB)P(B) P(B)0.设AA,An（n2）PAA

)0,则有1 2 nP(AA

)P(AAA

1 2 n1)P(A AAA

A)P(A).1 2 n

n 1

1

n2

2 1 1二．全概率公式与贝叶斯公式SEBB1 2

,n

E的一组事件，若BBi j

,ij,i,j1,2, ,n;B B1 2

B S,nBB1

,n

S全概率公式定理：设试验E的样本空间为S ，A为E的事件，B,B1 2

,n

为样本空间S 的一个划分，且P(B0(i1,2, n，则PAP(AB1

)P(B1

)P(AB2

)P(B2

)P(ABn

)P(B).n贝叶斯公式EEBB1 2

,n

为样本空间S的一个划分，且P(A)0,P(Bi

0(in

P(AB)P(B)P(BA)

i i , i1,2,,三．例题讲解

i j1

P(AB)P(B)j j1．4002040任选一名职工，计算该职工技术优秀的概率；例2．在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品.现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.例．某杂志包含三个栏目“艺术（记为事件（记为事件（记为事件，调查读者的阅读习惯有如下结果:PA)P(B)0.23，P(C)0.37,PAB)AC)P(BC)ABC)0.05PA|BC)，PAB|C).例40.920.930.85例5（传染病模型）设袋中装有r只红球，t观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.例6．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占20%，二厂生产的占70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,3%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?7．设某人有三个不同的电子邮件账户，有7012，10%的邮件进入账户3.根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%,为垃圾邮件的概率.98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%例9.某机器由C0.7，0.1，0.2.现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第1章第4节 事件的独立性 课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点事件的独立性的概念、用事件独立性进行概率计教学难点用事件独立性进行概率计算算、独立重复试验的概念参考教材 作业布置课后习题大纲要求理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。教 学 基 本 内 容一.事件的独立性两个事件的独立性：设B是两事件，如果满足等式PABPA)P(BB相互独立，,B独立.ABABABAB事件独立性的性质性质1.设A，B是两事件，且P(A，B相互独立，则P(BPB.2ABA与B,A与B,A与BA,A,A是2个事件，如果对于其中任意kkn)，任意的1 2 n1ii inPA

A)P(A)P(A)P(

AA,

是相互独立事1 2 k件.

i i i i i i1 2 k 1 2 k

1 2 nAPABPA)P(B，P(BCP(B)P(C)，PACPA)P(CPABCPA)P(B)PCABC）nn3AA,

n2相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也相互独立.1 2 n若nAA,

2A,

,

任意多个事件换成它们各自的对立事件，1 2 n 1 2 n所得的n个事件也相互独立.若事件A,A, ,A1 2

相互独立，则有P(A A1 2

A)1P(A A A)n 1 2 n1P(AA A)1P(A)P(A

P(A)1 2 n独立性在系统可靠性中的应用

1 2 n对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性.对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性.二．独立重复试验1.n重伯努利（Bernoulli）试验：在相同的条件下进行n也即这n次试验相互独立；AAPAp，P1p2App，则在nA恰好发生了k(kn)次的概率为P(k)Ckpkp)nk，k,n，0p1.n n三．例题讲解例1.设A,B互不相容，若P(A)0,P(B)0，问A,B是否相互独立？2.设随机事件ABCBCPAP(BP(C).

1, P(AC|A B)1,2 4例3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，设甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求密码被破译的概率.例1.26加工某一零件共需经过7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.例4.来看四个独立工作的元件组成的系统的可靠性，设每个元件的可靠性均为p，分别按图1.4的两种方式组成系统（分别记为S1

和S21.4系统S（左图）和系统S（右图）1 25.4115理．概率论与数理统计教学教案2章随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第2章第1节 随机变量与分布函数 课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量及其概率分布的概念、分布函数的概念教学难点分布函数的求法及性质与计算。参考教材大纲要求

作业布置课后习题理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数x的概念及性质。会计算与随机变量有关的事件的概率。教 学 基 本 内 容一．随机变量随机变量设E是随机试验样本空间为如果对随机试验的每一个结果都有一个实数X)之对应，那么把这个定义在 S上的单值实值函数XX)称为随机变量．随机变量一般用大写字母X,Y,Z,…表示．二．分布函数分布函数：设Xx是任意实数，称函数F(x)x为随机变量XF(x是一个定义在实数域R[0,1]的函数．XF(x)表示随机点X（Xx）内的概率，如下图．3．3．对任意的实数c(a，都有：XP{XP{Xa}F(b)F(a),c1c1F(c).4．分布函数的性质：（1）单调性：分布函数是单调不减的，即若xxF(xF(x；（2）0F(x)1F(limF(x)0F(limF(x)1212（3）F(x0)F(x)．xx说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一定可以作为三．例题讲解10X为乘客的候车时间，其分布函数为：0,x0,F(x)x,0x10,1,x10.）{X3}（2）1X9}（）{X5}.2．设随机变量X的分布函数为10F(x)ab(1x)2,x0c,x0求常数的值？3．在半径为R，球心为O的球内任取一点P，令XOP的长度，求X的分布函数．授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第2章第2节 离散型随机变量 课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量及其概率分布的概念，０－１分教学难点０－１分布二项分布超几布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。 分布、泊松分布及其应用。参考教材 作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。教 学 基 本 内 容一．离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量：若随机变量X随机变量．随机变量的概率分布：设Xx,i1,2,3,...，称iP{Xx}p,i1,2,3,...i i为随机变量X的概率分布，也称为分布律或分布列．概率分布也可以用表格的形式表示：X x x … x …1 2 iP p p … p …1 2 i或者记为：

x x ...x... 1 2 i

p p ...p1 2

...（1）非负性：pi

0,i1,2,3,...;（2）正则性：i1

p1.i离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量X的分布律为P{Xxp,i1,2,3,...，则X的分i i布函数为F(x)P{X P{Xx},i1,2,3,...i即分布函数是分布律在一定范围内的累积．二．常用的离散型随机变量1.（0-1）分布

xix（10-1X只有两个可能的取值0和{Xk}pk(1pk,k0,1，X服从以p为参数的（20-）分布的分布律也可以记为X 0 1 0 1

P 1-p p或1p p. 二项分布（1）二项分布：若随机变量X表示n重伯努利试验中事件AP{Xk}Ckpk(1p)nk,k0,1,2,...,n.n则称随机变量X服从二项分布，记为X

p)，其中np(0p1)是二项分布的参数，上式就是二项分布的分布律.（2）二项分布的特例：在二项分布中,若令则X B(1,p)，其分布律为kpkp)1kk0,1，即X服从分布是二项分布的特例，简记B(1,p).泊松分布X的分布律为P{Xk

ke,k0,1,2,...，其中为大于0的参数，k!则称随机变量X服从参数为X

P()．泊松定理：在n重伯努利试验中，事件Apn

（与试验总数n有关，如果当n

(，则有limCkpk(1

)nk

e,k0,1,2, .n n n n n k!说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数n很大，而npn

不太大时，二项分布可以用参数为npn

的泊松分布来近似．几何分布若随机变量X的分布律为P{Xk}pqk,k1,2,..., q1p，其中p(0p1)为参数，称X服从几何分布，记为X G(p)．说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数X所服从的分布，也可以解释为：在n重伯努利试验中，试验到第k次才取得第一次成功，前超几何分布N超几何分布：若随机变量X的分布律为P{XkN

CkCnkMM

k0,1,2,...,r其中rn}，CnN且MN,nN,n,N,M均为正整数，则称随机变量X服从超几何分布，记为X H(n,N,M)．有限总体N中的不放回抽样服从超几何分布，例如有N件产品，其中M的抽取n件，则抽取的产品中不合格品的件数X服从超几何分布．超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项N三．例题讲解110821X为取件的次数，则（）求X）求X的分布函数F(x)（3）求概率P{2X3}.例21010均每小时实际开动1250千瓦的电1010例3.有2500111202保险公司亏本的概率；10例4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量不以用参数为10的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？例5.某公司订购了一种型号的加工机床，机床的故障率为1%，各台机床之间是否出现故障是相互独立的，求在100台此类机床中，故障的台数不超过三台的概率.例6.某流水线生产一批产品，其不合格率为随机变量X为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求X授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第2章第3节连续型随机变量 课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度教学难点概率密度与分布函数之间的关与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。

系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。参考教材 作业布置课后习题大纲要求均匀分布、指数分布及其应用。教 学 基 本 内 容一．连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量：设Xf(x，对任意的常数a,b(ab，有PaXbf(x)dx,aXf(xX的概率密度函数，或简称为概率密度．概率密度函数的性质：（1）非负性：f(x)≥0；（2）

f(x)dx1．[a,byf(x在区间[a,b上形成的曲边yf(xx1．（）=PXxx

f(y)dy,则在f(x)的连续点处，F(x)f(x).两点说明：连续型随机变量在某一个点c0P{Xc

f(x)dx0.XXXX二．常用的连续型随机变量1.均匀分布

a

f(y)dyF(b)F(a).

1 ,axb,均匀分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为f(x)ba 其中为任意0,,实数，则称随机变量X服从区间上的均匀分布，记为X U(a,b)．0,xa,xaF(x)ba

,axb,1,x.应用：若XP{cXd}d

1 dx

dc.cba ba指数分布指数分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为f(x)ex,x0,其中参数0，则称随机0,其它,变量X服从参数为的指数分布，记为X E()．1ex,x0,F(x)0,其它.定理（指数分布的无记忆性）设随机变量X E()，则对于任意的正数s和t有PXstXtPXs.正态分布）正态分布：设 X为连续型随机变量，若概率密度为 f(x) 1 2

2(x 22 x(x ,(0)为参数，则称随机变量X服从参数为2X

N(,2)．1 x (t)2F(xP{X几点说明：

e 2

dt,x.f(x)xx处取到最大值，并且对于同样长度的区间，若区间离越远，则Xf(x)xxx交．当参数固定时，f(x)的图形就越平缓；f(x)的图形就越尖狭，由此可见参数的变化能改变图形的形状，称为形状参数．当参数固定时，随着f(x)图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数的变化能改变图形的位置，称为位置参数．标准正态分布X N(0,1)

(x)

1 x2,2e22e

x

(x)

1 x2e2e

t2dt,

x.根据概率密度(x的对称性，有(x)1(x).X定理（标准化定理）若X N(,2)，则Z

N(0,1).标准化定理的应用：设xa,b(ab为任意实数，则XF(x)P{X

x }

x x }( ),a X b b aX }( )( ).6

N(,2)，则X(3)(3)2(3)10.997,即正态分布N(,2)的随机变量以99.7%的概率落在以为中心、3为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3”法则.三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X表达式为：0.1e0.15(x0.5),x0.5,f(x)0,概率密度f(x)的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X表示桥梁的动力荷载的大小（，其概率密度为f (x) 8 81f (x) 8 80,其它.）分布函数F(x)（2）概率1X1.5}及{X}.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X在（1,4）上服从均匀分布，对X进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X（miX服从指数分0.4e0.4x,x0,布，其概率密度为f(x) 求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概.0,其它.例驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中1.25秒，0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中30024强度以不小于95%的概率大于a.授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第2章第4节 随机变量函数的分布教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学重点简单随机变量函数的概率分布参考教材大纲要求会求简单随机变量函数的概率分布。

课的类型新知识课教学手段黑板多媒体结合教学难点简单随机变量函数的概率分布的求法作业布置课后习题教 学 基 本 内 容一.离散型随机变量函数的分布X是离散型随机变量，g(xx的函数，则当XgX也取有限个或可列个值.根据离散型随机变量求解分布律的方法，首先确定Y就得到了Y二．连续型随机变量函数的分布分布函数法设连续型随机变量X的分布函数为FX

xFX

(x)P{Xx}yg(xx的函数，求随机变量Yg(X)的分布.（1）求出随机变量Y的分布函数FY

(y)P{g(X)y}.（2）YgX是连续型随机变量时，FY

yyYfY

(y)F'(y)；当YYg(X)不是连续型随机变量时，要根据函数g(x)的特点作个案处理.公式法定理：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x)，又函数g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续X导数，则Yg(X)是连续型随机变量，且其概率密度为ff(y)X

[h(y)]h(y),y,Y 0,其它.min{g(g(max{g(g(.三．例题讲解例1.设随机变量X表示某品牌手表的日走时误差（，其分布律为：XX-1012P0.20.40.30.1求YX的分布律.2.某仪器设备内的温度T是随机变量，且T~N(100,4)M12（TM3.设随机变量X服从均匀分布U(1,3),记Y1,X0,21,X0.2Y的分布律.例4.设随机变量X表示某服务行业一位顾客的服务时间，X服从指数分布，其概率密度为f(x)ex,x0,0,,求YeX的概率密度．X~N(0,1)，求YX的概率密度.概率论与数理统计教学教案3章多维随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第3章第1节 二维随机变量及其分布 课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量的联合分布函数、性质及两种基本形式、二维均匀分布、二维正态分布的概率密度教学难点利用二维概率分布求有关事件的概率参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布；连续型联合概率密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。教 学 基 本 内 容一．二维随机变量E是随机试验,XX和YY是定义在同一个样本空间S上的随机变量，则称X,YX,Y)的性质不仅与XY将随机变量X,Y二．二维随机变量的联合分布函数1．二维随机变量的联合分布函数：设(X,Y)为二维随机变量，对于任意的(x,y)R2，则称F(x,y)P{Xx,Yy}为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称为分布函数.2．二维联合分布函数的几何意义：若将X,Y看作是平面直角坐标系上的随机点，那么F(x,y){Xx,Yy}（如图3.(x,y)图3.1随机点X,Y落入矩形区域{(xy)x1

Xx,y2 1

Yy2

}的概率：P{xXx,y

Yy

}F(x,y)F(x,

)F(x

,y)F(x,y)1 2

2 2 2 1

2 1 1 1联合分布函数Fxy的性质：xy都是单调不减的；有界性：对任意的xy，有0Fxy)1，并且：F(,y)limF(x,y)0，xF(x,limF(x,y)0，yF(,)limF(x,y)1；xyxyF(x0,yF(xyF(xy0)F(xy；对任意的xy1 1

和xy2

x1

x,y2

y，有2F(x,y2 2

)F(x,y1

)F(x2

,y)F(x,y1 1

)0.三．二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量：若二维随机变量X,Y只取有限个或可列个数对xi

)，则称(X,Y)为二维j离散型随机变量，称pij

PXx,Yyi

j1,2,...为X,Y的联合分布律或者联合概率分布，简称为j分布律或者概率分布.联合分布律的性质：pij

0,i,j1,2,...；正则性： pij

1.i j二维联合分布律的表示形式：x p1 x p

p ... p12 1p ... p

......2 21 22 2j... ... ... ... ... ...x pi

p ... pi2

...... ... ... ... ... ...四．二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量：设X,Y)fx,y)，对于任意区域X,Y) f(x,y)dxdy,A则称X,Yfxy为X,Yfx,y)具有以下性质：（1）非负性：f(x,y)0；2）正则性：

f(x,y)dxdy1. 说明：对于二维连续型随机变量X,Y，联合分布函数与联合概率密度函数也可以相互求出：2F(x,y)若f(x,y)在点(x,y)处连续，F(x,y)为相应的联合分布函数，则有

f(x,y)；fxyF(x,y)xy

f(u,v)dvdu.

二维均匀分布：设G是平面上的一个有界区域，其面积为SG

，若随机变量(X,Y)的概率密度为1f(x,y)S

,(x,y)G,

则称随机变量X,Y服从区域G G0,.GD为GX,Y落入区域D内的概率与区域D的位置无关，只与D的面积有关，其概率值等于子区域D的面积与大区域G的面积之比，即X,Y)f(x,y)dxdy

1dxdy1 S .DS S SD (x,yG G(x,yG二维正态分布：如果二维随机变量X,Y的联合概率密度为1 (x)2 (x)(y)(y)21 [

1 2

2 2 ],f(x,y),

21

e12

2(12) 1

212 2x,y，其中五个参数,

2,2均为常数，且

，,

0，11，1 2 1 2 1 2 1 2则称X,Y服从二维正态分布，记为X,Y)

N(,,2,2,).1 2 1 2五．例题讲解例1002500100200(X,Y)的联合分布律，求1）客户财险的免赔额不低于100）客户的免赔总额不超过3001000.200.100.202500.050.150.302．7322件三等品，任意选出4X表示取到一等品的件数，用Y表示取到二等品的件数，求例3表示自助服务所花费的时间.随机变量(X,Y)所有可能取值的集合为D(x,y):0x1,0y（单位：，6 (xy2),0x1,0y6X,Y的联合概率密度为f(x,y)50,.

求人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率，即P0X

1,0Y1.4 4 4．设二维随机变量X,YG上的均匀分布，其中Gxy0,xy2y0所围成的三角形区域，求随机变量X,Y落入区域D5．设X,Yf(xy)

1 102

x2y2X}.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第3章第2节边缘分布与随机变量的独立性 课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点二维离散型随机变量的边缘分布；连续型边缘密教学难点二维离散型随机变量的边缘分度、随机变量的独立性、离散性和连续性随机变量独立的条件

布及连续型边缘密度的求法，离散性和连续性随机变量独立性的判定。参考教材 作业布置课后习题大纲要求1．理解二维离散型随机变量的边缘分布；连续型边缘密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2．理解随机变量的独立性概念，掌握离散性和连续性随机变量独立的条件。教 学 基 本 内 容一．边缘分布函数XX,Y的联合分布函数FxyX和Y的分布函数可以由联合分布函数求得，即 FX

(xP{XxP{Xx,YF(x，其中xFX

(x)为随机变量X的边缘分布函数.随机变量YFY

y)F(yyFY

(y)为随机变量Y的边缘分布函数.二．边缘分布律X的边缘分布律：设二维离散型随机变量X,Y的联合分布律为pPXx,Yyij i

,i,j1,2,...，j随机变量X的边缘分布律为PXx

PXx,Yy

p,i1,2,...p；i i j ij ij1 j1随机变量Y的边缘分布律为PY

PXx,Yy

p,j1,2,...，简记为p .j i j ij ji1 i1利用联合分布律就能得到单个随机变量的边缘分布律，且可以一起列入下表：X Y y1x p

y ... y2 p ... p

... pi... p1 x p

12 1p ... p

1... p2 21 22 2j 2...

... ... ... ...

...xpxpp...p...ii1i2 ij...pj...p1... ... ...p ... p......三．边缘概率密度i...12 jX的边缘概率密度：设二维连续型随机变量X,Y)fx,y)X的边缘分布函数为F

(x)F(x,)

f(u,v)dudv

[

f(uv)dv]du

(x)X Xf (x)F(x)X X

f(x,y)dy，称f

(x)X

f(xy)dyx为随机变量X随机变量YfY

(y)

f(x,y)dx,y.N(

,2,2N(,2N(

,2，即联合1 2 1 2 1 1 2 2分布可以完全确定其边缘分布，反之，边缘分布不能确定联合分布.四．随机变量的独立性XY相互独立：设二维随机变量X,Y的联合分布函数为FxyXY的边缘分布函数为FX

(xFY

y，若对任意的一组取值x,yF(x,y)FX

(x)FY

yXY是相互独立的.由此定义可得，P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}.1）设(X,Y)(x,i

，则离散型随机变量X与Y相互独立等jP{Xx,Yi

}P{Xx}y}.j i j（2）设X,Y为二维连续型随机变量，对任意的xyXY相互独立等价于：f(x,y)fX

(x)fY

(y).说明：要判别X,YXY相互独立，必须对“任意一组取值”都满足上述结论；要判别XY不独立，则只需要找到一组不满足上述结论的X,Y五．例题讲解例1002500100200(X,Y)的联合分布律，求二维随机变量(X,Y)的边缘分布律.1000.200.100.202500.050.150.30例2助服务所花费的时间.随机变量(X,Y)所有可能取值的集合为D(x,y):0x1,0y（单位：， (xy2),0x1,0yX,Yf(x,y)50,

求随机变量XYP{1Y3}.4 4X,YN(

,2,2XN(,2,YN(2

,2)2

1 2 1 2 1 14．在左转车道上，每个信号周期内的私家车数量记为，公交车数量记为Y都是随机变量，且(X,Y)的联合分布见下表：XY01200.0250.0150.01010.0500.0300.02020.1250.0750.05030.1500.0900.06040.1000.0600.04050.0500.0300.020问随机变量XY是否相互独立？

(xy2),0x1,0y例5.(续例2)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)5 边0,2XY6．设二维随机变量X,YN(

,2,2X与Y相互独立的充要条件为0.

1 2 1 27．设二维随机变量X,YN(1,0,1,1,0)P{XYY0}.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第3章第3节条件分布课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量的条件分布；连续型随机变量的教学难点条件分布及条件密度的求法参考教材条件密度作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量的条件分布；连续型随机变量的条件密度。教 学 基 本 内 容一．二维离散型随机变量的条件分布律随机变量X的条件分布律：设二维离散型随机变量X,Y，其联合分布律为pPXx,Yy,i,j1,2,...，ij i j关于Y的边缘分布律为PY

ji1

p pij

,j1,2,...，则称 x,Yy} pp PXxij i

Yy j

i P{Yy}

p

,i1,2,...为在Yy的条件下随机变量Xj

j j随机变量Y的条件分布律：关于X的边缘分布律为PXxpi ijj1

p,i1,2,...，则称ip PYy Xxji j i

P{Xx,Yy} pi j ijP{Xx} pi

,j1,2,...Xxi

的条件下随机变量Y说明：当随机变量XY相互独立时，条件分布律就等于其相应的边缘分布律，即pij

p，pi j

p.j二．二维连续型随机变量的条件概率密度随机变量X的条件概率密度与条件分布函数：设二维连续型随机变量 (X,Y)的联合概率密度为fxy)X,Yf

(x)和f(y)

(xy)f(x,y)与X Y XY

f(y)YF (xy)xXY

f(uy)du为给定Yyf(y)YY

(yx)

f(x,y)

(yx)y f(xvdv为YXXx条件下，Y

f (x) YXX

fX

(x)三．例题讲解例X数量,Y表示人工加油使用的油枪数量.随机变量X,Y的联合分布律见下表：XY01200.100.040.0210.080.200.0620.060.140.30Y例2．设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为3x,0x1,0yf(x,y)0 .求概率1X1}.8 4例3．设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由xy0,xy2与y0所围成的三角形区如图3.6).求条件概率密度f (xy).XY图3.6授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第3章第4节 二维随机变量函数的分教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学重点两个独立随机变量函数的分布参考教材大纲要求会求两个独立随机变量的简单函数的分布。

课的类型新知识课教学手段黑板多媒体结合教学难点两个独立随机变量函数的分布的求法作业布置课后习题教 学 基 本 内 容一.二维离散型随机变量函数的分布分布律是一样的:首先确定所有可能的取值，其次分别求出所有取值的概率，再进行整理便得到了随机变量函例3.17（关于第一个参数的可加性如下：（1（0-Xi

,i1,2,

nXi

B(1,p)则X X1 2

Xn

B(n,p).

B(n1

,p),Y B(n2

,p)且X与Y相互独立则XY B(n1

n,p).2

P(),Y P()，且X与Y相互独立，则XY P(+).1 2 1 2注意，在以上的三个结论中，都要求随机变量之间相互独立.二．二维连续型随机变量函数的分布设X,Ygxy)ZgX,Y是一维随机变量.已知X,Y的fx,y)ZgX,Y)的分布函数为：F(z)Z}{g(X,Y)}Z

f(x,y)dxdy，g(x,y)zZ为连续型随机变量时，对分布函数求导可以得到ZfZ

F(z)Z和的分布定理：设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度为fxy)ZXY的概率密度为f(z)Z

f(x,zx)dx或fZ

(z)

f(zy,y)dy.卷积公式：若X与Y相互独立，其边缘概率密度分别为f (x)和f(y)，则ZXY的概率密度X Y为f(z)Z

f (x)fX

(zx)dx或fZ

(z)

f (zy)fX

y)dyf f f .Z X Y若随机变量X与Y相互独立，且X N(,2)，

N(

,2，则XY

N(

1 1,22；对于不全为零的实数k

，则k

2 XkY

N(k

k

,k2k2).1 2 1 2

1 2 1

11 2 2 1 1 2 2

N(,2)(i1,2, ,n)，并且X,X, ,X 相互独立，k,

, ,

是不全为零的实数，i则随机变量kX

i i 1 2 nkX kX N(nk,nk2).

1 2 n1 1 2 2 n n i i i ii1 i1积的分布、商的分布（1）定理：设二维连续型随机变量X,Yfx,y)ZXY、Z

Y的概率密度X

(z)1f(x,z)dx和f

(z)

xf(x,xz)dx.XY x

YX （1）若X与Y相互独立，其边缘概率密度分别为fX

(x)和fY

yZXYZ

Y的概率密度分别X为f (z)XY

f (x)fX

zx( )dxfxYX

(z)

xf (x)fX

(xz)dx，称这两个公式为积的分布公式与商的分布公式.最大值、最小值的分布定理：设随机变量X与YFX

xFY

yMmax{X,Y和Nmin{X,Y的分布函数为F (z)FM X

(z)FY

(z)FN

(z)1[1FX

(z)][1FY

(z)].推广形式：设n个随机变量X1

, ,X2

相互独立，其分布函数为FXi

(x),i1,2,i

,n，则Mmax{X,X1

, ,2

}和Nmin{X,Xn 1 2

,X}的分布函数分别为nF (z)FM X1

(z)FX2

(z)FXn

(zFN

(z)1[1FX1

(z)][1FX2

(z)][1FXn

(z)].当nX1

, ,X2

独立同分布时，其分布函数均为Fx，则MN的分布函数为F (z[F(z)]nFM

(z)1[1F(z)]n.三．n维随机变量n维随机变量：设XX1 2

X 是定义在同一个样本空间E上的n个随机变量，则称Xn 1

, ,X)2 nn维随机变量或n联合分布函数：设XX1 2

Xn维随机变量，对于任意的(xxn 1

, ,x2

)Rn，则称F(x,x,1 2

,x)P{Xn

x,X1

x, ,X2

x}nn维随机变量XX,1 2

,X)的联合分布函数.n3．离散型随机变量的联合分布律：若n维随机变量XX,1 2

,X)只取有限个或可列个值n(x,x1

, ,xn

Rn，则称X1

, ,X2

n维离散型随机变量，称p(x,x,1 2

,x)P{Xn

x,X1

x, ,X2

x}nn维离散型随机变量XX,1 2

,X)的联合分布律.n4.f(x,x1 2

x)n维空间中的任意区域nG，总有下式成立

X,X, ,X)f(x,x,

,x)dx dx，1 2 n

1 2 n 1 nG则称XX,1 2

Xnf(xxn 1

, ,xn

nXX,1 2

,X)的联n合概率密度.5．n个随机变量相互独立：若n维随机变量XX1 2

XF(xxn 1 2

,x)，nFxFxX的边缘分布函数.如果对任意的实数(x,x,xF(xx,,x)F (x)，则称Xii i1 2n 1 2nXi iX,X1

, ,X2

相互独立.设XX1 2

X为离散型随机变量，对于所有可能的取值(xxn 1

, ,xn

X1

, X 相互2 nP{X1

x,X1

x,2

,X xn

}ni1

P{Xi

x}.i设XX1 2

X为连续型随机变量，对于任意的实数(xxn 1 2

xXn 1

, ,X2

相互独立等价于：f(x,x,1 2四．例题讲解

,x)nni1

f (x).Xi i1．设二维随机变量X,YY

X-1X-11/253/2512/2512/254/253/25）Z=X+Y（）ZX2Y例2．设随机变量X与Y相互独立，且X B(n,p),Y B(n,p),求Z=X+Y的分布律．1 22xy,0x1,0y1.例3．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)0,其它.

ZXY的概率密度f(z).Z4．设随机变量XY独立同分布，都服从标准正态分布N(0,1)ZXYf(x)ex,x0, Y5．设随机变量XY独立同分布，其概率密度为

求Z 的概率密.0,其它.例6L中有三个同种型号的半导体元件，设其寿命为Xiex,x0,

X,i1,2,3，寿命的概率密度为f(x) 其中00,其它.概率论与数理统计教学教案4章数字特征与极限定理授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第4章第1节数学期望课的类型新知识课教学方法教学重点讲授、课堂提问、讨论、启发、自学数学期望、根据随机变量的概率分布求其函数的教学手段教学难点黑板多媒体结合运用数字特征的基本性质计算数学期望具体分布的数字特征、根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。教 学 基 本 内 容一．随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望：设离散型随机变量XP{Xxk

}pk

,k1,2, ,若级数xpk k1xpk k1

XEX或X.

E(XXf(xxf(x)dx绝对收敛，X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X或二．随机变量函数的数学期望

EXX

xf(x)dx.定理：设有随机变量X 的函数

gXE[g(X)]存在.XP{Xxk

}pk

,k1,2,

，则EY)E[g(X)]k1

g(xk

)p.kX

f(xE(Y)EgX)]

g(x)f(x)dx定理：设有随机变量（X,Y）的函数ZgX,YE[g(X,Y存在.若X,Y为离散型随机变量，其联合分布律为P{Xx,Yyp

,i,j1,2, 则E(Z)E[g(X,Y)]

ig(x,i

i ij)p.j iji1 j1（2）若X,Yf(xy，则E(Z)E[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dxdy. 三．数学期望的性质设CE(C)C.设CXE(CXCEX).X,Y为任意两个随机变量，则E

Y)E(X)E(Y).E(X1

X ...X )E(X)E(X )...E(X ).2 n 1 2 nX,Y为相互独立的随机变量，则EXY

E(X)E(Y).若X,X ,...,X 为相互独立的随机变量，则有E(XX...X )E(X)E(X )...E(X ).1 2 n 1 2 n 1 2 n四．例题讲解例1．求下列离散型随机变量的数学期望：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例2．求下列连续型随机变量的数学期望：(1)指数分布；(2)正态分布.1例3．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从以4

为参数的指数分布，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.例4．设随机变量X的分布律为X-1012P0.30.20.40.1令Y2X1，求E(Y).5．设风速V是一个随机变量，它服从(0,a上的均匀分布，而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：FkV2（常数k>，求F6．设二维随机变量X,Y的分布律为X Y 11 2

20.320.35EX2Y.例7．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为xy, 0x1,0y1f(x,y) 0, 其它EXE(YEXY).例8．某工厂每天从电力公司得到的电能单位：千瓦）[10，30]上的均匀分布，该工厂每天对电单位：千瓦）[10,]上的均匀分布，其中XY相互独立.设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得300来补充，使用附加电能时每千瓦只能取得100XN(5,102)，求Y3XE(Y).例10．设一电路中电流I(A)与电阻R()是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为2x, 0x

y2

,0y3fI(x)0,

f(y)R

90 其它试求电压VIR的数学期望。授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第4章第2节方差教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学重点方差及其性质

课的类型新知识课教学手段黑板多媒体结合教学难点运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征.参考教材 作业布置课后习题大纲要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。教 学 基 本 内 容一．随机变量的方差方差：设X为随机变量，若EXEX)]2}X的方差，记为D(X或2，即XD(X)E{[XE(X)]2}.称D(X)为X的标准差或均方差，记为 .X若X为离散型随机变量，其分布律为P{X

}k

,k1,2, 则kD(X)[xkk1

E(X)]2p.k若Xf(x)，则D(X)[xE(X)]2f(x)dx.4DX)EX2[EX)]2.二．方差的性质设C为常数，则D(C)=0.设XD(CX)C2DX.设随机变量X与Y相互独立，则有D)=D(X)+D(Y).若X1

,,X2

相互独立，则有D(X X1 2

)D(n

)D(1

)D(X ).2 n一些重要分布的期望与方差分布 分布律或概率密度 数学期望 方差p,0}q01

0p1,pq1k}Ckpkqnk,k0,1,2, ,n

p pq二项分布 0p1,pq1

np npq几何分布

P{Xk}pqkk1,2, , 1 qpq1 p p2P{Xk}ke,k0,1,2, ,0泊松分布 k! 均匀分布

1 , axf(f(x)b

a

(ba)2 ， 其它

2 12正态分布

f(x)

12

(x)2, e 2e 2指数分布

ex, x0 1 1f(x) ，0 x0

2例4.12求下列离散型随机变量的方差：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例4.13求下列连续型随机变量的方差：(1)均匀分布；(2)指数分布.例4.14甲、乙两台机床同时加工某种零件，它们每生产1000件产品所出现的次品数分别用X,X1 2其分布律如下，问哪一台机床加工质量较好？

表示，X,X1 2P(X)1P(X2

00.70.8

10.20.06

20.060.04

30.040.14.15XYX1的指数分布，Y92D(X1).授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第3章第3节协方差与相关系数教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学重点协方差与相关系数参考教材大纲要求理解协方差、相关系数的概念

课的类型复习、新知识课教学手段黑板多媒体结合教学难点协方差与相关系数作业布置课后习题教 学 基 本 内 容一．协方差与相关系数的概念协方差：设二维随机变量(X,Y，若E{[XE(XE(Y存在，则称它为随机变量XY的协方差，记为cov(X,Y)，或

cov(X, Y)XE(XE(Y)]}，即XY，即2．相关系数：当DX0时，称

cov(X,Y)XY D(X) D(Y

为随机变量X与Y的相关系数。不相关：当 0时，称随机变量X与Y不相关或线性无关。XYcov(X,Y)E(XYE(X)E(Y).二．协方差与相关系数的性质cov(X,Y),X).cov(aX,bYabcov(X,Y), a,b.cov(X)cov(X,Z),Z).4.D(XY)D(X))2cov(X,Y)5.|XY1.6.|XY1的充分必要条件是X与Y以概率1具有确定的线性关系，即aX1，其中a0,a,b为常数.）XY越大，这时Y与X的线性关系就越密切，当XY=1时，Y与X就有确定的线性关系；反之，XY

越小，说明Y与X的线性关系就越弱，若XY

=0，则表明Y与X之间无线性关系，故称X与Y是不相关的.可见，

X与YXYX与YX与YX与YX与Y（3）设(X,Y服从二维正态分布，即X,Y~N(,2,2，可以证明：1 2 1 2E(X),D(X)2,E(Y),D(Y)2,cov(X,Y),

.1 1 2 2 1 2 XY（4）对二维正态随机变量来说，X与Y相互独立的充要条件为0，现在又知 XY对二维正态随机变量X与YX与Y

，故设X和Y是随机变量，若EXk

k1,2, 存在，则称它为Xk若E{[XE(X)]k}, k1,2, 存在，则称它为X的k阶中心.若E(XkYl), k,l1,2, 存在，则称它为X和Y的阶混合.若E{[XE(X)]kE(Y)]l}, k,l1,2, 存在，则称它为X和Y的阶混合中心.四．例题讲解例．设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额（单位：元表示其财产保单的免赔额，随机变量(X,Y)的联合分布律为Y 0 100 200X100250求cov(X,Y)， .XY

0.20.05

0.10.15

0.20.3例2．设随机变量(X,Y)在D{(x,y)|x0, y0, xy上服从均匀分.求cov(X,Y)， .XY3．X~N，且YX2X与Y是否不相关？是否相互独立？例4．已知D(X)4,D(Y)1,XY

0.5, D(3X).5．X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,VaX－bY，其中为常数，求U和V的相关系数 .UV

2),已知UaXbY，授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第4章第4节切比雪夫不等式大数定律与中心极限定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合教学重点切比雪夫不等式、切比雪夫大数定律、伯努力大教学难点切比雪夫大数定律、伯努力大数参考教材

数定律和辛钦大数定律、列维－林德伯格定理和狄莫弗－拉普拉斯定理

定律和辛钦大数定律作业布置课后习题大纲要求1.了解切比雪夫不等式。了解切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律。了解列维－林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）和狄莫弗－拉普拉斯定理（以正态分布为极限分布。教 学 基 本 内 容一.切比雪夫不等式1．定理（切比雪夫不等式）设随机变量X 的数学期望E(X)和方差D(X)都存在，则对于任意0，XEX)

DXXEX1DX)2 2二．大数定律（伯努利大数定律）设

是nApA在每次试验中发生的概率，则

nnp.即对任意0，都有n limn n

p}

1，或 limn n

p|}0.（辛钦大数定律）设随机变量X,X1n 1 2

X, EXn

)，则X Xn n

n时依概率收敛于，即对0，都有i1

lim{|1n Xn n k1

}1，或 lim{|1n Xn n k

|}0.三.中心极限定理X1

, ,2

, 独立同分布，具有数学期望和方差：nx都有

n Xi

n

E(Xix

),D(Xi1 t2

)2,i1,2, ,limi1n

x}

e2dt(x)2（棣莫弗—拉普拉斯定理）设随机变量Yn

服从二项分布B(n,p)，则对于任意x，有limn

Ynpnnp(1p)

x}x

21e2dt(x)12四．例题讲解例1．设电站供电网有10