2022年福建省漳州市梅林中学高二数学理联考试卷含解析

2022年福建省漳州市梅林中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列命题：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③|a|＞b?a2＞b2；

④a＞b?a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④参考答案： D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定四个不等关系的正误，可得答案．【解答】解：①a＞b?ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|?|a|＞|b|?a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b?a3＞b3，故④正确；故选：D2.如图，定点A和B都在平面内，定点

C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是A.一条线段，但要去掉两个点

B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点

D.半圆，但要去掉两个点参考答案：B3.某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（

）A．12

B．16

C．24

D．32参考答案：C4.如果等差数列中，，那么的值为

A．18

B．27

C．36

D．54参考答案：C略5.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先求出甲、乙、丙三位同学不及格的概率，三人中至少有一人及格的对立事件为三人都不及格，求出三人都不及格则三人中至少有一人及格的概率为1减三人都不及格的概率．【解答】解：设甲及格为事件A乙及格为事件B，丙及格为事件C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=∴P（）=，P（）=，P（）=格，则P（）=P（）P（）P（）==∴P（ABC）=1﹣P（）=故选D6.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）参考答案：D【考点】椭圆的定义．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．7.道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在20～80mg/100ml,属酒后驾车，血液酒精含量在80mg/100ml以上时，属醉酒驾车,2011年6月1日7:00至22:30,某地查处酒后驾车和醉酒驾车共50起，如图是对这50人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数大约为（

）A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：D8.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a>b>c

B．b>c>aC．c>a>b

D．c>b>a参考答案：D9.已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0） B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0） D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（

）A. B.3 C.6 D.参考答案：A由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一直线过点，被圆截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程。参考答案：x=-3或3x+4y+15=0略12.以下几个命题中:其中真命题的序号为_________________(写出所有真命题的序号)①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;③双曲线有相同的焦点. ④在平面内,到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线;参考答案：③略13.设角，则的值等于

．参考答案：略14.现有5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有________种.参考答案：32.

15.椭圆+y2=1两焦点之间的距离为

．参考答案：2

【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的方程计算可得其焦点坐标，进而可得两焦点之间的距离，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：+y2=1，其焦点坐标为（±，0），则两焦点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的性质，关键是依据椭圆的标准方程求出焦点坐标．16.设函，则满足的的取值范围是

参考答案：17.若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=．参考答案：【考点】A8：复数求模；A3：复数相等的充要条件．【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的b的值．【解答】解：∴a=2，b=﹣1∴故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．

(1)讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

(2)设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．

参考答案：（1）解：f（x）=x﹣alnx，（x＞0），

f′（x）=1﹣=，

①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值；

②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

f（x）有1个极小值点；

（2）解：若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，

令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值＞0在[1，e]恒成立，

则h（x）=x﹣alnx+（a∈R），

∴h′（x）=1﹣﹣=，

①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，

当a＞﹣1时

①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，

∴f（x）min=f（e）=e+﹣a＞0，解得a＜，

∵＞e﹣1，

∴e﹣1≤a＜；

②当0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1；

③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a），

∵0＜ln（1+a）＜1，

∴0＜aln（1+a）＜a，

∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）＞0成立，

综上，﹣2＜a＜时，不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立

【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值

【分析】（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数；（2）由题意，只要求出函数f（x）min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．19.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C在第一象限内的任意一点，过点P且斜率为的直线与椭圆相切，设的斜率分别为，试证明为定值，并求出此定值；（Ⅲ）若直线与椭圆交于不同的两点，且原点O到直线l的距离为1，设，当时，求的面积的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）椭圆方程为

…………3分（Ⅱ）设点的坐标为则，又由得则，又，故

……7分（Ⅱ）方法二：设与相切于点则即又即（同上）（Ⅲ）设联立则则又点到直线的距离为1，即则， 令，则，又，由得故当时，；当时，，的范围是……12分20.已知函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[e﹣1﹣1，e﹣1]时不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞）．∵f′（x）=2（1+x）﹣2=由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（﹣1，0）．（2）由f′（x）=0得x=0，由（1）知f（x）在[]上递减，在[0，e﹣1]上递增．又f（）=+2，f（e﹣1）=e2﹣2，且e2﹣2＞+2，所以当x∈[e﹣1﹣1，e﹣1]时，f（x）的最大值为e2﹣2，故当m＞e2﹣2是不等式恒成立．略21.参考答案：（I）解：2×2列联表如下：-------------------------------------------------4分

晕机不晕机合计男乘客282856女乘客285684合计5684140（II）假设是否晕机与性别无关，则的观测值---------------------------10分由于，所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为晕机与性别有关系.

--------------------------------------12分22.（本题满分16分）在平面直角坐标系中，设中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，右准线与x轴的交点为，.（1）已知点在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点．①若椭圆C上存在点，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；②如图，当时，记M为椭圆C上的动点，直线分别与椭圆C交于另一点P，Q，若且，求证：为定值．参考答案：（1）设椭圆的标准方程为，则，所以，椭圆的标准方程为，代入点，解得（舍负）.（先求标准方程也可）

....................4分（2）①点坐标为，设点坐标为，由，得，化简，得，

....................6分与椭圆方程联立，得，而，则解得，离心率，（也可以从长半轴短半轴与圆的半径关系求的范围）所以，椭圆C的离心率的取值范围为.

....................10分②设点的坐标分别为，则，由得，则，