新人教A版高中数学讲义全套：三角函数

1．1.1任意角eq\a\vs4\al([新知初探])1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45° B．225°C．395° D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°任意角的概念[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[答案]C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.答案：60°终边相同角的表示[典例]写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1080°范围内与75°角终边相同的角．[解]与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β<1080°时，即360°≤k·360°＋75°<1080°，解得eq\f(19,24)≤k<2eq\f(19,24).又k∈Z，所以k＝1或k＝2.当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1080°范围内的角为435°角和795°角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.象限角的判断[典例]已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C∵α与－α的终边关于x轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到，∴180°－α是第三象限角.角eq\f(α,n)，nα(n∈N*)所在象限的确定[典例]已知α是第二象限角，求角eq\f(α,2)所在的象限．[解]法一：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，这表明eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，这表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角eq\f(α,2)是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角eq\f(α,2)的终边所在的区域，故角eq\f(α,2)为第二或第四象限角．倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．(2)已知角α终边所在的象限，确定eq\f(α,n)终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－eq\f(13,3)<k<eq\f(11,3)，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅ B．MNC．NM D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴NM，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．1．1.2弧度制eq\a\vs4\al([新知初探])1．角的单位制(1)角度制：规定周角的eq\f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝eq\f(l,r).[点睛]用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝eq\f(nπr,180)S＝eq\f(nπr2,360)弧度制l＝α·r(0<α<2π)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2(0<α<2π)[点睛]由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．()答案：(1)×(2)√(3)×2．若α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第一、三象限 D．第一、四象限答案：C3．半径为1，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形的面积是()A．eq\f(4π,3)B．πC．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,3)答案：D4．(1)eq\f(2π,3)＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120°(2)－eq\f(7π,6)角度与弧度的换算[典例]把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).[解](1)72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5).(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3).(3)2＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))°.(4)－eq\f(2π,9)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)×\f(180,π)))°＝－40°.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq\f(180,π)＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化：(1)eq\f(511,6)π；(2)－eq\f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°.解：(1)eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°.(2)－eq\f(7π,12)＝－eq\f(7,12)×180°＝－105°.(3)10°＝10×eq\f(π,180)＝eq\f(π,18).(4)－855°＝－855×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,4).用弧度制表示角的集合[典例]已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．[解](1)2005°＝2005×eq\f(π,180)rad＝eq\f(401π,36)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(41π,36)))rad，又π<eq\f(41π,36)<eq\f(3π,2)，∴角α与eq\f(41π,36)终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋eq\f(41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq\f(41π,36)＜0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－eq\f(31π,36)，－eq\f(103π,36)，－eq\f(175π,36).用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．解析：因为－1125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,4)，所以－1125°＝－8π＋eq\f(7π,4).答案：－8π＋eq\f(7π,4)2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的半径为10cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝eq\f(π,3)，半径r＝10cm，则弧长l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，于是面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)(cm2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为rcm，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝8，①,\f(1,2)l·r＝4，②))由①②，得r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝eq\f(l,r)＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，从而S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(30－2r)r＝－r2＋15r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(15,2)))2＋eq\f(225,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,π＋1)<r<15))，所以，当r＝eq\f(15,2)cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为eq\f(225,4)cm2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒]运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为()A．50 B．eq\f(5π,18)C．eq\f(18,5π) D．eq\f(9000,π)解析：选B50°＝50×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,18).2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是()A．16π B．32πC．16 D．32解析：选C弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S＝eq\f(1,2)lr＝16.3．角α的终边落在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π，－\f(5π,2)))内，则角α所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C－3π的终边在x轴的非正半轴上，－eq\f(5π,2)的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为()A．eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC．eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π解析：选B显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了eq\f(7,3)周，转过的弧度为－eq\f(7,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.5．下列表示中不正确的是()A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))C．终边在坐标轴上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝k·\f(π,2)，k∈Z))D．终边在直线y＝x上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))解析：选D终边在直线y＝x上的角的集合应是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)).6．－135°化为弧度为________，eq\f(11π,3)化为角度为________．解析：－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3,4)π，eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)×180°＝660°.答案：－eq\f(3,4)π660°7．扇形的半径是eq\r(6)，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．解析：60°＝eq\f(π,3)，扇形的面积公式为S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×(eq\r(6))2＝π.答案：π8．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.解析：由－π<eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)<π，得－eq\f(4,3)<k<eq\f(8,3).∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，∴M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.根据扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lR，得1＝eq\f(1,2)l·R.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋l＝4，,\f(1,2)l·R＝1，))解得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝eq\f(2,1)＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)－1725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．解：(1)－1725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋eq\f(5π,12)＝－10π＋eq\f(5π,12)，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k＝－eq\f(π,180)×60＋2π·k＝－eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．层级二应试能力达标1．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3)B．－eq\f(10,3)π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πD．eq\f(π,12)化成度是15°解析：选C对于A,60°＝60×eq\f(π,180)＝eq\f(π,3)；对于B，－eq\f(10,3)π＝－eq\f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5,6)π；对于D，eq\f(π,12)＝eq\f(1,12)×180°＝15°.故C错误．2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αkπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：选C当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z，所以选C.3．若角α与角x＋eq\f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq\f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为()A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解析：选D∵α＝x＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3) D．2解析：选C如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq\r(3)R，所以圆弧长度为eq\r(3)R的圆心角的弧度数α＝eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).5．若角α的终边与eq\f(8,5)π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与eq\f(α,4)角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，∴eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).答案：eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)6．已知一扇形的圆心角为eq\f(π,3)rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r，∵扇形的圆心角为eq\f(π,3)，半径为R，∴S扇形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)R2＝eq\f(π,6)R2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝eq\f(R,3).∵S内切圆＝πr2＝eq\f(π,9)R2，∴S内切圆∶S扇形＝eq\f(π,9)R2∶eq\f(π,6)R2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1690°，(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25,18)π<4π.解得－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.8．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，所以l＝α·r＝eq\f(2,3)π×6＝4π，所以弧AB的长为4π.(2)因为S扇形AOB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝eq\f(1,2)AB·OD＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×3＝9eq\r(3).所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).第二课时三角函数线eq\a\vs4\al([新知初探])1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线[点睛]三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值．()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边()A．在x轴上 B．在y轴上C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上答案：B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)答案：D4．sin1.5________sin1.2.(填“>”或“<”)答案：>三角函数线的作法[典例]作出eq\f(3π,4)的正弦线、余弦线和正切线．[解]角eq\f(3π,4)的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与eq\f(3π,4)的终边的反向延长线交于点T，则eq\f(3π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.[活学活用]作出－eq\f(9π,4)的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－eq\f(9π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.三角函数线的应用题点一：利用三角函数线比较大小1．利用三角函数线比较下列各组数的大小：①sineq\f(2π,3)与sineq\f(4π,5)；②taneq\f(2π,3)与taneq\f(4π,5).解：如图所示，角eq\f(2π,3)的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sineq\f(2π,3)＝MP，taneq\f(2π,3)＝AT；eq\f(4π,5)的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sineq\f(4π,5)＝M′P′，taneq\f(4π,5)＝AT′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以①sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)，②taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5).题点二：利用三角函数线解不等式2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解：(1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).题点三：利用三角函数线求函数的定义域3．求函数f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))的定义域．解：由题意，得自变量x应满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)，,sinx>\f(\r(2),2).))则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).1．利用三角函数线比较大小的两个关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．2．利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tanx≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．3．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．层级一学业水平达标1．角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的()A．正弦线 B．余弦线C．正切线 D．不能确定解析：选C在同一坐标系内作出角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在()A．直线y＝x上B．直线y＝－x上C．直线y＝x上或直线y＝－x上D．x轴上或y轴上解析：选C由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tanα＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．3．如果MP和OM分别是角α＝eq\f(7π,8)的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()A．MP<OM<0 B．OM>0>MPC．OM<MP<0 D．MP>0>OM解析：选D∵eq\f(7π,8)是第二象限角，∴sineq\f(7π,8)>0，coseq\f(7π,8)<0，∴MP>0，OM<0，∴MP>0>OM.4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在()A．第一象限的角平分线上B．第四象限的角平分线上C．第二、第四象限的角平分线上D．第一、第三象限的角平分线上解析：选C作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是()A．sinα＋cosα>1 B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα<1 D．不能确定解析：选A作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sinα＋cosα>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是_________________________．解析：如图，sin1＝MP，cos1＝OM.显然MP>OM，即sin1>cos1.答案：sin1>cos18．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(3π,2)))，则sinθ的取值范围是________．解析：由图可知sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(3π,2)＝－1，eq\f(\r(2),2)>sinθ>－1，即sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)eq\f(5π,6)；(2)－eq\f(2π,3).解：(1)因为eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以作出eq\f(5π,6)角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sineq\f(5π,6)，有向线段OM＝coseq\f(5π,6)，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝taneq\f(5π,6).综上所述，图(1)中的有向线段MP，OM，AT分别为eq\f(5π,6)角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，所以在第三象限内作出－eq\f(2π,3)角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M′P′，OM′，A′T′分别为－eq\f(2π,3)角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域．(1)y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－sinx)).(2)y＝eq\r(3tanx－\r(3)).解：(1)为使y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－sinx))有意义，则eq\f(\r(2),2)－sinx>0，所以sinx<eq\f(\r(2),2)，所以角x终边所在区域如图所示，所以2kπ－eq\f(5π,4)<x<2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.所以原函数的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,4)<x<2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).(2)为使y＝eq\r(3tanx－\r(3))有意义，则3tanx－eq\r(3)≥0，所以tanx≥eq\f(\r(3),3)，所以角x终边所在区域如图所示，所以kπ＋eq\f(π,6)≤x<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以原函数的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)≤x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).层级二应试能力达标1．下列三个命题：①eq\f(π,6)与eq\f(5π,6)的正弦线相等；②eq\f(π,3)与eq\f(4π,3)的正切线相等；③eq\f(π,4)与eq\f(5π,4)的余弦线相等．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选Beq\f(π,6)和eq\f(5π,6)的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；eq\f(π,3)和eq\f(4π,3)两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；eq\f(π,4)和eq\f(5π,4)的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，则这个三角形是()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形解析：选D当0<α≤eq\f(π,2)时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，∴α必为钝角．3．如果eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，那么下列不等式成立的是()A．cosα<sinα<tanα B．tanα<sinα<cosαC．sinα<cosα<tanα D．cosα<tanα<sinα解析：选A如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cosα<sinα<tanα.4．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4))) D．[0，π]解析：选A如图，画出三角函数线sinx＝MP，cosx＝OM，由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)，为使sinx≤cosx成立，则由图可得－eq\f(3π,4)≤x≤eq\f(π,4).5．sineq\f(2π,5)，coseq\f(6π,5)，taneq\f(2π,5)从小到大的顺序是________．解析：由图可知：coseq\f(6π,5)<0，taneq\f(2π,5)>0，sineq\f(2π,5)>0.∵|MP|<|AT|，∴sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).故coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).答案：coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5)6．若0<α<2π，且sinα<eq\f(\r(3),2)，cosα>eq\f(1,2).利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π))7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sinθ<－eq\f(1,2)；(2)－eq\f(1,2)≤cosθ<eq\f(\r(3),2).解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋2kπ<θ<－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)≤θ<2kπ－\f(π,6)或2kπ＋\f(π,6)<θ≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).8．若0<α<eq\f(π,2)，证明：sinα<α<tanα.证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴eq\f(1,2)|OA|·|MP|<eq\f(1,2)l·|OA|<eq\f(1,2)|OA|·|AT|，∴|MP|<l<|AT|，∴sinα<α<tanα.1．2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义与公式一eq\a\vs4\al([新知初探])1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛]三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛]诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()答案：(1)√(2)×(3)√2．若sinα<0，tanα>0，则α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，则sinα＋cosα＝()A．eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．－eq\f(2\r(5),5)答案：B4．sineq\f(π,3)＝________，coseq\f(3π,4)＝________.答案：eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)三角函数的定义及应用[典例]设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()A．eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)[解析]∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.即eq\r(－3a2＋4a2)＝1，解得a＝±eq\f(1,5).∵a<0，∴a＝－eq\f(1,5).∴P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5).∴sinα＋2cosα＝－eq\f(4,5)＋2×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).[答案]A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα的值等于()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)解析：选C由题意知P(1，－eq\r(3))，所以r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2).2．已知角α的终边过点P(12，a)，且tanα＝eq\f(5,12)，求sinα＋cosα的值．解：根据三角函数的定义，tanα＝eq\f(a,12)＝eq\f(5,12)，∴a＝5，∴P(12,5)．这时r＝13，∴sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(12,13)，从而sinα＋cosα＝eq\f(17,13).三角函数值符号的运用[典例](1)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)设α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，则eq\f(α,2)所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4).∴eq\f(α,2)在第二、四象限．又∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)<0.∴eq\f(α,2)在第二象限．[答案](1)D(2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是()A．tanA与cosB B．cosB与sinCC．sinC与tanA D．taneq\f(A,2)与sinC解析：选D∵0＜A＜π，∴0＜eq\f(A,2)＜eq\f(π,2)，∴taneq\f(A,2)＞0；又∵0＜C＜π，∴sinC＞0.2．若角α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在第________象限．解析：∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0.∴P(sinα，cosα)位于第四象限．答案：四诱导公式一的应用[典例]计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)·tan4π.[解](1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用]求下列各式的值：(1)sineq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋cos360°－tan1125°.解：(1)sineq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),2)＋1.(2)sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.层级一学业水平达标1．若α＝eq\f(2π,3)，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))解析：选B设P(x，y)，∵角α＝eq\f(2π,3)在第二象限，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cosα为()A．1 B．－1C．eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)解析：选C∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，∴cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).3．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解析：选B∵sinαcosβ<0，α，β∈(0，π)，∴sinα>0，cosβ<0，∴β为钝角．4．代数式sin120°cos210°的值为()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(1,4)解析：选A利用三角函数定义易得sin120°＝eq\f(\r(3),2)，cos210°＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin120°cos210°＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(3,4)，故选A.5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sinα等于()A．±eq\f(1,5) B．±eq\f(\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(1,2)解析：选C在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2,5)eq\r(5).或者取P(1，－2)，则r＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2,5)eq\r(5).6．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tanα＝－eq\f(12,5)，则sinα＋cosα＝________.解析：∵tanα＝eq\f(a,5)＝－eq\f(12,5)，∴a＝－12.∴r＝eq\r(25＋a2)＝13.∴sinα＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(5,13).∴sinα＋cosα＝－eq\f(7,13).答案：－eq\f(7,13)8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝________.解析：当α在第二象限时，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝－eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(sinα,cosα)＝0；当α在第四象限时，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(sinα,cosα)＝0.综上，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1050°)；(2)taneq\f(19π,3)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4))).解：(1)∵－1050°＝－3×