数理方程第8讲课件

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下载数学物理方程第8讲1第五章贝塞尔函数§5.1贝塞尔方程的引出2设有半径为R的薄圆盘,侧面绝缘,边界温度保持为零摄氏度,初始温度已知,求圆盘内的瞬时温度分布规律.

这归结为求解下述定解问题:用分离变量法解这个问题,先令

u(x,y,t)=V(x,y)T(t),代入(5.1)得3为了求出这个方程满足条件的解,将(5.5)与(5.6)写成极坐标形式:再令 V(r,q)=P(r)Q(q)代入(5.7)并分离变量可得5由于u(x,y,t)是单值函数,所以V(x,y)也必是单值的,因此Q(q)应该是以2p为周期的周期函数,这就决定了m只能等于如下的数:

0,12,22,…,n2,…

对应于mn=n2,有

Q0(q)=a0/2(为常数),

Qn(q)=ancosnq+bnsinnq(n=1,2,…).

以mn=n2代入(5.10)得这是n阶贝塞尔方程.若再作代换并记6则得这是n阶贝塞尔方程最常见的形式.由条件(5.8)及温度u是有限的,分别可得因此,原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(5.11)在条件(5.12)下的特征值与特征函数.7用x,y来表示自变量和函数值,则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或复数.在本书中n只限于实数,且由于方程的系数中出现n2项,所以不妨假定n0.设方程有一个级数解,其形式为91011 1º

a0(c2-n2)=0;

2º

a1[(c+1)2-n2]=0;

3º[(c+k)2-n2]ak+ak-2=0(k=2,3,…)

由1º得c=n,代入2º得a1=0.现暂取c=n,代入3º得4º因为a1=0,由4º知a1=a3=a5=a7=…=0,而a2,a4,a6,…都可以用a0表示,即134º因为a1=0,由4º知a1=a3=a5=a7=…=0,而a2,a4,a6,…都可以用a0表示,即14由此知(5.14)的一般项为a0是一个任意常数,让a0取一个确定的值,就得(5.13)的一个特解.把a0取作这样选取a0可使一般项系数中2的次数与x的次数相同,并可以运用下列恒等式:(n+m)(n+m-1)(n+2)(n+1)G(n+1)=G(n+m+1)15n阶第一类贝塞尔函数:至此,求出了贝塞尔方程的一个特解Jn(x).当n为正整数或零时,G(n+m+1)=(n+m)!,故有17取c=-n时,用同样方法可得(5.13)的另一特解比较(5.16)式与(5.18)式可见,只要在(5.16)的右端把n换成-n,即可得到(5.18)式.因此不论n是正数还是负数,总可以用(5.16)式统一地表达第一类贝塞尔函数.18当n不为整数时,这两个特解Jn(x)与J-n(x)是线性无关的,由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道,(5.13)的通解为

y=AJn(x)+BJ-n(x), (5.19)

其中A,B为两个任意常数.

当然,在n不为整数的情况,方程(5.13)的通解除了可以写成(5.19)式以外还可写成其他的形式,只要能够找到该方程的另一个与Jn(x)线性有关的特解,它与Jn(x)就可构成(5.13)的通解,这样的特解是容易找到的.例如,在(5.19)中取A=cotnp,B=-cscnp,则得到(5.13)的一个特解19§5.3当n为整数时贝塞尔方程的通解2122这时JN(x)与J-N(x)已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔函数的通解,还要求出一个与JN(x)线性无关的特解.定义第二类贝塞尔函数为23根据这个函数的定义,它确是贝塞尔方程的一个特解,而且与Jn(x)是线性无关的(因为当x=0时,Jn(x)为有限值,而Yn(x)为无穷大).

综上所述,不论n是否为整数,贝塞尔方程(5.13)的通解都可表示为

y=AJn(x)+BYn(x).

其中A,B为任意常数,n为任意实数.25§5.4贝塞尔函数的递推公式26即29以上结果可以推广,现将Jn(x)乘以xn求导数,得即同理可得30将(5.26)和(5.27)两式左端的导数求出来,并经过化简,则分别得将这两式相减及相加,分别得到用(5.28)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来,如果我们已有零阶和一阶贝塞尔函数,就可以做到.31第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式325.5函数展成贝塞尔函数的级数335.5.1贝塞尔函数的零点

1º

Jn(x)有无穷多个单重实零点,且这无穷多个零点在x轴上关于原点是对称分布着的,因而Jn(x)必有无穷多个零点;

2º

Jn(x)的零点与Jn+1(x)的零点是彼此相间分布的,即Jn(x)的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个Jn-1(x)的零点;345.5.2贝塞尔函数的正交性35通常把定积分36利用§2.6中关于特征函数系的完备性可知,任意在[0,R]上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数f(r),只要它在r=0处有界,在r=R处等于零,则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数37即38§5.6贝塞尔函数应用举例39例1设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为零摄氏度,初始时刻圆盘内温度分布为1-r2,其中r是圆盘内任一点的极半径,求圆内温度分布规律.

解采用极坐标系,定解条件与q无关,温度只能是r,t的函数,可归结为求解下列定解问题40由物理意义,还有条件|u|<,且当t+时,u0.

令 u(r,t)=F(r)T(t),

代入方程(5.44)得或由此得41方程(5.48)的解为因为t+时,u0,所以l>0,令l=b2则此时方程(5.47)的通解为因u(r,t)有界,C2=0,再由(5.45)得J0(b)=0,即b是J0(x)的零点.以mn(0)表示J0(x)的正零点,则42

b=mn(0) (n=1,2,3,),

综合以上结果可得Fn(r)=J0(mn(0)