考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷22(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…XnA．有相同的数学期望；B．有相同的方差；C．服从同一指数分布；D．服从同一离散型分布．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计2．设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且A．Y1、Y2均与独立．B．Y1、Y2均与不独立．C．Y1与独立，而Y2未必．D．Y2与独立，而Y1未必．正确答案：D涉及知识点：概率论与数理统计填空题3．对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计4．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．正确答案：χ涉及知识点：概率论与数理统计5．设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．正确答案：0.7涉及知识点：概率论与数理统计6．设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7．对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34．涉及知识点：概率论与数理统计8．对随机变量X，Y，已知EX2和EY2存在，证明：[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．正确答案：t∈R1，有0≤E(X+tY)2=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为t)无实根或有重根，所以其判别式△≤0，而△=4[E(XY)]2一4EX2.EY2，即得[E(XY)]2≤E(X2)．E(Y2)．涉及知识点：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn是同分布的随机变量，且EX1=0，DX1=1．不失一般性地设X1为连续型随机变量．证明：对任意的常数λ＞0，有．(不熟者可对n=2证明)正确答案：由已知可知：E(Xi2)=DXi+(EXi)2=1，i=1，…，n．设(X1，…，Xn)的概率密度为f(x1，x2，…，xn)涉及知识点：概率论与数理统计10．两家影院竞争1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响．试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1％?(φ(2．328)=0．9900)正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设N个座位才符合要求，而这1000名观众中有X名选择甲影院，则X～B由题意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心极限定理知：涉及知识点：概率论与数理统计11．(1)设系统由100个相互独立的部件组成．运行期间每个部件损坏的概率为0．1．至少有85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率．=0．9522．(2)如果上述系统由n个部件组成，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作．问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0．95?φ(1．645)=0．95．正确答案：(1)设有X个部件完好，则X～B(100，0．9)∴EX=90，DX=9，∴P{系统正常工作}=P{X≥85}=(2)设有Y个部件完好，则Y～B(n，0．9)，∴EX=0．9n，DX=0．09n∴P{X≥0．8n}=得n≥24．35即n≥25．涉及知识点：概率论与数理统计12．对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：正确答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则EekX=∫-∞+∞ekx.f(x)dx，而P{x≥ε}=涉及知识点：概率论与数理统计13．当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4至0．6之间的概率不小于0．9?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解．正确答案：没抛掷n次硬币，正面出现X次，则X～B(n，0．5)．现要求．即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)=P(|X一0．5n|＜0．1n)≥得n≥250；(2)用中心极限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)=∴n≥67．65即n≥68．涉及知识点：概率论与数理统计14．利用中心极限定理证明：正确答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k=1，2，…，且{Xk}相互独立．由泊松分布的再生性知涉及知识点：概率论与数理统计15．设总体X具有概率密度：f(x)=从此总体中抽得简单样本X1，X2，X3，X4，求T=正确答案：T的分布函数为FT(t)=P(T≤t)==P(X1≤t，…，X4≤t)=[P(X1≤t)]4=涉及知识点：概率论与数理统计16．设总体X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn为取自X的简单样本，记|Xi一μ|，求E(d)，D(d)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?φ(1．645)=0．95正确答案：由题意知：∴n≥67．65，即n≥68涉及知识点：概率论与数理统计18．从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(φ(2．33)=0．99)．正确答案：设总体X～N(μ，σ2)，则，由题意得：涉及知识点：概率论与数理统计19．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得样本X1，…，Xn，Xn+1，记试求的分布．正确答案：相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计20．设k个总体N(μi，σ2)(i=1，…，k)相互独立，从第i个总体中抽得简单样本：Xi1,Xi2…，Xin，记正确答案：由～χ2(ni一1)，i=1，2，…，k．且χ12，…，χk2相互独立，∴即T～χ2(n一k)涉及知识点：概率论与数理统计21．从总体X～N(0，σ2)中抽得简单样本X1，…，Xn+m，求正确答案：，i=1，…，n+m，且诸Xi相互独立，故：又∵相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计22．设总体的密度为：其中θ＞0，而θ和μ为未知参数．从X中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．试求θ和μ的矩估计和最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计23．设总体X在区间(μ一ρ，μ+ρ)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计24．设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，Xn为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是θ的无偏估计?正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计25．设Y=lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn为取自总体的X的简单样本，试求EX的最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计26．从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别记为X1和X2．试证：对任意满足a+b=1的常数a、b，都是μ的无偏估计．并确定a、b，使D(T)达到最小．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计27．总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，Xn．试推导σ2的置信度为1一α的置信区间．若样本值为：1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度为0．95的置信区间．(χ0.9752(6)=14．449，χ0.0252(6)=1．237．下侧分位数．)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计28．为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0．95的置信区间(t0.975(11)=2．201，下侧分位数)．正确答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体X与Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，本题中n=6,=4，1一α=0．95，故μ1一μ2的置信下限为涉及知识点：概率论与数理统计29．某种清漆的9个样品的干燥时间(小时)为：6．5，5．8，7，6．5，7，6．3，5．6，6．1，5．设干燥时间X～N(μ，σ2)，求μ的置信度为0．95的置信区间．在(1)σ=0．6(小时)；(2)σ未知．两种情况下作．(u0.975=1．96，t0.975(8)=2．3060，下侧分位数)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计30．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11．设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0．95的置信区间．正确答案：设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)，而n=9，α=0．05．∴α的置信下限为，σ的置信上限为涉及知识点：概率论与数理统计31．一个罐子里装有黑球和白球．黑、白球数之比为R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数．这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，Xn．基于此，求R的最大似然估计．正确答案：由题意，总体X的分布律为：P{X=k}=，k=0，1，2，…似然函数为L=涉及知识点：概率论与数理统计32．用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1．6kg／mm2．为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．设零件强度服从正态分布，取显著性水平α=0．05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?(χ0.9752(8)=17．535，χ0.0252(8)=2．180，下侧分位数)正确答案：设零件强度为总体X，则X～N(μ，σ2)，检验H0：σ2=1．62．拒绝域为．故接受H0．涉及知识点：概率论与数理统计33．一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．设测定值总体服从正态分布，问在α=0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为3．26．(t0.99(3)=5．8409，下侧分位数)．正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体X，则X～N(μ，σ2)．检验H0：μ=μ0．这儿μ0=3．26，n=4，拒绝域为：涉及知识点：概率论与数理统计34．测得两批电子器材的部