高二数学竞赛辅导不等式专题参考模板范本

高二数学竞赛辅导不等式专题高二数学竞赛辅导不等式专题//高二数学竞赛辅导不等式专题高二数学竞赛辅导不等式专题一、与导数数列的结合1.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.故当n=k+1时,结论也成立.即对于一切正整数都成立，由,得,从而.综上可知————6分 (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)=,0<x<1,由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为,所以,即>0,从而————10分 (Ⅲ)因为,所以,,所以—=1\*GB3①,由(Ⅱ)知:,所以=,因为,n≥2,所以<<=————=2\*GB3②.————14分 由=1\*GB3①=2\*GB3②两式可知:.————16分2.已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：解：⑴又锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴3.已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），①，②②—①得，即③…④④—③得，即所以数列是等差数列（3）设，则4.设（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（III）证明①；②（n≥2）.解：（I）由题意（II）由（I）知：，令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.①，∴g(x)在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.…②当p>0时，h(x)=px2－2x+p为开口向上抛物线，轴为x=∈（0，+∞）.∴h(x)min=p－.只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x)≥0，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴p≥1③当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+∞），只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+∞)恒成立.∴g′(x)<0，∴g(x)在（0,+∞）单调递减，∴p<0适合题意.综上①②③可得，p≥1或p≤0.……9分（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0(x>0)，设.当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；∴x=1为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(1)=0.即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.②由①知lnx≤x－1,又x>0，5.设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.(1)求证：M点的纵坐标为定值；(2)若Sn=f(∈N*，且n≥2,求Sn;(3)已知an=，其中n∈N*.Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围.（1）∵∴M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.而y=(y1+y2)=［f(x1)+f(x2)］=(+log2=(1+log2=(1+log2=(1+log2∴M点的纵坐标为定值.（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,Sn=f(Sn=f(,两式相加得：2Sn=［f()+［f()+…+［f()=∴Sn=(n≥2,n∈N*).(2)当n≥2时,an=Tn=a1+a2+a3+…+an=［()=(由Tn＜λ(Sn+1+1)得＜λ·∴λ＞∵n+≥4,当且仅当n=2时等号成立,∴因此λ＞，二、不等式恒成立专题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1)→()A.10B.7C.-1D.0策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并定成nmoxnmoxynmoxy例3．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4．若函数的定义域为R，求实数的取值范围.策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例7.函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对所有的都成立，求的取值范围.策略五、数形结合——直观求解例8.的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.例4：已知向量=(x2,x+1),=(1-x,t)若函数f(x)＝·在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。例6：函数y＝f(x)在区间(0,)内可导，导函数(x)是减函数，且(x)>0。设x0(0,)，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程并设函数g(x)=kx+m（Ⅰ）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（Ⅱ）证明：当x(0,)时，g(x)f(x)（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1ax+b在[0,）上恒成立，其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。本题（Ⅲ）应用了此方法。（Ⅲ）解：0b1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。x2+1ax+b即x2-ax+(1-b)≥0对任意x[0,)成立的充要条件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x[0,)成立的充要条件是(x)0由(x)=a-=0得x=当0<x<时，(x)<0；当x>时，(x)>0,所以，当x＝时，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。即a综上，不等式x2+1ax+b对任意x[0,]成立的充要条件是a…………①显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式………②有解。解不等式②得……………③因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。例1求使不等式sinx＋acosx＋a1＋cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围。解：原不等即cosx＋（1－a）cosx－a0(*)令cosx=t，由xR知t[-1，1]，于是(*)对一切xR恒成立当且仅当f(t)=t＋（1－a）－a0(**)对一切t[-1，1]恒成立，其充要条件f(t)在[-1，1]上的最大值f(t)0,而f(t)=f(1)或f(-1)，因此(**)对一切t[-1，1]恒成立当且a-2故所求的a的范围为(-,-2].2．设函数（a、b、c、d∈R）满足：都有，且x=1时，取极小值（1）的解析式；2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；（3）设，证明：时，3．已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；(III）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.2．解：（=1\*ROMANI）因为，成立，所以：，由：，得，由：，得解之得：从而，函数解析式为：（2）由于，，设：任意两数是函数图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：又因为：，所以，，得：知：故，当是函数图像上任意两点的切线不可能垂直…………9分（3）当：时，且此时当且仅当：即，取等号，故：…………14分