考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷47(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷47(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设X1，X2，…Xn是取自总体X的简单随机样本，记EX＝μ，DX＝σ2，DS＞0，则A．S是σ的无偏估计．B．S2是σ2的无偏估计．C．是μ2的无偏估计·D．是EX2的无偏估计．正确答案：B解析：从上题知S2是无偏估计，应选(B)．进一步分析DS＝ES2一(ES)2>0(ES)2≠ES2＝σ2ES≠σ．σ2＋μ2≠μ2，知识模块：概率论与数理统计2．设是从总体X中取出的简单随机样本X1，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果A．X～N(μ，σ2)．B．X服从参数为μ的指数分布．C．P{X＝m}＝μ(1一μ)m－1，m＝1，2，…D．X服从[0，μ]上均匀分布．正确答案：A解析：若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，μ的矩估计为，应选(A)．若x服从参数为μ的指数分布，则，μ的矩估计；对于选项(C)，X服从参数为μ的几何分布，EX＝，μ＝的矩估计；对选项(D)，EX＝，μ＝2EX，于是μ的矩估计．知识模块：概率论与数理统计3．假设总体X的方差DX＝σ2存在(σ>0)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其方差为S2，且DS＞0，则A．S是σ的矩估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的无偏估计量．D．S是σ的相合(一致)估计量．正确答案：D解析：由各选项中概念的定义及知，正确选项是(D)，这是因为σ2DX的矩估计量，因而S不是σ的矩估计量，(A)不成立；题中未对X的分布做出假设，因此σ的最大似然估计量是否存在不知，(B)不成立。如果S2是σ2的最大似然估计量，根据最大似然估计的不变性，可以断言S是σ的最大似然估计量，选项(B)成立，否则选项(B)不成立．如果S是σ的无偏估计即ES＝σ，由此得(ES)2＝σ2，又ES2＝σ2，所以DS＝ES2一(ES)2＝0，与假设矛盾，所以(C)不成立，因此选(D)．事实上，由大数定律及依概率收敛性质知故，即S是σ的相合估计量．知识模块：概率论与数理统计填空题4．设X1，X2，…Xn是取自总体X的简单随机样本，是总体方差σ2的无偏估计量，则a＝_______，b＝______．正确答案：解析：样本方差是总体方差σ2的无偏估计，所以知识模块：概率论与数理统计5．设总体X服从(a，b)上的均匀分布，X1，X2，…Xn是取自X的简单随机样本，则未知参数a，b的矩估计量为＝______．＝______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6．设总体X的概率分布为其中p(0＝p，故p的矩估计量．最大似然估计：似然函数解得p＝，故p的最大似然估计量(Ⅱ)由于，要证无偏性只要验证即相应的估计量均为无偏估计量．涉及知识点：概率论与数理统计7．设总体X的概率密度为f(x，α，β)＝其中α和β是未知参数，利用总体X的如下样本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估计值和最大似然估计值．正确答案：由f(x；α，β)≥0和f(x；α，β)dx＝1，得到α≥0，β≥0且α＋β＝1.于是(I)求矩估计值．由于而(－0．5＋0．3－0．2－0．6－0．1＋0．4＋0．5－0.8)＝，令E(X)＝，解得α的矩估计值．(Ⅱ)求最大似然估计值．由于在给定的8个样本值中，属(一1，0)的有5个，属[0，1)的有3个，故似然函数为令，解得α的最大似然估计值(显然这时L(α)最大)．涉及知识点：概率论与数理统计8．已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?正确答案：记EX＝μ，DX＝σ2，则由等式，因此参数θ的矩估计量为由于样本均值与总体X的期望相等，因此，计算可知是θ的有偏估计量．涉及知识点：概率论与数理统计9．接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行n(n≥1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为k1，k2，…，后，试求命中率P的最大似然估计值和矩估计值．正确答案：依题意，总体X服从参数为p的几何分布，即P{X＝k}＝p(1－p)k－1，k＝1，2，…，由于EX＝，所以p的矩估计值．样本(k21，k2，…，kn)的似然函数L为L(k1，k2，…，kn；p)＝P{X1＝k1，X2＝k2，…，Xn＝kn}因此P的最大似然估计值涉及知识点：概率论与数理统计10．设X服从[0，6]上的均匀分布，X1，…，Xn为简单随机样本，求a，b的最大似然估计量．正确答案：设χ的样本观测值为x1，…，xn则似然函数显然，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i＝1，…，n}＝{b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i＝1，…，n}＝{a≤(xi，…，xn)}，所以只有当b＝max{Xi}，a＝{Xi}时，L才达到最大值，故a，b的最大似然估计值分别为，从而可知其最大似然估计量分别是．涉及知识点：概率论与数理统计11．已知总体X的密度函数为其中θ，β为未知参数，X1，…，Xn为简单随机样本，求θ和β的矩估计量．正确答案：因此θ与β的矩估计量分别为涉及知识点：概率论与数理统计12．设总体X服从韦布尔分布，密度函数为其中α>0为已知，θ>0是未知参数，试根据来自X的简单随机样本X1，X2，…Xn，求θ的最大似然估计量．正确答案：设x1，x2，…，xn是样本X1，…，Xn的观测值，当Xi>0(i＝1，2，…，n)时其似然函数为因此θ的最大似然估计值为，最大似然估计量为．涉及知识点：概率论与数理统计13．设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．正确答案：考虑事件A：“试验直至时间T0为止，有k只器件失效，而有n—k只未失效”的概率．记T的分布函数为F(t)，即有一只器件在t＝0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}＝F(T0)：1一；而在时间T0未失效的概率为P{T>T0}＝1一F(T0)＝．由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件A的概率为这就是所求的似然函数．取对数得lnL(λ)＝lnCnk＋kln(1一)＋(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估计为涉及知识点：概率论与数理统计14．设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，X1，X2，…Xn取自总体X的简单随机样本，，X(n)＝max(X1，…，Xn)．(I)求θ的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)求常数a，b，使均为θ的无偏估计，并比较其有效性；(Ⅲ)应用切比雪夫不等式证明：均为θ的一致性(相合性)估计．正确答案：(I)依题意总体X的密度函数、分布函数分别为令μ＝EX=，解得θ＝2μ，于是θ的矩估计量为．又样本X1，…，Xn的似然函数为L(θ)为θ的单调减函数，且O≤xi≤θ，即θ要取大于xi的一切值，因此θ的最小取值为max(x1，…，xn)，θ的最大似然估计量＝max(X1，…，Xn)＝X(n)．为求得b，必须求X(n)的分布函数F(n)(x)及密度函数f(n)(x)，由X(n)＝max(X1，…，Xn)得涉及知识点：概率论与数理统计15．设有一批同型号产品，其次品率记为P．现有五位检验员分别从中随机抽取n件产品，检测后的次品数分别为1，2，2，3，2．(I)若已知P＝2．5％，求n的矩估计值；(Ⅱ)若已知n＝100，求P的极大似然估计值；(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，检验员从该批产品中再随机检测100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于3的概率．正确答案：记X为n件产品中的次品数，则X～B(n，P)．(Ⅰ)由＝EX＝np，即＝2.5%n，得＝80.(Ⅱ)(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心极限定理知X近似服从N(2，)，于是涉及知识点：概率论与数理统计16．假设批量生产的某种配件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)，今随机抽取16个配件，测得平均内径＝3．05毫米，样本标准差s＝0．4毫米，试求μ和σ2的90％置信区间．正确答案：这是一个正态总体的区间估计，由于σ2未知，关于μ的置信区间公式为其中满足P{｜t(15)｜＞}＝0．1，查表可知t0.05(15)＝1．753，于是置信度为90％关于μ的置信区间为I＝(3.05－×1.753，3.05＋×1.753)＝(2.87，3.23)μ未知关于σ2的置信区间公式为其中(n一1)分别满足P{χ2(n－1)≥}＝0.05，P{χ2(n－1)≥1－}＝0.95，查χ2分布上分位数表得χ0.952(15)＝7．261，χ0.052(15)＝24．996，于是置信度为90％关于σ2的置信区间为涉及知识点：概率论与数理统计17．在测量反应时间中假设反应时间服从正态分布，一心理学家估计的标准差是0．05秒．为了以95％的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0．01秒，应取的样本容量n为多少?正确答案：对于正态总体方差已知μ的置信区间为其中满足P{｜U｜≥}＝0．95，U—N(0，1)，所以＝1．96对平均反应时间的估计误差为，解不等式因此应取的样本容量n至少为97．涉及知识点：概率论与数理统计18．某装置的平均工作温度据制造厂家称低于190℃．今从一个由16台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为195℃和8℃，根据这些数据能否支持厂家结论?设a＝0．05，并假定工作温度近似服从正态分布．正确答案：这是一个正态总体方差未知关于期望值μ的假