人教A版高中数学选修1-1《二章圆锥曲线与方程23抛物线圆锥曲线的光学性质及其应用》课教案3

高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思虑圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的授课方案第一课时抛物线的光学性质及其应用一、授课目的理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。会用数学建模的思想将实质生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。二、授课重点理解抛物线的光学性质并会推导。三、授课难点数学建模思想的应用。四、授课过程（一）课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分别地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过合适调治，就能射出一束比较强的平行光辉。这是为什么呢?设计妄图：从生活中的一个例子出发，提出问题，惹起学生的求知欲，从而提出课题。（二）课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光辉都平行于抛物线的轴。抛物线这种聚焦特点，成为聚能装置或定向发射装置的最正确选择．比方探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可经过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗同样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转获取的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴追踪对准卫星，这样可以把卫星发射的稍微电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接见收效；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴追踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接见收效．最常有的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面齐聚太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要研究抛物线的光学性质，第一必定将这样一个光学实责问题，转变成数学问题，进行讲解论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计妄图：提出抛物线的光学性质，并经过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。（三）课题证明曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐凑近，向到达P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助抛物线的切线和法线，对这一问题进行转变：圆锥曲线光学性质的证明预备定理若点P(x0,y0)是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y0yp(xx0)证明：由y22px，对x求导得：2yy'2pky'|xx0py0当y00时，切线方程为yyp(xx0)y0即y0yy02pxpx0而y022px0y0yp(xx0)①而当y00,x00时，切线方程为x00也满足①式故抛物线在该点的切线方程是y0yp(xx0).定理抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线均分（图2.3）。已知：如图，抛物线C的方程为y24cx，yLP直线l是过抛物线上一点P(x0,y0)的切线，交x轴于D，DPF,PDF，Dx反射线PQ与l所成角记为，F求证：证明：如图，抛物线C的方程为图2.3C:y24cx，点P(x0,y0)在该抛物线上，则过点P的切线为y0yp(xx0)切线l与x轴交于D(x0,0)焦点为F(c,0)，(同位角)∵|PF|(x0c)2y02|x0c|,|DF||x0c|∴|PF||DF|∴问题三：数学问题生活化经过以上问题转变可知抛物线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？设计妄图：经过前面对抛物线光学性质的数学化推理证明，让学生理解学习数学是为了应用，将其拓展到解题和实质生活中的应用。进一步提升学生数学建模涵养。（四）课题应用例1.设抛物线C:y2x，一光辉从点A(5，2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为____，Q点的坐标为______。解：直线AP平行于对称轴且A(5，2)，∴则P点的坐标为（4，2）1∴反射线PQ过点F(,0)4设Q(t2,t)，则t28t211154414解得：t8∴Q(1,1)648设计妄图：应用抛物线的光学性质解决入射光辉和反射光辉的问题。例2．已知抛物线C：y24x，F是其焦点，点Q(2,1)，是C上的动M点，求|MF|+|MQ|的取值范围。。解析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此重点是求最小值。依照抛物线光学性质（从焦点射出的光辉经抛物线反射，反射光辉与对称轴平行，反之也建立），结合光辉的“近来流传”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见右图）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ|≥3设计妄图：能用抛物线的光学性质解决“距离之和”的最值问题。张奠宙教授说“在一般情况下，光辉在流传过程中，总是选择近来的路线从一点流传到另一点。这诚然还可是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指了然思虑的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想获取”的重点问题。若是再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”仍旧是很有价值的、不可以取代的。”Fy例3．某种碟形太阳能热水器的外形表示图如图1，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸

585xO40图2图1如图2．为了达到最正确加热收效，F应距碟底多少？解：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，张口方向为x轴的正向，建立坐标系如图2，则内壁抛物线方程为y2=2px．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点，因此852=2p40=80p，90.3．加热点F应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(p,0)(45.2,0)．因此2F应距碟底约45