第三章-多维随机变量及其分布总结

第三章一多维随机变量及其分布总结第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E是一个随机试验，它的样本空间是S.设X.Y是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地,(X,Y)的性质不仅与X有关，与Y有关，而且还依赖于X、Y的相互关系，因此必须把(X,Y)作为一个整体来研究・首先引入(乂,Y)的分布函数的概念.定义设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数X、/,二元函数F(x,y)=P{(X<x)n(Y<y)}=P{X<x,Y<y}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和y的联合分布函数.分布函数F(x,y)表示事件(X<x)与事件(Y<y)同时发生的概率・如果把(X,Y)看成平面上具有随机坐标(X,Y)的点，则分布函数F(X,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..由上面的几何解释,容易得到随机点(X,Y)落在矩形区域{x1<X<x2,y1<Y<y2}的概率为P{x1<X<x2,y1<Y<y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) (1)与二元函数类似,二元分布函数F(x,y)也具有如下一些性质：1°F(x,y)是变量x和y的单调不减函数，即当x1<x2时,F(x1,y)<F(x2,y);当y1<y2时,F(x,y1)<F(x,y2).2°0<F(x,y)<1,且F(-8,y)=0,F(x,-s)=0,F(-8,-8)=0,F(+8,+s)=1.(凡含一8的概率分布为0)3°F(x,y)关于x和y都是右连续的，即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).4°对任意的(x1,y1)、(x2,y2),x1<x2,y1<y2,有F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,yj+F(x1,y1)>0.注：二元分布函数具有性质1°~4°,其逆也成立(2°中0<F(x,y)<1可去)，即若二元实值函数F(x,y)(xeR,yeR)满足1°~4°,则F(x,y)必是某二维随机变量的(X,Y)的分布函数.其中4°是必不可少的，即它不能由1°~3°推出(除去0<F(x,y)<1).二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X,聆的所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,聆是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为缶y)(i,j=1,2,3,…).1fW8一记P{X=xpY=yj}=pfj(i,j=1,2,3,…)则由概率定义有pj>0;在p..=1.i=1j=1我们称P{X=xpY=y}=p (i,j=1,2,3,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律(概率分布域随机变量X和Y的联合分布律,(X,Y)的分布律也可用表格表示.其分布函数为F(.，)=££RX=号/=七}=££p.x<xy<y x<xy<yij 1j这里NN表示对一切xt<x,yj<y的那些指标i、j求和.x.<xy.<y例1一个口袋中有三个球,依次标有1、2、2,从中任取一个,不放回袋中，再任取一个.设每次取球时,各球被取到的可能性相等，以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求X、Y的联合分布律与分布函数..121解：(X,Y)的可能取值为(1,2)、(2,1)、(2,2).P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2/X=1}=^;=不・LJ&LB同理，有p{x=2,y=1}=3,职=2,y=2}=3・即(X,聆的分布律如右表所示.当x<1,或y<1时,F{x,y}=0; 当1<x<2,1<y<2时,F{x,y}=0;当1<x<2,y>2时,F{x,y}=%+pi2=3;当x>2,1<y<2时,F{x,y}=P11+p21=|;x<1或j<1或j1<x<2,［x<1或j<1或j1<x<2,［1<J<2,j1<x<2,十jx>2,">2 或［1<J<2,x>2,j>2.0所以,(X,聆的分布函数为F3,j)=J31三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F{x,y},若存在非负函数f(x,y),使对任意的x、y有F(x,j)=fjfxf(u,v)dudv，-s-s则称(X,Y)为连续型的二维随机变量,f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度，或称随机变量X、Y的联合概率密度・概率密度f(x,y)具有以下性质：1°f(x,y)>0;2°j+J+^f(x,y)dxdy=F(+»,+»)=13°若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有。：；,')=f(x,j)oxoj4。设G是xOy平面上的一个区域，则点(X,Y)落在G内的概率为P{(X,Y)gG}』f(x,j)dxdj⑵G例2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,j)=f 一("'),*>¥j>I0, 其它.求:⑴系数A;(2)分布函数F(x,y求:⑴系数A;(2)分布函数F(x,y);(3)概率P{(X,Y)gD},其中D：x>0,y>0,x+y<1.(1)由f+J+>(x,j)dxdj=1,得A=1.—s—s 2fjfxe-(x+j)dxdj,x>0,j>0,_j(1-e-x)(1-e-j),00 =|0, 其它，［ 0,解:(2)F(x,j)=fjfxe-(x+j)dxdj=<-s-sx>0,j>0,

其它.(3)尸{(X,Y)}=jjf(x,j)dxdj=j1dxf1-xe-xe-jdxdj=1-—.(3)0 0 e例3设二维连续型随机变量例3设二维连续型随机变量(X,y)的概率密度为f(x,j)=〈x2+也，0<x<1,0<j<2,0, 其它，,求P{Y>X}.解：解：P{Y>X}=jjf3,y)dxdy以上关于二维随机变量的讨论，不难推广到n(n>2)维随机变量的情形.一般地，设E是一个随机试验,它的样本空间为S,设X1、X2、…、Xn是定义在S上的随机变量,则由它们构成的一个n维向量(X1,X2…,Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数x1、x2、…、xn,n元函数F(x1,x2,…,x^)=P{X1<x1,X2<x2,…,Xn<xn}称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数或随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数，它具有与二元分布函数类似的性质.第二节边缘分布设(X,Y)是二维随机变量，其分布函数为F(x,y),事件{X<x}即为{X<x,Y<+8},从而由(X,Y)的分布函数可定出X的分布函数,记为FX(x).FX(x)=P{X<x}=P{X<x,Y<+8}=F(x,+8)=limF(x,y).yT+8我们称FX(x)为关于X的边缘分布函数.类似的可定义关于Y的边缘分布函数为Fy(y)=P{Y<y}=P{X<+8,Y<y}=F(+8,y)=limF(x,y).xT+8一、离散型设(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为P{X=xpY=yj}=pj(i,j=1,2,3,…)，则Fx(x)=F(x,+8)至p"Y(y)=F(+8,y)=^x.<xj=1 y.<yi=1从而X与Y的分布律分别为P{X=x,}=£p,,i=1,2,…；P{Y=y,}=^p,,j=1,2,…;j=1 i=1记Pj.=P{X=x,}=£Pq,i=1,2,…；p,=P{Y=y,}=工p,,,j=1,2,….j=1 i=1分别称pt.和pJ.为(X,Y)关于X与Y的边缘分布律・注:1。边缘分布律具有一维分布律的一般性质・2。联合分布律唯一决定边缘分布律,反之不然.二、连续型Fy(y)=F(+8,y)=jFy(y)=F(+8,y)=jy[j+8f(x,y)dx]dy.Fx(x)=F(x,+8)=jx[j+8f(x,y)dy]dx;-8 -8知X与Y都是连续型随机变量.它们的概率密度分别为fY(y)=卜与(x,y)dx.fX(x)fY(y)=卜与(x,y)dx.-8称fv(x)与fY(y)分别为(X,Y)关于X与Y的边缘概率密度.例2设D是平面上的有界区域，其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为1 ，、八、 —,(x,y)gD,f(x,y)=1A0,其它，则称(X,Y)在D上服从均匀分布.现(X,Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布，求边缘概率密度.

解：由j+J+8f(x,y)dxdy=1,得A=丸.-s-8TOC\o"1-5"\h\z1-v21 2■- ・ . 一当\x\<1时，f(x)=Jf(x,y)dy=』一—dy=—\T—x2；当\x\>1时，力(x)=0,即X -8 —1-X2兀兀2r II, 「2r ii、—vi—x2，X<i, Ejgt f(\—\'i—y2，yvi，fX⑴=仆 . 同理可得，fY(y)=〈兀 ,,0, |x|>1. 0, |y|>1.例3设二维随机变量（X,聆的概率密度为•exp]-^-|2(1-p2)f(x,y)= 1.2兀气。2J1-P2(x-.J2-2p(x•exp]-^-|2(1-p2)f(x,y)= 1.2兀气。2J1-P2b2 bb 。21 12 2‘一8<x<+8'.(-8<y<+8}\ 7其中打、&、％、b2、p都是常数，且气>0, b2 >0,-1<p<1.我们称％ y）为服从参数为如、.2、气、&、P的二维正态分布，试求二维正态随机变量的边缘概率密度・解：令m=[ -2p（x-】1）（y―妇+（y一妇2b2 bb b2L1 12 2 」=(=(y-.2)2-2p(x-.1)(y-.2)+p2b*2(x-41)2一p2(x-.1)2+(x-.1)2

b12 b12 b12y一％nx-412—y一％nx-412—p1b b2 12+(1-p2)Qz±a2b21所以，fX(x)=J+8f(x,y)dy=J+8 1,-8 -82兀罕2V1-P2 m -e2(1-p2)dy1 - +_—「f-pf]2 e 2件Je2(1-p2)Lb2 b1Jdy.2兀by2J1-p2 -8则dy=K.'1-p2•b2dt,从而,J+8e「2(1-p2)-8f_pHr]2 J 坦 ,—b2 b1Jdy=JJ1-p2•be一2dt=过2兀b-8\1—p21 一<x-^ 1 Jy-^2所以，fX(x)=——-e2b12(-8<x<+8).同理可得，fY(y)=——-e2b2(-8<y<+8).1 2表明，X〜N（鸟，b2）,Y〜N（.2,b2）.此例说明，二维正态随机变量（X,y）中的X、Y都服从正态分布，并且与参数p无关.所以对于确定的如、冉、％、b2而取不同的p,对应了不同的二维正态分布，但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布.因此，仅由关于X和Y的边缘概率密度（分布），一般不能确定X和Y的联合概率密度（分布）.第四节相互独立的随机变量我们知道，两事件A、B相互独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义设F(x,y)及FX(x)>Fy(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有的x、了，有 P{X<x,Y<y}=P{X<x}P{Y<y},即F(x,y)=F(X)Fy(y) (1)则称随机变量X和Y是相互独立的・可见，在随机变量X和Y相互独立的情况下，由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X,Y)的联合分布函数，而且还可推得<,/x=x}=住U =limP{Y<x<X<x+Ax}P{X=x} 愆项 P{x<X<x+Ax}F(x+Ax,y)-F(x,y)=lim 弘项F(x+Ax,+8)-F(x,+8)=lim「乂 (x+ Ax)Fy⑴土⑴Fy3)=lim [「x (x+ Ax)土(x)吧(，)=马(y) =p{y<y}.Ax^0F (x+ Ax)F(+8) -F (x)F (+8)愆项F (x +Ax)- F (x) Y°X Y XY X X这就是说在X和Y相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同，即条件分布化成了无条件分布.一、离散型设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=x,”Y=y.}=p(i,j=1,2,3,…)，(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为8=P8=P{Y=yj}=2?司,j=1,2,….i=1P.=P{X=x.}=2P・ij,i=1,2,…；pj=1则X和Y相互独立的充要条件是TOC\o"1-5"\h\zP{X=x.,Y=y}=P{X=x,}P{Y=y},即p.=p.p. (2)二、连续型设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),关于X和Y的边缘概率密度为fX(x)和人(y),则X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x,y)=fX(x)fY(y) (3)几乎处处成立.例3设(X,Y)服从二维正态分布，即其联合概率密度为f(x,y)=——・exp；-^[422-2p(x-—i)(y一％)+土蚓2],2兀气。2V】-P2 [2(1-p2)|_ 君 气。2 c2 ]‘一8<x<+8'.(-8<y<+8]\^/证明:X和Y相互独立的充要条件是P=0.例4若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=『-(x+y),x'?,y'0,则X和Y相互独立.[0,其它，Ie-x x>0Ie-yy>0_证：显然fx(x)={,『，f(y)={ ,L,故有f(x,y)=f(x)fy(y).从而X和Y相互独X〔0,其匕，Y〔0, 其匕，立.例5设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在[0,0.2]上服从均匀分布,Y的概率密度为

f（x）=\5e小，y>0，

丫[0,其它,试求:⑴X与Y的联合概率密度； ⑵P{Y<X}.解：⑴由已知条件，得存(x)={50<，<02从而得X与Y的联合概率密度为AI0,其匕，华、|25e-5y,0<x<0.2,y>0/（兀y）=1 甘鼻I 0, 其它.⑵P{Y<X}=P{Y-X}=jjf(x,y)dxdy，积分区域如图，化成二次积分后得j0.2jxfj0.2jxf（x,y）dydx=e-1~0.3679.0 -P{Y<X}=0以上关于二维随机变量的一些概念,很容易推广到孩维随机变量的情形・设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn),若存在非负函数f(x1,x2,…,xn),使得对于任意实数x1、x2、…、xn,有TOC\o"1-5"\h\zF(x,x”…,x)=jx"jx"-1Aj%f(x,x,A,x)dxdxAdx,

'1,2, ,/ 八1'2n1 2n,-8-8 -8则称f(x1,x2,…,xn)为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度.称F (x )=F(x ,+8,A ,+8), F (x ,x)=F(x ,x ,+8,A ,+8),…为关于X, (X, X),…的边缘1^、]^ 2’X1 1 X,X12 12 ▲ ▲ “1rI*f12分布函数，f(x)=J*8j J+勺(x,x,A,x)dxdxAdx,X]1 1 2n2 3nf (x,x)=j+8j+8Aj+8f(x,x,A,x)dxdxAdx,…X],X2 1 2 1 2 n3 4n为关于X1,(X1,X2),…的边缘概率密度.若对于所有的x1、x2、…、xn,有F(x1,x2,…,xn)=FX(气)FX(x2)AFX(xn),则称X1,X2,…,Xn是相互独立的，对离散型即连续型随机变量，也有类似的结论.1 2 "若对于所有的x1、x2、…、xm；y1、y2、…、yn，有F(xi，x2,…,xm；yi，为，…,y“)=Fi(xi，x2,…,xm)财1，为，…,y“)其中Fi、F2和F依次为(Xi，X2,…,Xm)、(Y1，Y2,…,Y“)和(Xi，X2,…,Xm；匕,Y#…,Y“)的分布函数，则称随机变量(X1,X2,…,Xm)和(匕,Y2,…,Yn)是相互独立的・定理设随机变量(Xi,X2,…,Xm)和q,Y2,…，Yn)相互独立，则X.(i=i,2,…,m)与Y.(j=i,2,…,n)相互独立.又若h、g是连续函数，则h(Xi,X2,…,Xm)和g(Yi,Y2,…，Yn)也相互独立.第三节、条件分布离散型：在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为i， , 、PP(Y=y.IX=x.)=-j；Pi•在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为j

P(X=xlY=y)=里，ijp•j连续型：在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(xly)=^yl；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(ylx)=/^fX(x)l=J