北师大版数学必修四：《正切函数的诱导公式》导学案(含解析)

第8课时正切函数的诱导公式1.用类比的方法学习、熟记正切函数的诱导公式.2.了解正切函数诱导公式的特点,能利用正切函数诱导公式解决简单的问题.前面我们学习了正弦函数、余弦函数的诱导公式,知道角α与形如k·QUOTE±α(k∈Z)的正弦、余弦函数值的关系,那么角α的正切函数值是否也有相应的关系式呢?今天我们就来探讨一下这个问题.问题1:下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ+α(k∈Z)π+α-α图示与角α终边的关系

角π-αQUOTE-αQUOTE+α图示与角α终边的关系

问题2:请根据点的对称性推导“-α,π+α,π-α”的诱导公式.设角α与单位圆的交点为(a,b),(1)-α与α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,-α与单位圆的交点为(a,-b).sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=.

(2)α+π与α的终边与单位圆的交点关于原点对称,α+π与单位圆的交点为(-a,-b).sin(α+π)=-sinα,cos(α+π)=-cosα,tan(π+α)=.

(3)π-α与α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,π-α与单位圆的交点为(-a,b),sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=.

问题3:形如“QUOTE-α,QUOTE+α”的诱导公式的推导设角α与单位圆的交点为(a,b),(1)QUOTE-α的终边与x的终边关于y=x对称,与单位圆交点坐标称为(b,a),sin(QUOTE-α)=cosα,cos(QUOTE-α)=sinα,tan(QUOTE-α)=.

(2)QUOTE+α的终边即α的终边逆时针旋转90°,与单位圆交点坐标为(-b,a),sin(QUOTE+α)=cosα,cos(QUOTE+α)=-sinα,tan(QUOTE+α)=.

问题4:正切函数的诱导公式有哪些?(1)tan(α+kπ)=,其中k∈Z.

(2)tan(-α)=.

(3)tan(π-α)=.

(4)tan(π+α)=.

(5)tan(2π-α)=.

(6)tan(QUOTE+α)=.

(7)tan(QUOTE-α)=.

1.已知cot(QUOTE-α)=QUOTE,则tan(α-QUOTE)的值是().A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE2.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间(QUOTE,QUOTE)内的图像大致是().3.函数y=|tanx|的单调递减区间是.

4.已知tan(QUOTE+α)=2,求tan(QUOTE-α)的值.利用正切函数诱导公式化简求QUOTE的值.利用诱导公式证明三角恒等式设tan(α+QUOTEπ)=a,求证:QUOTE=QUOTE.利用正切函数诱导公式求值已知角α终边上的一点A(QUOTE,-1),求QUOTE的值.化简:QUOTE.求证:QUOTE=-tanα.已知α为第四象限角,且tanα是方程x2-x-12=0的一个根,求QUOTE的值.1.下列不等式中,正确的是().A.tanQUOTE>tanQUOTE B.tanQUOTE<tanQUOTEC.tan(-QUOTE)<tan(-QUOTE) D.tan(-QUOTE)>tan(-QUOTE)2.化简QUOTE的值是().A.-QUOTE B.-1 C.1 D.QUOTE3.sinQUOTEπ·cosQUOTEπ·tan(-QUOTEπ)的值是.

4.已知角α终边上一点P(2,4),求QUOTE的值.已知f(α)=QUOTE,(1)化简f(α);(2)若cos(α-QUOTE)=QUOTE,求f(α-QUOTE);(3)若α=-1860°,求f(α).考题变式(我来改编):第8课时正切函数的诱导公式知识体系梳理问题1:相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y=x对称互相垂直问题2:(1)-tanα(2)tanα(3)-tanα问题3:(1)cotα(2)-cotα问题4:(1)tanα(2)-tanα(3)-tanα(4)tanα(5)-tanα(6)-QUOTE(7)QUOTE基础学习交流1.Btan(α-QUOTE)=tan[-QUOTE-(QUOTE-α)]=-tan[QUOTE+(QUOTE-α)]=cot(QUOTE-α)=QUOTE,故选B.2.D当QUOTE<x≤π时,sinx≥0,tanx≤0,∴y=tanx+sinx-(sinx-tanx)=2tanx;当π<x<QUOTE时,sinx<0,tanx>0,∴y=tanx+sinx-(tanx-sinx)=2sinx,故选D.3.(-QUOTE+kπ,kπ)(k∈Z)根据y=|tanx|的图像可知.4.解:∵(QUOTE+α)+(QUOTE-α)=π,∴QUOTE-α=π-(QUOTE+α),∴tan(QUOTE-α)=tan[π-(QUOTE+α)]=-tan(QUOTE+α)=-2.重点难点探究探究一:【解析】原式==QUOTE=QUOTE=QUOTE.【小结】利用诱导公式,将任意角的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题,其一般步骤为:任意负角的

三角函数相应正角的

三角函数[0,2π)的

三角函数锐角三角函数三角函数值,诱导公式可用“奇变偶不变,符号看象限”来概括记忆.探究二:【解析】左边==QUOTE=QUOTE=QUOTE=右边.【小结】本题是条件等式证明问题,采用代入法使被证等式得证.证明条件等式一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边,在适当的时候将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形为被证等式,这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形.探究三:【解析】原式=QUOTE=sinα,而sinα=-QUOTE,∴原式=-QUOTE.[问题]tan(QUOTE+α)=cotα吗?[结论]对于正切函数诱导公式tan(QUOTE+α)=-cotα,易记成tan(QUOTE+α)=cotα而导致解答错误.于是,正确解答如下:∵点A(QUOTE,-1)是角α终边上的一点,∴x=QUOTE,y=-1,∴r=QUOTE=QUOTE=2,∴sinα=QUOTE=-QUOTE,∴原式=QUOTE=-sinα=QUOTE.【小结】本题主要考查的是角的终边上点的坐标与其三角函数的对应关系以及三角函数的诱导公式的应用,注意把握方法.思维拓展应用应用一:原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-1.应用二:左边=QUOTE=QUOTE=-tanα=右边.所以原式得证.应用三:∵QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又方程x2-x-12=0的两根分别为4、-3,且由α为第四象限角知tanα<0,∴tanα=-3,∴QUOTE=QUOTE=QUOTE.基础智能检测1.DtanQUOTE=tan(-QUOTE)<tanQUOTE;tanQUOTE=tan(-QUOTE)<tanQUOTE;tan(-QUOTE)=tanQUOTE,tan(-QUOTE)=tanQUOTE,∵QUOTE>QUOTE,∴tanQUOTE>tanQUOTE,∴tan(-QUOTE)>tan(-QUOTE);tan(-QUOTE)=tan(-3π-QUOTE)=tan(-QUOTE)=-tanQUOTE,tan(-QUOTE)=tan(-2π-QUOTE)=tan(-QUOTE)=-tanQUOTE.又tanQUOTE>tanQUOTE,∴tan(-QUOTE)<tan(-QUOTE),故选D.2.B原式=-QUOTE=-QUOTE=-1.3.-QUOTE原式=sin(π+QUOTE)·cos(π-QUOTE)·tan(-π-QUOTE)=(-sinQUOTE)·(-cosQUOTE)·(-tanQUOTE)=(-QUOTE)×(-QUOTE)×(-QUOTE)=-QUOTE.4.解:∵角α终边上有一点P(2,4),∴tanα=QUOTE=2,∴QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-tanα=-2.全新视角拓展(1)f(α)=QUOTE=QUOTE=-cosα.(2)由cos(α-QUOTE)