上海市长征中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

上海市长征中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是R上的增函数，且，设，，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：D，，因为函数是R上的增函数，所以，，要使“”是“的充分不必要条件，则有，即，选D.2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知函数的值域是，则实数的取值范围是

(

)A．；

B．；

C．；

D．.参考答案：C4.2008年北京奥运会足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（

）场次。

A.53

B.52

C.51

D.50参考答案：答案：C5.已知函数，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是

或

或参考答案：6.据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，图3是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，从左到右各直方块表示的人数依次记为、、……、（例如表示血液酒精浓度在30～40mg/100ml的人数），图4是对图3中血液酒精浓度在某一范围内的人数进行统计的程序框图。这个程序框图输出的________．参考答案：略7.已知命题所有的有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真的是A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知A，B，C，D，E是球面上的五个点，其中A，B，C，D在同一圆周上，若E不在A，B，C，D所在圆周上，则从这五个点的任意两点连线中取出2条，这两条直线是异面直线的概率是（A）（B）（C）（D）参考答案：D9.设抛物线y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x

（B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x

（D）y2=2x或y2=16x参考答案：C10.已知等于……….（

）A． B． C．— D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点为第一象限内的点，且在圆上，的最大值为________．参考答案：1略12.在平面上，，，．若，则的取值范围是

．参考答案：分别以、为、轴建立直角坐标系，设，由得.设，由得，，两式相加得，即，于是，又，故，即的取值范围是.13.函数，则的值等于

参考答案：814.已知随机变量ξ的概率分布列为：ξ012P则Eξ=，Dξ=．

参考答案：1，

【分析】利用随机变量ξ的概率分布列的性质能求出Eξ和Dξ．【解答】解：由随机变量ξ的概率分布列，知：Eξ==1，Dξ=（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×=．故答案为：1，．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，解题时要要认真审题，注意随机变量ξ的概率分布列的性质的合理运用，是基础题．15.若，则等于

。参考答案：1略16.一个正三棱柱的三视图如右图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是

cm3．

参考答案：略17.如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.

参考答案：试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为，所以阴影部分的面积为.考点：定积分的应用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、…、恰为等比数列，且，，.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设数列的前项和为,求证：（是正整数）. 参考答案：（1）设数列的公差为，由已知得，，成等比数列，∴

，且……………2分得或

∵已知为公差不为零∴

，

……………3分∴

.

……………4分（2）由（1）知

∴

……………5分而等比数列的公比.∴

……………6分因此，∵∴

……………7分∴

……………9分∵当时，∴

（或用数学归纳法证明此不等式）∴

……………11分∴当时，，不等式成立；当时，

综上得不等式成立.……………14分法二∵当时，∴

（或用数学归纳法证明此不等式）∴

……………11分∴当时，，不等式成立；当时，，不等式成立；当时，

综上得不等式成立.……………14分(法三)利用二项式定理或数学归纳法可得：所以，时，，时，综上得不等式成立.19.已知函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx?（sinxcosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．20.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ），定义域为，．1°当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减；2°当时，，此时在上单调递减；3°当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1°当时，，解得；2°当时，，在上恒成立；3°当时，即，解得．综上所述，．21.)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将△ABD沿BD折到△A′BD的位置，使平面A′BD⊥平面CBD．（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；（Ⅱ）试在线段A′C上确定一点P，使得二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．参考答案：证明：（I）证法一：在△ABC中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=4+4+8cosC，在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cosC=16+4﹣16cosC，由上述两式可知，

∴BD⊥CD又∵面A'BD⊥面CBD，面A'BD∩面CBD=BD，∴CD⊥面A'BD∵A'B?面A'BD，∴A'B⊥CD．解：（II）法一：存在．P为A'C上靠近A'的三等分点．取BD的中点O，连接A′O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD又∵平面A′BD⊥平面CBD，∴A'O⊥平面CBD，∴平面A'OC⊥平面BCD，过点P作PQ⊥OC于Q，则PQ⊥平面BCD，过点Q作QH⊥BD于H，连接PH．则QH是PH在平面BDC的射影，故PH⊥BD，所以，∠PHQ为二面角P﹣BD﹣C的平面角，P为A'C上靠近A'的三等分点，∴，，∴，∴∠PHD=45°．∴二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．证明：（Ⅰ）证法一：在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∴EF=AD=2，又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴D在△BCD中，，∴BD2+CD2=BC2，∴CD⊥BD，又∵平面A'BD⊥平面CBD，面A'BD∩面CBD=BD∴CD⊥平面A'BD∴CD⊥A'B．（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）知CD⊥BD，CD⊥平面A′BD．以D为坐标原点，以的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），，C（0，2，0），取BD的中点O，连接A'O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD在等腰△A'BD中可求得A'O=1∴所以，设，则设是平面PBD的法向量，则，即可取易知：平面CBD的一个法向量为由已知二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．∴，解得：或λ=﹣1（舍）∴点P在线段A'C靠近A'的三等分点处．22.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面，其垂足F落在直线上。（1）求证：；（2）若，为