概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

(2)X的分布函数并作图； (2)X的分布函数并作图；【解】概率论与数理统计课后习题答案第二章只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.P(P(X=3)==0.135P(X=4)==0.3C3C5P(XP(X=5)=4=0.6C3C5故所求分布律为540.330.150.6以X表示取出的次品个数，求：2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取以X表示取出的次品个数，求： (1) (1)X的分布律；P{X},P{1<X},P{1X},P{1<X<2}.222C322P(X=0)=13=C322C335P(X=2)=13=.C335故X故X的分布律为XXP 123123X0P0.008故X的分布函数当x≥2时，F(x)=P(X≤故X的分布函数(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求33.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数【解】33|0.008,4.(1)设随机变量X的分布律为 kk!k! (2)设随机变量X的分布律为 (2)设随机变量X的分布律为【解】分别令X【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b(3，0.6),Y~b(3,0.7)1=P(X=k)=a入k=ae入k!k=0k=0故(2)由分布律的性质知N (1)3333(2)降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降则有即利用泊松近似3问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？k=3 (3问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？k=3 (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. (1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6(5，0.3)P(XN)e44k<0.01k!7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的查表得7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的【解】设在每次试验中成功的概率为p，则【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故所以1210533243P(X=4)=C故所以12105332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， (2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.5(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b(7，0.3)7分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).10.某公安局在长度为t的时间间隔3收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).11.设P{X=k}=Cpk(1p)2k,k=0,1,255Cmpm(1p)4m,4XYPXP{Y≥1}.【解】因为P(X【解】因为P(X1)=9，故P(X<1)=9.而 (1)保险公司亏本的概率;保险公司领取 (1)保险公司亏本的概率;保险公司领取2000元赔偿金.求：p故得即(1p)2,故得即91p12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为Xb得表示试验首次成功所需试验的13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.44P(X2)P(X4)P(X2k)()3()2()3()2概率为0.002，每个参加保险的人在的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可(2)P(保险公司获利不少于10000)求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；k!即保险公司获利不少于10000即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000)=P(30000一2000X>20000)=P(X共5)k=015.已知随机变量X的密度函数为即保险公司获利不少于2000015.已知随机变量X的密度函数为求：(1)A值；(2)P{0<X<1};(3)F(x).【解】(1)由jf(x)dx=1得故1.2.22故|2ex16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 (2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F(x).【解】 (1)P(X共150)=j150100dx=1.100x23--132723339(3)当x<100时F(x)=0当x≥100时F(x)=jf(t)dtw100100t2x17.在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在[0，a]成正比例，试求X的分布函数.故当x<0时F(x)=0 机变量机变量X在[2值大于3的概率.故所求概率为3333333327 (2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未【解】依题意知X~E()，即其密度函数为施该顾客未等到服务而离开的概率为105Y~b(5,e-2)即,其分布律为5 (1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ (1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？故走第二条路乘上火车的把握大些. (2)若X~N(40，102)，则 (1010) (1010)故走第一条路乘上火车的把握大些.-- (1)求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{|X|＞2}，P{X＞3}; (2)确定c使P{X＞c}=P{X≤c}. (2)(2) (2)(2) (222) (222)(7)(7) (2)(2)=C||-C| (2)(2)X32-3)(X-3-2-X32-3)(X-3-2-3) (22)(22)(1)(5)(1)(5) (2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2)22(2)c=3(2)c=310.05±0.12内为合格 (装)(装)(装) (装)(装)(装)2x24.设随机变量X分布函数为 (1)求常数A，B； (3)求分布密度f(x). (2)求 (3)求分布密度f(x). l0,25.设随机变量X的概率密度为(x|,l0,l0,其他.02-w=j0f(t)dt=j1f(t)dt+jxf(t)dt-w01012222--故|_2+_|_2+_26.设随机变量X的密度函数为 (1)f(x)=ae|x|,λ>0;(2)(bx,|1l0,其他.试确定常数a,b【解】(1)由jf数F(x).数F(x).故入2即密度函数为2故其分布函数(1(1得即X的密度函数为其他--当x≤0时F(x)=0当0<x<1时F(x)=jf(x)dx=jf(x)dx+j0xf(x)dx2_w_w01x2=_2x|2_x27.求标准正态分布的上a分位点， (1)a=0.01，求za; 【解】(1)即即故aaaaaaaa (2)由即查表得aaaaaa/2XPkYPkXPkYPk--查表得28.设随机变量X的分布律为28.设随机变量求Y=X的2分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9PY0)=P(X=0)=5117117P(P(Y=4)=P(X=2)=5P(P(Y=9)=P(X=3)故Y的分布律为29.设P{X=k}=(2)k,k=1,2,…,令求随机变量X的函数Y的分布律.=()2+=()2+()4++()2k+222443330.设X~N(0，1). (1)求Y=e的X概率密度； (2)求Y=2X2+1的概率密度； (3)求Y=|X|的概率密度.【解】(1)当y≤0时，FY(y)=P(Yy)=0当y>0时，FY(y)=P(Yy)=P(exy)=P(Xlny)y(y(y-1) (2) (2)Z=2lnX的分布函数及密度函数.--故=jlnyf(x)dx-w-wf(y)=Y=f(lny)=YdyYdyyxyYY(y-1)(y-1)(y-1=j(y-1)/2f(x)dx-(y-1)/2X故fY(y)=故fY(y)=FY(y)=42=2=YY=jyf(x)dxX-y故fY(y)=FY(y)=fX(y)+fX(-y) (1)Y=e的X分 (1)Y=e的X分布函数及密度函数；e--Y0当y≥e时FY(y)=P(eX即分布函数故Y的密度函数为 (2)由P(0<X<1)=1知(12即分布函数即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为|(2x|试求Y=sinX的密度函数.其他.--π当y≥1时，FY(y)=1故Y的密度函数为(2(21-y233.设随机变量X的分布函数如下：|l(2),0034.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第{i枚骰子出现6点}。(i=1,2),P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则212666636故抛掷次数X服从参数为的几何分布。37.设在区间[a,b37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间[a,b]等于()得--n即36.已知即随机数字序列至少要有36.已知2则F(x)是()随机变量的分布函数. (A)连续型；(B)离散型； (C)非连续亦非离散型.【解】因为F(x)在(∞,+∞)上单调不减右连续，且xlF(x)0xlF(x)1所,以F(x)是一个分布函数。机变量的分布函数。选(C)但是F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(机变量的分布函数。选(C)(A)[0,π/2];(B)[0,π];3(C)[π/2,0];(D)[0,π].2sinxdx1故.f(x)不是密度函数。在[0,π]上，当πxπ时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。38.设随机变量X~N(0，σ38.设随机变量X~N(0，σ2)，问：当σ取何值时，X落入区间(1，3)的概率最大？【解】因为X~N(0,2),P(1X3)P()物品的人数Y物品的人数Y的分布律.--3131利用微积分中求极值的方法，有2222224得ln3,则又故03为极大值点且惟一。20ln3g()00故当3时X落入区间(1，3)的概率最大。品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种由全概率公式有mP(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)--Yl0,布Yl0,布=xwe-入入mCkpk(1-p)m-km!m!m=k=e-入xw入mpk(1-p)m-kk!(m-k)!k!(m-k)!k!=e-入p=e-入p,k=0,1,2,k!40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1e2X在区间(0，140.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1e2X在区间(0，1)上服从均匀分 .【证】X的密度函数为 .【证】X的密度函数为Xlx元0由于P(X>0FY由于P(X>0FY(y)=0FY(y)=1Y20即Y的密度函数为即Y~U(0，1)41.设随机变量X的密度函数为|,f(x)=〈,(2000研考)【解】由P(X≥k)=知(2000研考)【解】由P(X≥k)=知P(X<k)=--若k<0,P(X<k)=0若若0≤k≤1,P(X<k)=jdx=共若k>6,则P(X<k)=1故只有当1≤k≤3时满足P(X≥k)=.42.设随机变量X的分布函数为(0,x<-1, (1991研考) (1991研考)X的概率分布为P0.430.20.4由P(X≥1)=知P(X=0)=(1p)3=故p=44.若随机变量X在(1，6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】他545.若随机变量X~N(2，σ2)，且P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=.装装装装装装 (2)其中恰好有两台不能出厂的概率β；--P(X0)P(X202)(2)因此 (1)全部能出厂的概率α；故令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6(n，0.94),故nP(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)故查表知当y≤e时2FY(y)=P(Y≤y)=0.1-- (1)该电子元件损坏的概率α;分别 (1)该电子元件损坏的概率α;由X~N(220，252)知123由全概率公式有3ii由贝叶斯公式有i=12P(B)2P(B)49.设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量49.设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量22即即--当y≥e时4，即Y|1故50.设随机变量(1X的密度函数为l0,(e-xl0,(1995研考)求随机变量Y=e的X密度函数fY(y(1995研考)【解】P(Y≥1)=1当y≤1时，FY(y)=P(Y元y