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文档简介

§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法

4/2/2023常微分方程一、可降阶的一些方程类型

n阶微分方程的一般形式:

1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是若能求得(4.58)的通解对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即4/2/2023常微分方程

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解4/2/2023常微分方程

2不显含自变量t的方程,

一般形式:因为4/2/2023常微分方程用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶4/2/2023常微分方程

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解4/2/2023常微分方程

3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即4/2/2023常微分方程引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则4/2/2023常微分方程因此(4.69)的通解为4/2/2023常微分方程第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)4/2/2023常微分方程解这里由(4.70)得例34/2/2023常微分方程4/2/2023常微分方程事实上4/2/2023常微分方程若则即因此,对(4.67)仿以上做法,4/2/2023常微分方程4/2/2023常微分方程定理104/2/2023常微分方程定理114/2/2023常微分方程例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得4/2/2023常微分方程故方程的解为4/2/2023常微分方程例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且4/2/2023常微分方程从而可得4/2/2023常微分方程因此(4.77)变为4/2/2023常微分方程若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.4/2/2023常微分方程因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,(4.74)的通解为4/2/2023常微分方程例6解代入方程得4/2/2023常微分方程代回原来的变量得原方程的通解为4/2/

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