2014高中数学-4第二课时两平面垂直随堂自测和课后作业-苏教版必修

PAGEPAGE12014高中数学1.2.4第二课时两平面垂直随堂自测和课后作业苏教版必修2eq\a\vs4\al(1.)下列命题中，是真命题的为________(填序号)．①二面角的大小范围是大于0°且小于90°；②一个二面角的平面角可以不相等；③二面角的平面角的顶点可以不在棱上；④二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直．解析：二面角的大小范围是[0°，180°]，故①不正确；一个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角必相等，故②为假命题；由二面角的平面角的定义可知③不正确；由线面垂直的判定定理可知④正确．答案：④eq\a\vs4\al(2.)过直二面角α－l－β的面α内的一点P作l的垂线a，给出以下四个命题：①a⊥β；②垂线a是惟一的；③垂线a有无数条，且它们共面；④垂线a有无数条，且它们都不与β垂直．其中正确的命题为________．(写出所有正确的命题序号)解析：条件只说明a上有一点P在α内，所以垂线a可以在α内，也可以不在α内．答案：③eq\a\vs4\al(3.)下列说法中正确的是________(填序号)．①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．答案：③eq\a\vs4\al(4.)锐二面角α－l－β，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．解析：如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连结BC，OC.∴在Rt△AOB中，设AB＝1，则AO＝eq\f(\r(2),2)，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)，∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠AOC＝45°.答案：45°eq\a\vs4\al(5.)如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是________．解析：在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.过D作DE⊥BC于E，连结AE，则E为BC的中点，且AE⊥BC，所以AE即为点A到BC的距离．易知，AD＝eq\f(\r(3),2)a，△BCD是边长为eq\f(a,2)的等边三角形，所以DE＝eq\f(\r(3),4)a，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\f(\r(15),4)a.答案：eq\f(\r(15),4)a[A级基础达标]eq\a\vs4\al(1.)自正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB和平面PAD所成二面角大小是________．解析：画出图形，∠BAD即为所求二面角的平面角．∵∠BAD＝90°，∴所求二面角为90°.答案：90°eq\a\vs4\al(2.)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中正确说法的序号为________．解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．答案：①④eq\a\vs4\al(3.)已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．解析：面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，面PAD⊥面PAB.答案：5eq\a\vs4\al(4.)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.解析：如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.答案：④eq\a\vs4\al(5.)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线AC、BD，交于点O，则AO⊥BD，CO⊥BD.∴BD⊥平面OAC，∴BD⊥AC，OA＝OC＝OD，且两两垂直，∴AC＝CD＝AD，△ACD是等边三角形．∠ABO＝45°为AB与平面BCD所成的角，取AD、AC的中点E、F，易证OE＝EF＝OF＝eq\f(1,2)CD.△OEF为等边三角形，∴AB与CD成60°角．∴①②④正确．答案：①②④eq\a\vs4\al(6.)如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA.求证：(1)平面AMD∥面BPC；(2)平面PMD⊥面PBD.证明：(1)∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，∴PB∥MA.∵MA⊄平面BPC，PB⊂平面BPC，∴MA∥平面PBC，同理AD∥平面PBC.又∵MA∩AD＝A，∴平面AMD∥平面BPC.(2)连AC交BD于O，取PD中点N，连结ON、MN，∵MAeq\f(1,2)PB，ONeq\f(1,2)PB，∴MANO，∴四边形MAON为平行四边形，∴MN∥AO.∵AO⊥BD，PB⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD.∴AO⊥PB，∴AO⊥平面PBD，∴MN⊥平面PBD.又∵MN⊂平面PMD，∴平面PMD⊥平面PBD.eq\a\vs4\al(7.)如图，已知平面α∩平面β＝AB，平面γ⊥β，γ∩β＝CD，CD⊥AB.求证：γ⊥α.证明：在平面γ内作直线MN⊥CD，N为垂足(图略)．∵平面γ⊥平面β，则MN⊥β，而AB⊂β，∴AB⊥MN.由已知AB⊥CD，且CD∩MN＝N，∴AB⊥平面γ，又AB⊂平面α，∴α⊥γ.[B级能力提升]eq\a\vs4\al(8.)已知E是正方形ABCD的边BC的中点，沿BD将△ABD折起，使之成为直二面角，则∠AEB＝________．解析：在折起后的空间图形中，过A作AO⊥BD于O，则O为BD的中点，由折起后的图形是直二面角，可得AO⊥平面BCD，∴BC⊥AO.连结OE，则OE∥CD，∴BC⊥OE，故BC⊥平面AOE，从而∠AEB＝90°.答案：90°eq\a\vs4\al(9.)(2010·高考四川卷)如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC＝a，则AB＝2a，AD＝eq\f(\r(3),2)a，∴sin∠ABD＝eq\f(\f(\r(3),2)a,2a)＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)eq\a\vs4\al(10.)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．求证：平面EFG⊥平面PDC.证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PCD.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.eq\a\vs4\al(11.)(创新题)已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别是AB，AC，AD以及BC的中点．求证：面EHG⊥面FHG.证明：法一：如图，取CD中点M，连结HM，MG，则四边形MHEG为一菱形．连结EM交HG于O，连结FO.在△FHG中，O为HG中点，且FH＝FG，∴FO⊥HG.同理可证FO⊥EM，∴FO⊥面EHMG.又FO⊂面FGH，∴面EHG⊥面FHG.