2018新人版八年级（下册）数学知识点和典型例题总结

./八年级数学下册期末复习第十六章二次根式二次根式：式子〔≥0叫做二次根式。定义包含三个内容:Ⅰ必需含有二次根号""；Ⅱ被开方数a≥0；Ⅲa可以是数,也可以是含有字母的式子。例1.下列式子中,是二次根式的有_______<填序号>〔1〔26〔3〔4〔m＞0〔5〔6〔7二次根式有意义的条件：大于或等于0。例2.当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义？※二次根式中字母的取值范围的基本依据：〔1开方数不小于零；〔2分母中有字母时,要保证分母不为零。二次根式的双重非负性：：,附：具有非负性的式子：；；例4.若为实数,且,则的值为〔A．1B．-1C．2D．-24.二次根式的性质：〔1〔2例5.利用算术平方根的意义填空例6.化简：=5.二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除,将被开方数相乘〔除,所得的积〔商仍作积〔商的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·〔a≥0,b≥0；=〔a≥0,b>0例7.计算：〔1×〔22×3〔3·〔4··例8.计算：①②③④例9.计算：〔1〔2〔3〔46.最简二次根式：必须同时满足下列条件〔三个不含有：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。例10.下列各式中,是最简二次根式的是〔A．B．C．D．7.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后,若相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。例11.下列根式中,与是同类二次根式的是〔A.B.C.D.8.二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．例12.计算：〔1〔2〔39.有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算．例14.计算：〔1〔×〔2〔3〔4〔5〔-〔--〔6第十七章勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为,b,斜边长为c,那么。应用：在中,,则,,例1.在Rt△ABC中,∠C=90°①若a=5,b=12,则c=___________；②若a=15,c=25,则b=___________；③若c=61,b=60,则a=__________；④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。〔2已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。例2.在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为〔A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm22.勾股定理逆定理：如果三角形三边长,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。〔定理中,,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,,满足,那么以,,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边例3.下列四组线段不能组成直角三角形的是〔A．a=8,b=15,c=17B．a=9,b=12,c=15C．a=,b=,c=D．a：b：c=2：3：4例4.若△ABC的三边a、b、c,满足〔a－b〔a2＋b2－c2=0,则△ABC是〔A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个称为勾股数,即中,,,为正整数时,称,,为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等例5.长度分别为3,4,5,12,13的五根木棒能搭成<首尾连接>直角三角形的个数为<>A1个B2个C3个D4个例6.在三角形ABC中,AB=12,AC=5,BC=13,则BC边上的高为AD=.例7.如图,有一块地,已知,AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m．求这块地的面积．4.直角三角形的性质〔2直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°〔2在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠C=90°,∠A=30°BC=AB〔3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。∠ACB=90,D为AB的中点CD=AB=BD=AD5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。〔例：勾股定理与勾股定理逆定理例8.下列命题的逆命题正确的是〔

．A．全等三角形的面积相等

B．全等三角形的对应角相等C．如果a=b,那么a2=b2

D．等边三角形的三个角都等于6006.证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。7.证明的一般步骤〔1根据题意,画出图形。〔2根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。〔3经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。第十八章平行四边形一．平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

2．平行四边形的性质

角：平行四边形的邻角互补,对角相等；边：平行四边形两组对边分别平行且相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分；

例3图面积：①S=底高=ah；例1．在□ABCD中,若∠A－∠B＝40°,则∠A＝______,∠B＝______．例2．若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两边的长度分别为______．例3．如图,□ABCD中,CE⊥AB,垂足为E,如果∠A＝115°,则∠BCE＝______．例4．若在□ABCD中,∠A＝30°,AB＝7cm,AD＝6cm,则S□ABCD＝______．例5．如图,在□ABCD中,M、N是对角线BD上的两点,BN=DM,请判断AM与CN有怎样的数量关系,并说明理由.它们的位置关系如何呢？例6．□AAB=______cm,BC=_______例7.□ABCD中,对角线AC和BD交于点O,若AC=8,AB=6,BD=m,那么m的取值范围是_______.3．平行四边形的判定方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；例8．已知：如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是OA、OC的中点,求证：BM∥DN,且BM=DN.例9．如图,在□ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,已知AE＝CF,M、N是DE和FB的中点,求证：四边形ENFM是平行四边形．特殊的平行四边形矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的性质①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；例10．已知：如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2AB。〔1求证：△AOB是等边三角形。〔2本题若将"AC=2AB"改为"∠BOC=120°",你能获得有关这个矩形的哪些结论？3、矩形的判定：四边形ABCD是矩形.例11．已知：如图

,在△ABC中,∠C＝90°,CD为中线,延长CD到点E,使得DE＝CD．连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的性质：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；例12．如图,菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF．〔1求证：AE=AF．〔2若∠B=60°,点E,F分别为BC和CD的中点．求证：△AEF为等边三角形．AABDCEF菱形的判定方法：四边形ABCD是菱形.例13．如图,在□ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连结DE,BF,BD．<1>求证：△ADE≌△CBF．<2>若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．例14．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E．<1>求证：四边形AECD是菱形；<2>若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．正方形1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质：①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；

③对角线：对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分每组对角。3、正方形的判定方法：四边形ABCD是正方形.<四三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.如图:∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC,DE=BC第十九章一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做；数值始终不变的量叫做。例1．长方形相邻两边长分别为x、y,面积为30,则用含x的式子表示y为________,则这个问题中,_________常量；________是变量．例2．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q〔元与他买这种笔记本的本数x之间的关系是〔A．Q=8xB．Q=8x-50C．Q=50-8xD．Q=8x+50例3．写出下列问题中的关系式,并指出其中的变量和常量．〔1用20cm的铁丝所围的长方形的长x〔cm与面积S〔cm2的关系．〔2直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．〔3一盛满30吨水的水箱,每小时流出0.5吨水,试用流水时间t〔小时表示水箱中的剩水量y〔吨二、函数的概念：函数的定义：一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数．函数的判断：对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值y和它对应。三、函数中自变量取值范围的求法：〔1用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。〔2用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。〔3用二次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数。〔4若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。〔5对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。例4．一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y〔单位：L随行驶里程x〔单位：km的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km．〔1写出表示y与x的函数关系的式子．〔2指出自变量x的取值范围．〔3汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油？四、函数图象的定义：一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤〔一般取五个点1、列表〔表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意：列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。2、描点：〔在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。3、连线：〔按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式：〔1列表法〔2图像法〔3解析式法例5．下面的图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家,其中x表示时间,y表示小明离他家的距离．根据图象回答下列问题：〔1菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？〔2小明给菜地浇水用了多少时间？〔3菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？〔4小明给玉米地锄草用了多少时间？〔5玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？七、正比例函数1、定义：一般地,形如y=kx<k为常数,且k≠0>的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。特征：〔1k为常数,且k≠0〔2自变量的次数是1<3>自变量的取值范围为全体实数。图象:〔1>正比例函数y=kx<k是常数,k≠0>>的图象是经过原点的一条直线,我们称它为直线y=kx。必过点：〔0,0、〔1,k<2>性质:当k>0时,直线y=kx经过第三,一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y=kx经过二,四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。例6．正比例函数y=kx,〔1若比例系数为-,则函数关系式为___；〔2若点经过〔5,-1,则函数关系式___．例7．已知y与x成正比例,且x=2时y=-6,则y=9时x=________．例8．已知〔x1,y1和〔x2,y2是直线y=-3x上的两点,且x1>x2,则y1与y2的大小关系是〔A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．以上都有可能一次函数1、定义：一般地,形如y=kx+b<k,b为常数,且k≠0>的函数叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数,是一次函数的特例.特征：〔1k不为零〔2x指数为1〔3自变量的取值范围为全体实数〔4b取任意实数例9．在①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x,⑤y=5x2+6中,y是x的一次函数的是___例10．已知A、B两地相距30千米,B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达C地．设此人骑行时间为x〔时,离B地距离为y〔千米．<1>当此人在A、B两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x取值范围．<2>当此人在B、C两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．2.函数图象：〔1一次函数y=kx+b的图象是经过〔0,b和〔-,0两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.〔当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移〔2图像的平移：当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.〔3必过点：〔0,b和〔-,0〔4一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升,y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降,y随x的增大而减小九、当直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行时,k1=k2且b1b2例11．选择题1.下列一次函数中y随x值的增大而减小的〔A．y=2x+1B．y=3-4xC．y=x+2D．y=〔5-2x2.y=3x与y=3x-3的图象在同一坐标系中位置关系是〔A．相交B．互相垂直C．平行D．无法确定3.一次函数y=-2x-3的图象不经过〔．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例12．填空题1.把直线y=x+1向上平行移动3个单位,得到的图象的关系式是2.直线y=-x+1经过点〔0,____与点〔,0．十、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：〔1根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；〔2将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；〔3解方程得出未知系数的值；〔4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例13．已知一次函数的图象过点〔3,5与〔-4,-9,求这个一次函数的解析式．例14．已知一次函数的图象经过点A〔-3,2、B〔1,6①求此函数的解析式,并画出图象．②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．例15．如图,折线ABC是在某市乘出租车所付车费y〔元与行车里程x〔km之间的函数关系图象．①根据图象,写出当x≥3时该图象的函数关系式；②某人乘坐2.5km,应付多少钱？③某人乘坐13km,应付多少钱？④若某人付车费30.8元,出租车行驶了多少千米？十一、一次函数与方程、不等式1.一次函数与一元一次方程：求ax+b=0<a,b是常数,a≠0>的解从"数"的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0．从"形"的角度看,直线y=ax+b与x轴交点的横坐标2.一次函数与一元一次不等式：解不等式ax+b＞0<a,b是常数,a≠0>从"数"的角度看,x为何值时函数y=ax+b的值大于0．从"形"的角度看,求直线y=ax+b在x轴上方的部分〔射线所对应的的横坐标的取值范围．3.一次函数与二元一次方程组：解方程组从"数"的角度看,自变量〔x为何值时两个函数值相等．并求出这个函数值；从"形"的角度看,确定两直线交点的坐标.例16．某种摩托车的油箱最多可储油10升,加满后,油箱中的剩油量y〔升与摩托车行驶路程x〔千米之间的关系式如图,根据图象所提供的信息,回答下列问题：〔1一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？〔2摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？〔3油箱中的剩余油量小于1升时,摩托车将自动报警,行驶多少千米后摩托车将自动报警．54321-1321OyX例54321-1321OyX〔1方程-EQ\F<5,2>x+5=0的解；〔2不等式-EQ\F<5,2>x+5＞0的解集；〔3不等式-EQ\F<5,2>x+5≤0的解集；〔4不等式-EQ\F<5,2>x+5＞5的解集；例23．解方程组解为________,则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________．例24．一种节能灯的功率为10瓦〔0.01千瓦,售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦,售价为3元.两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同〔3000小时以上.如果电费价格为0.5元/〔千瓦·时,消费者选用哪种灯可以节省费用？〔提示：总费用=用电费+灯的售价例25．从A、B两水库向甲、乙两地调水,其中甲地需水15万吨,乙地需水13万吨,A、B两水库各可调出水14万吨.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米.设计一个调运方案使水的调运量<单位：万吨·千米>尽可能小.第二十章数据的分析1.平均数：〔1算术平均数：一组数据中,有n个数据,则它们的算术平均数为.〔2加权平均数：若在一组数字中,的权为,的权为,…,的权为,那么叫做,,…的加权平均数。其中,、、…、分别是,,…的权.权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。权的表示方法：比、百分比、频数〔人数、个数、次数等。例1．某广告公司欲招聘广告策划人员一名,对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试,他们的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩ABC创新728567综合知识507470语言884567<1>如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用？<2>根据实际需要,公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4:3:1的比例确定各人的测试成绩,此时谁将被录用？所用时间t<分钟>人数0＜t≤10410＜t≤620＜t≤201430＜t≤401340＜t≤50950＜t≤604例2．某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况,对学生作课外作业所用时间进行调查,右表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表〔1第二组数据的组中值是多少？〔2求该班学生平均每天做数学作业所用时间1651651005身高〔cm1851751551451520670204人数〔人例3．某班40名学生身高情况如下图,请计算该班学生平均身高年龄频数28≤X＜30430≤X＜32332≤X＜34834≤X＜36736≤X＜38938≤X＜401140≤X＜4222.中位数：将一组数据按照由小到大〔或由大到小的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。例4．八年级〔1班45名同学的身高统计如下：身高〔m1.501.551.601.651.701.751.801.85人数2381212521求这组数据的中位数。例5．一组数据由6个3,8个11,1个12,1个21组成,则这组数据的众数是〔A、8B、11C、21D、1例6．某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售金额,统计了这15个人的销售量如下〔单位：件1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150〔1求这15个销售员该月销量的中位数和众数