Cauchy积分公式和高阶导数公式课件

§3-3Cauchy积分公式和高阶导数公式一、解析函数的Cauchy积分公式二、解析函数的高阶导数定理三Δ、解析函数的实部和虚部与调和函数11.问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.23证明：以为心作一完全包含于内的圆盘，并且记其边界为圆。在上，挖去圆盘，余下的点集是一个闭区域。在上函数解析，由柯西定理有：在这里沿的纠纷是按照区域的正向取的，沿的积分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：

5

记

由柯西定理知：是个不依赖于的常数，从而我们证明由于和在z0是连续性，所以对于任意的，可以找到6

使得当，时，有从而当从而故于是证得

称为积分基本公式或柯西积分公式．

D7例1解由Cauchy积分公式9例2解由Cauchy积分公式10关于Cauchy积分公式的说明:把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.（这是解析函数的一个重要特征）(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)11解

首先，识别积分类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的．但是，如果将它变形为

例计算积分

．那么，在形式上与（*）式左端的积分一样．由此想到利用（*）式计算．最后，经验证，所求积分满足定理4.5的条件，于是，由（*）式得13例计算积分

被积函数在积分路径内部含有两个奇点与作，有计算上式右端两个积分

故14观察下列等式

问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？

15高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.二、解析函数的高阶导数定理17证

利用数学归纳法证明该定理．⑴设

，证上式成立，即证

(1)

欲证(1)式，只须证为此，设C的长度为

，

在C上满足

，令由定理有18于是由此有故即19

假设（3-3-3）当时成立。设以为心，以为半径的圆盘完全包含在内，并且在这圆盘内取使得，那么当时，21

那么22

由此可以证明：当，的右边趋于零。于是（3-3-3）当时成立。证毕。由⑴与⑵证得定理．

23

推论：若函数

在点

解析，则存在点

的一个邻域，使得在该邻域内有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数和的各阶偏导数不仅存在而且都连续。

证明：由函数在点

解析知：可作一圆盘使得在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。25例计算积分解：由高阶导数公式26例3解29304.典型例题例4解由Cauchy积分公式31例5解根据Cauchy积分公式知,32例6解33例6解34由复合闭路定理,得例6解35例7解36根据复合闭路原理37于是38例8解由Cauchy积分定理得由Cauchy积分公式得3940例4解41根据复合闭路原理和高阶导数公式,42431.调和函数的概念2.解析函数与调和函数的关系3.计算实例由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数。下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系。三、解析函数的实部和虚部与调和函数44调和函数的概念定义工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.

也可用Laplace算子简记为45下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数.设所考虑物质的导热性能在某一区域

内是均匀且各向同性的，导热系数是常数，且内没有热源，这样，在内就形成一个稳定的温度场.

设表示其温度分布函数，在内任取一条其内部属于的简单闭曲线C，以σ表示其内部.

46其中n表示外法线方向.因此，通过整个曲线C流出的热量应是根据物理学中的Fourier定律，在单位时间内,通过C上一个小弧段自C的内部σ流出的热量是47即温度分布函数是一个调和函数.

因为σ内各点的温度不随时间改变，并且没有热源存在，所以应有由于C的任意性，有482.解析函数与调和函数的关系

在不影响整体结构的前提下，本小节先引入解析函数区别于一般实函数的两个重要结论：49定理

任何在区域

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D

内的调和函数.证明根据解析函数的导数仍是解析函数,因此50再由二阶导函数的连续性51即：区域D内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.人们常常要问：共轭调和函数.52现在会提出如下问题：

或者已知调和函数v(x,y)时，是否存在调和函数u(x,y)，使得f(z)=u＋iv是D上的解析函数?

已知u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)，使得函数f(z)=u＋iv是D上的解析函数?回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.533.计算实例解例154得解析函数这个函数可以化为55注：此处用到解析函数的唯一性定理。另一方法56例2解5758所求解析函数为59解所求解析函数为另一方法60例3解61解例4两边同时求导数上两式分别相加减可得62例1已知在右半平面是调和函数，求在该半平面解析的函数使得且由积分得解：求偏导数得解法1由C—R条件得：63两边对求导，并且与上面所得的比较有于是得即

从而于是进一步由条件可得最后结果有64解法2在该右半平面内取点，由式（3.1）得65某区域内的调和函数是否必是该区域某个解析函数的实部或虚部？当区域是连通时，回答是肯定的。注意：当在D内是的共轭调和函数时，在D内不一定是的共轭调和函数。66讨论下面定理4的反问题，即已知是区域内的调和函数，利用函数在内解析的充分必要条件，求出解析函数，使得其实部或者虚部在内为。由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域，因此我们只讨论为单连通区域情形。讨论在单连通区域内已知解析函数的实部，求其虚部调和函数。由由于在单连通区域内调和，可得

67因此由本章命题2可以直接求出为其中为任意实常数，该积分在内与积分路径无关。可在内取定点和平行于坐标轴的路径来计算。如取从点到点再到点的折线段可得

同理在单连通区域内已知解析函数的虚部，可求其实部调和函数68

本章主要内容有向曲线复积分积分存在的条件及计算积分的性质Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理Cauchy积分公式高阶导数公式积分公式及计算69注意1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式;3.复合闭路定理与复积分的计算.70第三章完711642.12.25生于伍尔索普，I.Newton简介

1661年进入剑桥大学三一学院，自己研究Descartes,Copernicus,Kepler,Galileo,Barrow等的著作。1665年剑桥闹鼠疫回乡两年，微积分、万有引力、光谱分析等发明都萌芽于此。1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授。1671年发布“流数术”小册子，1687年出版《自然哲学的数学原理》等著作，1703年皇家学会会长，1705年授予爵士称号；晚年研究神学，1727.3.20去世。721646.7.1生于莱比锡；G.W.Leibniz简介

1661年入莱比锡大学学法律；1663年《论个体原则方面的形而上学争论》获学士学位；1664年《论法学之艰难》获哲学硕士；1665年提交博士论文《论身份》，1667年获阿尔特多夫大学博士学位。1671年开始外交官生涯；1672年出使法国、英国等。结识了惠更斯、巴罗等，对数学、力学等产生兴趣；1684年发表了第一篇“微积分”方面的论文；在1714年《微分学的历史与起源》中给出了关于他自己思想的记载；1716.11.14去世。73P.S.Laplace(拉普拉斯)简介1749.3.23生于法国、诺曼底1827.3.5卒于法国、巴黎在《球状物体的引力理论与行星形状》中得到位势方程。与Lagrange、Legendre并称为巴黎“3L”。我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。741789.8.21生于法国、巴黎1857.5.23卒于法国、斯科A.L.Cauchy(柯西)简介数学分析严格化的开拓者复变函数论的奠基人弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。多产的科学家(800多篇论文)，分析大师。75Riemann(黎曼)简介1826.9.17生于德国、汉诺威1866.7.20卒于意大利除博士论文外，生前发表10篇论文，遗作10多篇，对现代数学影响最大的数学家之一。开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论、解析数论。实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破。761793.7.14生于诺丁汉，1841.5.31卒于剑桥G.Gree