《高等数学》课程教案

课次29学时2授课类型课次29学时2授课类型理论课授课章、节：第十一章无穷级数§8一般周期函数的傅立叶级数2l[0l的函数展开为正弦级数或余弦级数。教学重点及难点：本节重点是将周期为2l的周期函数展开为傅立叶级数以及将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数或余弦级数；难点是将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数或余弦级数。教学基本内容教学方法及手段一、奇函数和偶函数的傅里叶级数奇延拓:f(x) 0x令F(x)0

x0

且F(x2)F(x),f(xf(x)令Fx)f(x)

x00xx0 且FxFx),例1三、以2L为周期的傅氏级数定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为

课堂多媒体讲解a x xf(x) 0 (acosn sinn ),2 n1

l n l其中系数a,b为n na 1l f(x)cosnxx

(n0,1,2,)n l l lb 1l f(x)sinnxx

(n1,2,)n l l l如果f(x)为奇函数, 则有f(x)bsinnx, 2

nxn l b为

f(x)sin dx,n1如果f(x)为偶函数, 则

n n l 0 lf(x)a0acosnx, 其中系数a为a 2lf(x)cosnxdx2 n n1

n n l 0 l四、例题 例、3作业、讨论题、思考题：练习 P256 1（1，3）

若曲线L关于直线(平面)yx对称则f(x)dsf(y)dsL L《高等数学教程》第五章定积分习题参考答案1.(1)2. 43

1(b22

习题5-1(A)a2) (2)e13.(1) 3

(2)

R2

cosdx2cosdx222 2 0222(4) sinxdx2

sinxdx04.Q

22TI(e)dt2T15.88.2KN6. Ml(x)dx08.(1)

2x2dx2x3dx

xdxsinxdx221 1 0 022(3)

2lnxdx2(lnx)2dx (4) 4lnxdx4(lnx)2dx1 1 3 3(5) 1xdx1ln(x)dx0 09.(1)11exdxe

1(e2

e)e2 1

dxe2e0 2

lnx(3)

xarctanxdx2 (4) 2e2

0ex2xdx2e113349 3 21334习题5-1(B)1.(1) 1xdx (2) 1 1 dx

(3)

1 b(xdx03.VRR

(R2x2

01x2

baa4.2sinx, 221x41x4

(2) 3x

5-21x1x121x8

(sinxcosx)sin2x)(4) 2x'(x2)sin[(x2)]2'(x)sin[(x)]2tcottcosxey25.极小值I(0)016.(0, )147. 8a338. -1；29.(1) 21

(2)

(3)

1 (4)-18 4(5)14

(6)arctan(e2) 4

(1e1)1212(8) 42

(9)

82 2) (10)e21cos4cos21510.(1)0;0 (2) (3)0 (4)0(kl),(kl)11.(1)1 (2)2 (3) 2 (4) 13 3习题5-2(B)1.(1)ln2 (2) 1 (3) 2k1 2. f(xx0f(0)03. f(x)3x2ex1，1e24. ， 221x1 5.(x)1 x22x

当0x1时1x时2 68. 2；59. -11.(1) 51512

(2)43

习题5-3(A)2(3)1e12

(4)0(5)12ln

(6)

ln(2 3) 或 32 23

ln(2 3)(7)142.(1) 23

(8)(2)

2 22322

(3) 3324

(4) 43.(1) 1(2e3

(2)

(3)(1

31ln39(4) e1)8. e

2(5) 1(e5

4 9 2 2(6) 83521.(1) 4 42

习题5-3(B)(2) 22) (3) 1(esin1ecos12(4) 8

1ln4

(5) 8

(6) e12(7) 0

(8) 4

(9)4当m为奇数，m! 当m为偶数，m!(m! 2 (m(m2

m为偶数

,

m! 21 m (m m!

m为大于1的奇数2. f(xb)f(xa)3. 144. 1ln229. 0, 447!48! 2习题5-41. 145.6()2.(1)0.7188(2)0.6938(3)3.(1)1.3890(2)1.3506(3)1.35061.(1)收敛，1ln收敛于22.(1)收敛，32

习题5-5(A)(2)b0b0时收敛于(beab1(4)收敛于2 (5)收敛于1ln4 2(2)收敛，1 (3)发散(5)收敛，8 (6)收敛，3 3e21.(1)

习题5-5(B)1ln2 (2)发散 (3)发散 (4)0333(5)发散

(7) 2

ln(

2)22 2211

1 (lnlna)11k1k1

1 ，k1

1 时取最小值4. 2

(k2)klnln2习题5-61.(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4)收敛 (5)收敛(6)发散 (7)发散 (8)收敛 (9)发散 (10)绝对收敛2.(1)

1 1 ()

0 (2)(p

p1总复习题五一. 1.D 2.A 3.B 4.B5.C 6.D 7.D 8.C二.1. 3f(cos3x)sin3x

0cost2dt2x2cosx4x23. y2x 4. 1

5.sinx2 6. > 7. 12 48. 4

9. ln3

41 11. 1

12. 215 2三.1. 1

2.当1x01x)2，当x0时，11x)22 2 23. 13

4.ln(2 3) 323

1ln2 6. 23e2)37. 0 8. 3

9. 1

'(0)4 2n10. abc12

11. 2(定积分)习题选解习题5-1(B)f(x与g(x)在[a,b上连续，证明：若在[a,b]上f(x)0，且ba

f(x)dx0，则在[a,bf(x)0.若在[a,b]上f(x)0，且f(x)不恒为零，则ba

f(x)dx0.若在[a,b]上f(x)g(x)f(x)g(x).

bf(x)dxbg(x)dx，则在[a,b]上a af(x)在[a,b]不恒为零，则至少存在一点x [a,b] 使f(x)A0.不妨0 0设x (a,b)，由f(x)在xx 处连续及极限的局部保号性，存在0 00，使(x0

,x0

(ab，且在(x0

,x0

f(x)A，于2是bf(x)dxx0f(xdxx0Adx

A20.a x

x2 2这与题设a

0 0f(x)dx0矛盾.(2)由在[a,b]上f(x)0a

f(x)dx0.而如果a

f(x)dx0(1)知在在[a,bf(x)0只有a

f(x)dx0.(3)由(1)即得.习题5-2(B).g(x)连续，且g)5，1gt)dt2，设f(x)1x(xt)2gtdt.0 20

'(x)xxgt)dtxtgt)dt，从而计算f'')，f''').0 0证明：f(x)

1[x2xgtdt2xxtgtdtxt2gtdt]2 0 0 0f'(x)

1[2xxgtdtx2g(x)2xtgtdt2x2g(x)x2g(x)]2 0 0xxgtdtxtgtdt0 0f''(x)xgtdtxgt)xgt)xgtdt0 0f'')1gtdt20f'''(x)g(x)，f'''5.习题5-3(B).21.(7)2

cosxsin

dx 令x

t，01sinxcosx 22I2

cosxsin

dx0sintcost

dt

sintcos

dtI01sinxcos

1costsint2

01sintcost22I220

cosxsinxdx0.1sinxcosx21.(8)2

cos

dx

1 (cosxsinx)(cosxsinx)2 dx2 0sinxcosx 20 sinxcosx2 21[dx2

1 d(sinxcosx)]1[lnsinxcosx].2 0

sinxcosx 2 2 0 41.(11)计算Jm

xsinmm为自然数).0

xsinmdxsinmdx 令xtm 0 20 22sinmxdx0m1m3312

当m为偶数时 m m2 422于是Jm

m1m342 m m2 53

当m的奇数时当m时f(x)证明：0

ft)(xtdtx[0 0

f(u)du]dt.证明：设

f(udu(t)，则x[

fu)dudtttdtt)tx

xt't)dt0 0

0 0 0(x)xxtftdtxxfuduxtftdtI 4tannxdx, nNn1.n 0

0 0 0xxftdtxtftdtx(xt)ft)dt.0 0 0证明：(1)I I 1

(2)

1 I 1n n2

n1 2n2

n 2n2证明：(1)In

In2

404

tan

dx404

tann2

dx404

tann2x(tan2x4tann2dtanx0

1 .n1(2)由(1)知，In

In2

1n1

，I In2

1n1而在[0, 4

tann2xtannxtann2x于是I I I ，I I 2I I In2 n n2 n2 n n n n2即习题5-5(B).

1n

2I n

1n

， 1 I2(n

1 .2(n3．

dx 当k时dln

lnlnx

limlnlnxlnln2;2 x(lnx)k 2

lnx 2

x dx

当k1时

1 (lnx)1k

1 [lim(lnx)1k(ln2)1k]2 x(lnx)k 1k 2

1k x 1

k1(k1)(ln2)k; k1当k1时，原式发散；k1

1(k2)k

.求其最小值，即求I(k)(k1)(ln2)k1的最大值：I(k)(ln2)kk1lnln2],I(k)0k1且当k1 1 ,Ik1 1 ,Ilnln2 lnln2

1 ,lnln2k1

lnln2总复习题五.一(5).(略)解：F(x)x2x0F'(x)2xx0

ftdtxt2ftdt0ft)dtx2f(x)x2f(x)2xx0

f(t)dt现要求k使

2xx0

f

l0lim

2xx0

x0f(t)dt

xk2x0

f

，显然k10 (否则极限为0)x0 xk

x0 xk用罗必达法则，上式lim

2f(x)

f(x)f(0)x0(k1)xk2

k1

xk2当k21时上式为2 f'(0)0，故k3.k1三.(10)确定常数abc使x0

axsinx c.xln1t3)dtb t解：首先因为lim(axsinx)0，必须limxt3dt0b0x0

x0b t于是lim

axsinx

acosx

limx(acosx)

limacosxcx0

xln1t3)dtb t

x0x3) x0 x3) x0 x2x必须a1，从而可得极限c1.2sin sin三.(11)求极限

n n sin ).11x0 n1 n n11sin

sin2

2 n 解： n

n

sin

1(sin sin2 sin)1sini ，11n1 n n n n n 11

ni12 n而lim1nsini1sindx2nn n 0 i1另一方面，sin

sin 1n n sin 1 1

sin2 sin) n 1

sinin1 n n1 n

n n n1

ni12 n而

n 1

sini

1sindx2nn1 n n 0 i1原式.2四.(5) 设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b][a,b]，使下式成立bf(x)g(xdxf)bg(x)dxa a(积分第一中值定理)证明：不妨设g(x)0 (axb) (g(x)0时证明类)f(x在[ab上连续得mf(x)M.g(x)0得mg(x)f(xg(x)Mg(x，mbg(xdxbf(x)g(xdxMbg(xdxa a ab

f(x)g(x)dx而bg(xdx0，(1当bg(xdx0时，m a Ma a bg(xdxabf(x)g(xdx[ab]f)

bg(xdxaaa即ba

f(x)g(xdxf)bg(xdxa(2)当bg(xdx0时，g(x)0.a四.(6)f(xg(x在[a,b.)(a

f(x)g(xdx)2a

f2(xdxbg2(xdx (-)a(2)(b[f(x)g(x)]2x)a不等式).

(a

1f2(x)dx)

(bg2(xdx)2a2

(闵可夫斯基证明：(1)对实数t，f(xtg(x)]2

0b[f(x)tg(x)]2dx0a即ba

f2(x)dxta

f(x)g(x)dxt2bg2(x)dx0a于是判别式[2a

f(x)g(x)dx]24a

f2(x)dxbg2(x)dx0a即[ba

f(x)g(x)dx]2a

f2(x)dxb