第三章-刚体力学基础

刚体力学基础第三章刚体：任何情况下物体的大小和形状都不发生变化，即物体内任意两点间的距离保持不变。平动(3个自由度)：可以归结为质点运动的问题刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。3-1刚体的基本运动一、刚体的基本运动：平动和定轴转动转动(3个自由度)

：对点、对轴（只讨论定轴转动）既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动定轴转动：各质点均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。转动平面转轴参考方向刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。加速转动方向一致减速转动方向相反an=v方/rat=v/t=wr/t=rβ二、刚体绕定轴的匀变速转动

刚体绕定轴转动时，若β为常数，则这种运动称为刚体绕定轴的匀变速转动比较－质点匀变速直线运动和刚体绕定轴的匀变速转动

（线量关系与角量关系）质点的匀变速直线运动刚体绕定轴的匀变速转动例题

一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮，因受到制动而均匀减速，经过30秒停止转动。试求：（1）β和在此时间内飞轮所转的圈数

（2）t=6秒时飞轮的ω

（3）t=6秒时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加速度和法向加速度分析：由每分钟150转可知而已知r=0.2mt=30sω=0可由公式求相应的物理量解:(1)负号表示角加速度方向与角速度方向相反

（飞轮做匀减速转动）所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为(2)(3)在t=6秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和加速度可分别由公式得一力对转轴的力矩转动平面外(2)转动平面内(1)任意方向的力对转轴的力矩3-2刚体绕定轴的转动定律转动惯量F应该理解为外力在转动平面内的分力只有平行分量对定轴转动起作用如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等于各个力矩的代数和力是引起质点运动状态变化的原因，而力矩是引起转动物体运动状态变化的原因Ｍ的方向由右手螺旋定则来确定，若先选定了转轴的正方向，则M与转轴方向一致时取正值，反之为负值转动平面二刚体绕定轴的转动定律

刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出外力的合力内力的合力质点i的加速度假设都是位于质点i所在的转动平面内

得到：

ZMdfdFO

rdFd

dmdFn转动平面vvvvvvz将切向分量式两边同乘r，变换得(法向力的作用线通过转轴,对转轴的力矩为零).ZMdfdFO

rdFd

dm

dFn转动平面转动定律vvvvvvz将力分解为作用在质量元△m上的切向力和法向力对等式左边求和得到外力矩合外力矩M内力矩＝0转动惯量J刚体定轴转动的转动定律

刚体绕定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上所有外力对该轴的合力矩。写成矢量形式M＝J与地位相当m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。国际单位制中转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2）三转动惯量的计算与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状

实质上与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。单个质点的转动惯量质点系的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与该质点到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布转动惯量的定义及物理意义外力矩一定时，J越大，则β越小即刚体转动的运动状态越难改变例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量ROdmZ例2、求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm=dx(质量为线分布)ABLXABL/2L/2CXoodxdx问：求质量m

,半径R

的均匀球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元m求质量m

,半径R

的均匀球体对直径的转动惯量m解：以距中心，厚的球壳为积分元运用上题球壳转动惯量结果计算转动惯量例子匀质薄圆盘对心垂轴的转动惯量J常见转动惯量表(理解转动惯量的意义,不要死记硬背)OrdrRmdmdm四平行轴定理其中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴(JC)平行，相距为d，刚体对该任一轴的转动惯量为J，则有：

J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。在上个例题中zLCMz'取一个厚度无限小的薄板刚体，建立直角三维坐标系，设薄板在OXY平面内，则Z轴与平面垂直薄板对Z轴的转动惯量＝对X轴的转动惯量对Y轴的转动惯量垂直轴定理五刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。mgP83

定滑轮特点：

1.绳两端悬挂物体的位移、速度和加速相等。2.若考虑滑轮质量，一般而言绳两端拉力T1于T2不相等。mg解：作业P95

3-53-6预习3-33-43-3刚体定轴转动的动能定理1力矩的功恒力矩的功等于力矩和角位移的乘积注意是标量相乘与质点的比较注意:1.对于刚体,内力不作功,仅需考虑外力的功.(因为刚体质点间的相对位置不变)2.力矩的功实际上还是力做的功,在讨论刚体时,采用这种表述形式上比较方便.3.可以先求合力矩再求功！(与质点求合功的不同!)转动动能与质点动能的对比二刚体定轴转动的动能

刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。三刚体定轴转动的动能定理当θ=θ1时，ω=ω1所以：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量刚体定轴转动的动能定理由刚体的转动定律机械能守恒定律条件刚体在转动过程中，若只有重力矩对刚体做功，其它外力矩都不做功，则刚体在重力场中机械能守恒

刚体的质心距离零势能面间的高度转动定律动能定理机械能守恒定理简单！不用求积分！例题1一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守恒定律求解）解：（用动能定理解）

重力对轴的力矩为Ogdmdm重力矩所做的功为初位置：末位置：由刚体定轴转动的动能定理Ogdmdm（用机械能守恒定律解）假设棒在水平位置时的重力势能为零势能还可以求棒上任一点的线速度及加速度Ogdmdm简单！不用求积分！但要记住转动惯量例2、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳一端挂一质量为ｍ的物体。忽略轴处摩擦，ｍ开始静止时位于距地面ｈ高度，求物体刚到地面时的速率。mg解：对滑轮，满足转动的动能定理，外力矩即拉力矩；对物体，满足质点动能定理（合力做功）对滑轮：对物体：角量与线量关系：mg用质点系的动能定理用机械能守恒定理合力（矩）所作的功等于系统动能的增量3-4刚体定轴转动的角动量守恒定律一刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量O质点相对O点的矢径与质点的动量的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用表示。对刚体而言，是一个质点系，刚体上每一点对轴的角动量方向都相同，因此virimii刚体对轴的角动量定义：刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积刚体定轴转动的角动量定理刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。转动定律的另一种表达形式变形可得刚体定轴转动的角动量定理合外力矩在某时间段内的冲量矩刚体定轴转动的角动量定理：定轴转动刚体的角动量（在某段时间内）的增量等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩合外力矩为零，则刚体绕定轴转动的角动量守恒对轴的角动量守恒定律若常量积分形式微分形式角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的刚体例：回转仪2、转动惯量可变的物体例：旋转的舞蹈演员讨论：判断下列情况角动量是否守恒（1）圆锥摆，作水平匀速运动的小球m对竖直轴OZ的角动量。分析：小球受重力和张力的作用，重力与OZ轴平行，重力矩为零；张力通过OZ轴，张力矩为零，故角动量守恒（2）绕水平轴自由摆动的直棍分析：直棍受重力和拉力的作用，拉力通过O轴，拉力矩为零，重力矩摆动时不为零；故角动量不守恒质点运动与刚体转动的比较例题一长为l、质量为M

的杆可绕支点O自由转动.一质量为m、速率为v的子弹射入杆内距支点为a处,使杆的偏转角为30º.问子弹的初速率为多少?MOlva解：把子弹和杆作为一个系统,碰撞中