三角函数讲义

三角函数讲义任意角和弧度值要点一：任意角的概念正角，负角，零角2.终边相同的角、象限角，象间角及其表示要点二：弧度制1．弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或12．角度与弧度的换算3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。其中正确的结论为________。类型二：终边相同的角的集合例2．已知=－1910°。（1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。（2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。类型三：角所在象限的研究：例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。类型四：弧度制与角度制的互化例4．（1）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。（2）如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．例5．（1）弧度=_______度；75°=________弧度；1弧度=_______度（精确到小数点后一位）（2）已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________．类型五：扇形的弧长、面积与圆心角问题已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）。任意角的三角函数题型一已知某个三角函数值求其余的三角函数值若，且，则。若为第三象限角，则的值为。的值是。题型二角的象限和取值范围的确定例4.已知，那么角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角例5.已知,且,则的值。例6.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴的非负半轴,若是角终边上一点,且,则__________.三角函数的诱导公式记忆口诀：（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数，函数名改变；取偶数，函数名不变），符号看象限（看原函数，同时可把“看成”是锐角）.符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。题型一已知角求三角函数值的问题例1求值：①②题型二已知值（或式子）求值的问题例2已知求的值题型三化简问题例3.例4.例5.已知,则的值是_______________.例6.已知，则。题型四函数与诱导公式的综合问题已知函数，其中都是非零实数，又知，求的值三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像三角函数图像与性质：3．函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝eq\f(最高点－最低点,2)；②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝eq\f(最高点＋最低点,2)；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－eq\f(φ,ω)(即令ωx＋φ＝0，x＝－eq\f(φ,ω))确定φ.4.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象．先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象得的图象．5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).7.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，.形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：三角函数的定义域和值域例1．函数y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为_________例2．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为_________例3，当时，求的值域；求三角函数的值域的常用方法之二：合一变换化为求的值域合一变换如：①合一变换降幂②合一变换降幂注意弦函数的有界性！变式:若函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝eq\f(π,3)处有最小值－2，则常数a，b的值是_________例2．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．求函数的值域例4.若sinx＋cosx＝eq\f(1,3)，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为________．三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D.最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数例2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③如何求三角函数的周期？(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).例3．(1)若函数f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝_________解：(1)∵f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函数，∴f(0)＝±1.∴sineq\f(φ,3)＝±1，∴eq\f(φ,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝eq\f(3π,2).故选C.例4．（2）如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解：(3)由题意得3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(4π,3)＋φ))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ＋2π))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为eq\f(π,6).注意：【规律方法】(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x.(补充)结果写成直线方程！如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝Atan(ωx＋φ)可求出对称中心．三角函数的单调性例1．下列函数中，周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))例2.已知函数f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例3．若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是减函数，则a的取值范围是________．例4.已知函数（）的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数在区间上的取值范围．（3）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．（4）求函数的单调增区间。三角函数的图象例1．函数y＝－xcosx的部分图象是（）三角函数图象的变换例1.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是例2已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象________．例3.已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y