2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答

专业专业WORD.2016年全国高中数学联赛省预赛试题解答2016年6月5日上午8:30――11:00一、填空题(每小题7分，共56分)1、若y=log (x2-ax+65)的值域为R+,那么a的取值围2016是.答案：-16<a<16.解：由值域yeR+, x2-ax+65>1,nx2-ax+64>0二.A=a2-4•64<0,/.-16<a<16.2、四面体ABCD中，AABC是一个正三角形，AD=BD=2,AD±BD,AD±AD±CD，则D到面ABC的距离为2d3.答案：-解：如图，据题意得，AB=\A^D22+BD2=2<2,于是BC=CA=AB=2*2,CD=AACC2-AD2=2,因BC2=BD2+CD2，得BD±CD，从而以D为顶点的三面角是三直三面角,四面体体积V=AAD•S =±,而S =上3.AB.一 2J3. 2、.：3.一 2J3. 2、.：3.4若设D到面ABC的距离为h,则V=-h-S =——h,由——h=-, AABC3 3 3得到h=竽.3、若对于所有的正数x,y,均有v'x+»«a.Jx+y,则实数a的最小值是.答案：<2.3 ABCD3 AABC 4

解：由2二1，得当x=y时取等号.4、已知P是正方形ABCD切圆上的一点，记/APC=a,/BPD=P,贝tan2解：由2二1，得当x=y时取等号.4、已知P是正方形ABCD切圆上的一点，记/APC=a,/BPD=P,贝tan2a+tan2p=.答案：8.解：如图建立直角坐标系，设圆方程为X2+y2=r2,则正方形顶点坐标为A(—r，—r),B(r，—r),C(r,r),D(—r,r)若点P的坐标为P(rcos0,rsin0),于是直线PA,PB,PC,PD的斜率分别为kPA1+sin01+cos0,kPB1+sin0kPC1—sin01—cos0,kPD1—sin0所以tan2a二PA2二4(cos0—sin0)2,tan2p二(k-k)

—PD PB-[1+kkJ

PBPD2二4(cos0+sin0)2,由此立得tan2a+tan2p=8.解2：取特例，P在坐标轴上，则a=p,2这时，tana=coty二1二2二tanP,/.tan2a+tan2p=2+22=85、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是.答案：的项）的个数是.答案：134.解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016与等差数列5,10,15,,2015的公共项个数；前者是M={1,2,3,,2016}中的全体能被3整除的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项

是M中的全体能被15是M中的全体能被15整除的数，这种数有201615=134个.6、设了为锐角，则函数y=sinxsin2x的最大值是.答案：4^3.解：由y=2sin2xcosx，得y2=4sin4xcos2x=2(1-cos2x)(1-cos2x)-2cos2x16(1-cos2x)+(1-cos2x)+2cos2x)327，v3 11627，v3 1所以yV一9—.当cos2x=3时取得等号.7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一3x3方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：(答案有多种)8、把从1到n(n>1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是.答案：15.例如，排出的一个数列为(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作.记这n个连续正整数的集合为M={1,2, ,n},由于n>1,则M中必有2，而2+7=9，所以n>7，当n=7时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5),但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即n>10，而之前的数若与8,9,10邻接，只有8+1=9,9+7=16,10+6=16，这三段扩充为(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15,则n>15,而当M={1,2,,15}时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．二、解答题(共64分)9、(14分)如图，CD是椭圆*哈=1的一条直径，广一N过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线，交椭圆于『一D另一点N，交椭圆短轴所在直线于M，证明：AM•AN=CO-CD.证1：椭圆方程为x=acos仇y=bsin0,x=-a+tcos03'点A,N的坐标为A(-a,0),N(acos0,bx=-a+tcos03'y=tsin0代入椭圆方程得到(b2cos20+a2sin20)12-2ab21cos0=0,2ab2cos0 a 兀、AN=t= -,AM=——-(0w—),……6'b2cos20+a2sin20 cos0 2因此AM•AN=2因此AM•AN=2a2b2b2cos20+a2sin209'又据AN//CD，则点C,D坐标为：C(-|OD|cos0,-|OD|sin0),D(|OD\cos仇O)D\sin0),……12因为C,D因为C,D在椭圆上,则|CO|2二a2b2b2cos20+a2sin20而，CO-CO-CD=2|CO|2二2a2b2b2cos20+a2sin20因此AM•AN=CO-CD.……14证2：易知CD的斜率k存在，不妨令CD:y=kx，与椭圆方程联系，解得(abab也解得(abab也2+a2k2，(b2+a2k2)、Jb2+a2k2Jb2+a2k2)3'+k2)a2b2COI=|CDb2+a+k2)a2b2COI=|CDb2+a2k2G+k2)a2b2|CO|•|CD|= b2+a2k24U+k2Ja2b2bb2+a2k26'AN方程为：y=k(x+a),「.M(0,ka).将AN方程与椭圆方程联立，得Q2+a2k2)x2+2a3k2x+k2a2—a2b2=02a3k2 ab2一a3k2/.x+x=- ，.=x= AN b2+a2k2 Nb2+a2k29'2kab2二 Nb2+a2k2|AN|=AM|=a、.1+k24k2a2b4+-/ 12'2ab2<1+k2b2+a2k2AM|-|AN\二=AM|-|AN\二=CO•CD…14'10（15分）如图，D是AABC的旁心，点A关于直线DC的对称点为片.证明：⑴、B,C,E三点共线；（2）、A,B,D,E四点共圆.证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE,D为旁心,・・・CD平分ZBCN,……2'又A、E关于DC对称， ...CM平分ZACE:.ZDCN=ZACM,nZBCD=ZMCE:.ZBCN=ZACE二B、C、E三点共线。……5'2、过C作CI//AE交AD于I，则IC1DC……7'.I为ABC心。连BI，则BI平分ZABC,……10'.ZIBD=90一.B、D、C、I四点共圆，……12'.ZCBD二ZCID二ZEAD,.A、B、D、E四点共圆。……15'11、（15分）设x,y,工为正数，满足：q+/+z=1，证明:xyz(x+y)(y+z)(x+z)>(1—x2)(1—y2)(证：据条件，即要证 >(1—x2)(1—z2)( ①也即 > +)2+z2)+(x2y2+y2z2+x2z2)②……3'将此式各项齐次化，因为1=(xy+yz+xz)2=元2y2+y2z2+元2z2+2盯z(元+y+z) 6元2+y2+z2=(x2+y2+z2)(xy+yz+xz)=x3(y+z)+y3(x+z)+z3(x+y)+xyz(x+y+z)代入②，只要证xyz(x+y+z)>2(x2y2+y2z2+x2z2)-x3(y+z)+y3(x+z)+z3(x+y)+xyz(x+y+z)即x3(y+z)+y3(x+z)+z3(x+y)-2(x2y2+y2z2+x2z2)>0 12'也即xy(x-y)2+yz(y-z)2+xz(x-z)2>0。此为显然，故命题得证.…15'证2：由题设得：y(x+z)=1-zx,x(y+z)=1-yz,z(x+y)=1-xy,三式相乘，故原不等式等价于证明：(1-zx)(1-yz)(1-xy)>G-x2)(-y2)1—z2) 3'上式两边展开并化简得：x2+y2+z2-(xy+yz+zx)>6'x2y2+y2z2+z2x2-(x2yz+xy2z+xyz2)6'配方得：(x-y»+(y-z»+(z-x»>(xy-xz»+(yz-xy»+(yz-zx»9'x2(y-z>+y2(z-x»+z2(x-y»9'即(1-z2)(x-y)2+(1-x2)(y-z»+(1-y2)(z-x)2>0(*) 12'0<x,y,z<1,「.1-x2>0,1-y2>0,1-z2>0,15'12、(20分)设集合A={1,2,,2016},对于A的任一个1008元子集X,若存在x,yeX,满足x<y,x|y,则称X为“好集”求最大的正整数a,(aeA)，使得任一个含a的1008元子集皆为“好集”解：因任何正整数n可以表为n=2at形式，其中aeN,t为正奇数，于是集合A可划分为以下1008个子集：A={mm=2a(2j—1),aeN,1<m<2016},j=1,2,,1008・・・・・・4'j对于集合A的任一个1008元子集X,只要集X中含有某一个A中的至少j两个元素x,y,(x<y),因x=2勺(2j-1),y=2k2(2j-1),k<k，则xy；1 2此时X为好集；以下证明正整数a的最大值为671： ……8'若a=671时，对于A的任一个1008元子集X，如果X中含有某个A中j的至少两个元素，则X便是好集；如果{A}中的1008个集合，每个集合j中恰有一个元素在X中，那么A也有一个元素在X中，1007但A={2013}为单元素集，于是2013eX,而a12013,1007(2013=671x3=3a)，这说明X仍是好集，因此a=671合于要求. ……12'下面说明当a>672时，存在含a的集X不是好集；分两种情况：(1)、若a>1009,取1008元集X={1009,1010, ,2016},则0因X中任两个不同元素x<y,均有xy,故X不为好集，这种a不合0 0要求.……15'(2)、若672<a<1008，记X】={672+j|j=0,1,,336},X=X\机672+j)1j=0,1,,336),令X=XX，则X=1008,2 0 1 1 2口v U且a£X,1•••