选修4-5 第一节不等式和绝对值不等式

选修4-5不等式选讲

第一节不等式和绝对值不等式1.不等式的基本性质对称性

a>b

b__a

传递性

a>b,b>c

a__c

可加性

a>b

a+c__b+c

可乘性

①a>b,c>0ac__bc②a>b,c<0

ac__bc

可乘方性

a>b>0an__bn(n∈N,n≥2)

可开方性

a>b>0__(n∈N,n≥2)<>>><>>2.基本不等式(1)定理1如果a,b∈R，那么a2+b2___2ab，当且仅当____时，等号成立.(2)算术平均与几何平均如果a,b都是正数，我们就称______为a，b的算术平均，_____为a,b的几何平均.≥a=b(3)定理2(基本不等式)如果a,b>0，那么___当且仅当____时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术平均_____________________它们的几何平均.(4)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y,①如果它们的和S是定值，则当且仅当____时，它们的积P取得最___值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当____时，它们的和S取得最___值.

≥a=b不小于(即大于或等于)x=y大x=y小3.三个正数的算术——几何平均不等式(1)定理3如果a,b,c为正实数,那么___当且仅当______时，等号成立.即：三个正数的算术平均_______它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an，它们的算术平均_______它们的几何平均，即___

当且仅当___________时，等号成立.≥a=b=c不小于不小于≥a1=a2=…=an4.绝对值三角不等式定理

形式

等号成立的条件

1

|a+b|≤|a|+|b|

ab≥0

2

|a-c|≤|a-b|+|b-c|

(a-b)(b-c)≥0

5.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax+b|≤c____________;②|ax+b|≥c__________________.不等式

a>0a=0a<0|x|<a_____________________|x|>a_____________________________{x|-a＜x＜a}{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}R-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a<b,则一定有()(2)若n=则n≥1.()(3)|x-1|-|x-5|<2的几何意义为数轴上的点x到点1，-5的距离之差小于2.()(4)不等式≥1成立的充要条件是|a|>|b|.()【解析】(1)错误.当ab>0时，有；当ab<0时，有(2)正确.n==1.(3)错误.其几何意义为数轴上的点x到点1,5的距离之差小于2.(4)正确.|a|>|b|.答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

考向1

利用基本不等式求最值

【典例1】(1)若x>0,则函数f(x)=的最大值为_____.(2)若0<x<3,则函数f(x)=2x(3-x)的最大值为______.(3)若x>0,y>0,且9x+y-xy=0，则x+y的最小值为_______.【思路点拨】对于(1)(2)可根据题目条件，变形构造出“和”或“积”为定值的形式，利用基本不等式求解；对于(3)应将已知条件变形并建立与x+y的关系，然后再利用基本不等式求解.【规范解答】(1)∵x>0,∴f(x)=1-2x-=1-(2x+)≤1-当且仅当2x=即x=时等号成立.∴f(x)的最大值为1-此时x=(2)∵0<x<3,∴3-x>0,∴f(x)=2x(3-x)=2［x(3-x)］≤当且仅当x=3-x,即x=时等号成立.∴函数f(x)=2x(3-x)的最大值为(3)方法一：∵x＞0,y＞0,9x+y-xy=0，∴9x+y=xy,即=1,∴x+y=(x+y)·()=+10≥+10=6+10=16，当且仅当时，“＝”成立.又=1,即x=4,y=12时，上式取等号.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9(定值)可知x＞1,y＞9.∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥+10=6+10=16，当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，“＝”成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.答案：(1)(2)(3)16【拓展提升】基本不等式的一般形式及条件基本不等式的一般形式为a1+a2+…+an≥或(其中a1,a2,…,an为正实数)当且仅当a1=a2=…=an时取等号.利用①式求最小值要求积为定值，利用②式求最大值要求和为定值.【变式训练】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1，则的最小值为________.【解析】∵a,b,c∈(0,+∞),∴[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·()≥=9,即2(a+b+c)·()≥9.又∵a+b+c=1，∴≥当且仅当a=b=c=时，“＝”成立，∴的最小值为答案：考向2绝对值不等式的解法【典例2】(2012·湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为______.【思路点拨】先移项，然后两边平方，再解不等式.【规范解答】由|2x+1|-2|x-1|>0，得|2x+1|>2|x-1|，平方得：12x>3,即x>∴原不等式的解集为{x|x>}.答案：{x|x>}【互动探究】若将本例不等式改为|2x+1|-|x-1|>0，则解集为_________.【解析】由|2x+1|-|x-1|>0得|2x+1|>|x-1|，两边平方得(2x+1)2>(x-1)2，整理得：3x2+6x>0.解得x>0或x<-2，∴不等式的解集为{x|x>0或x<-2}.答案：{x|x>0或x<-2}【拓展提升】解绝对值不等式的方法|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法较直观，但只适用于数据较简单的情况.(1)分区间讨论法的关键在于对绝对值代数意义的理解，即也即x∈R，x为非负数时，|x|为x;x为负数时，|x|为-x，即x的相反数.(2)|x-a|+|x-b|≥c，|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段函数表达式.不妨设a<b,于是这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程、数形结合的思想.(3)几何法的关键是理解绝对值的几何意义.【变式备选】不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为________.【解析】①当x<-3时，原不等式可化为-(x+3)-(1-2x)<+1，解得x<10,∴x<-3;②当-3≤x<时，原不等式可化为(x+3)-(1-2x)<+1，解得x<∴-3≤x<③当x≥时，原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,∴x>2.综上,原不等式的解集为{x|x<或x>2}.答案：{x|x<或x>2}

考向3含参数的绝对值不等式的解法【典例3】(2013·济宁模拟)设函数f(x)=|x-a|+3x，其中a>0,若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}，则a的值为______.【思路点拨】将解绝对值不等式转化为解不等式组的问题，利用待定系数法求a的值.【规范解答】由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0，将此不等式转化为不等式组或即或因为a>0，故其解集为{x|x≤}，由题设可得=-1，故a=2.答案：2【拓展提升】绝对值不等式的几种等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组)，根据式子的特点可用下列式子进行转化.(1)|f(x)|＞a(a＞0)f(x)＞a或f(x)＜-a.(2)|f(x)|＜a(a＞0)-a＜f(x)＜a.(3)|f(x)|＞g(x)f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x)，g(x)>0.(4)|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)，g(x)>0.(5)|f(x)|＞|g(x)|[f(x)]2＞[g(x)]2.【变式训练】(2013·太原模拟)若不等式|x-a|≤m的解集为{x|-1≤x≤5},则a=______,m=______.【解析】由|x-a|≤m得-m≤x-a≤m,即a-m≤x≤a+m，由题意知∴a=2,m=3.答案：23考向4含绝对值不等式的恒成立问题【典例4】不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意x恒成立，则实数a的取值范围是_________.【思路点拨】求出|x+3|-|x-1|的取值范围，只要使其最大值小于或等于a2-3a即可.【规范解答】方法一：因为|x+3|-|x-1|表示数轴上的点P(x)与两定点B(-3)，A(+1)距离的差，即|x+3|-|x-1|=|PB|-|PA|，由绝对值的几何意义知|PB|-|PA|的最大值为|AB|=4,最小值为-|AB|=-4.∵对任意x不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a恒成立，∴a2-3a≥4，即a2-3a-4≥0,解得a≥4或a≤-1,∴a的取值范围为(-∞,-1］∪［4,+∞).答案：(-∞,-1］∪［4,+∞)方法二：由|x+3|-|x-1|≤|x+3-(x-1)|=4知|x+3|-|x-1|的最大值为4，由题意知4≤a2-3a，解得a≥4或a≤-1.∴a的取值范围为(-∞,-1］∪［4,+∞).答案：(-∞,-1］∪［4,+∞)【拓展提升】

对于不等式恒成立问题常见类型及其解法(1)分离参数法运