相似三角形培优试题学生

./1、〔本题满分7分如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N．求证：〔1； 〔22、<本题满分7分>如图11,已知△的面积为3,且AB=AC,现将△沿CA方向平移CA长度得到△．〔1求四边形CEFB的面积；〔2试判断AF与BE的位置关系,并说明理由；〔3若,求AC的长．3、如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE＝∠B.求证：△ADF∽△DEC若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.4、如图〔4,在正方形中,分别是边上的点,连结并延长交的延长线于点AcEcDcFcAcEcDcFcBcCcGc图〔4〔2若正方形的边长为4,求的长．5．如图〔15,在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．〔1求边的长；〔2当为何值时,与相互平分；CcDcAcBcQcPc图〔5〔3连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值？最大值是多少？CcDcAcBcQcPc图〔56．〔本题满分9分 一块直角三角形木板的一条直角边长为m,面积为m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,乙设计方案如图2．图１Ｅ图１ＥGＢACFＡDＡＣＢDEF图２第6题图7、如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1〔如图2．〔1探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明；〔2当α=30°时,求证：△AOE1为直角三角形．8、〔本题满分12分将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A<A′>、B在同一条直线上,如图2所示．图1图2观察图2可知：与BC相等的线段是,∠CAC′=图1图2问题探究向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.图3图3拓展延伸如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.图4图49.〔本小题12分如图,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上〔不与A、D重合,在AD上适当移动三角板顶点P：〔1、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能,请你求出这时AP的长；若不能,请说明理由；〔2、再次移动三角板的位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm？若能,请你求出这时AP的长；若不能,请你说明理由。参考答案1、证明：〔1四边形和四边形都是正方形3分4分〔2由〔1得∴AMN∽CDN2、解：〔1由平移的性质得． 3分〔2．证明如下：由〔1知四边形为平行四边形 5分3、〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC<2>解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中,DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=4、〔1证明：为正方形,1分3分又5分〔2解：为正方形,7分又正方形的边长为4．9分5．解：〔1作于点,如图〔3所示,则四边形为矩形． 1分又 2分在中,由勾股定理得： 3分图〔3图〔3CcDcAcBcQcPcEc〔2假设与相互平分．由则是平行四边形〔此时在上．4分即5分解得即秒时,与相互平分．7分〔3①当在上,即时,作于,则即8分=9分当秒时,有最大值为10分②当在上,即时,=11分易知随的增大而减小．故当秒时,有最大值为综上,当时,有最大值为12分6、〔本题满分9分图１ＡＣＢDEFx解：由m,图１ＡＣＢDEFx由图1,若设甲设计的正方形桌面边长为xm,由,得m．4分由图2,过点作斜边上的高交于,交于．由m,2m,得〔m．由可得,m． 6分设乙设计的桌面的边长为ym,ＥGＢAＥGＢACFＡD图２HＡPＡyＡ即,解得m．甲同学设计的方案较好 7、答案：〔1用边角边证明△AOE’和△BOF’全等,即可证得AE’=BF’<2>取OE’的中点G,得到等边△AOG,等到∠AGO=60°,又由AG=E’G得到∠AE’O＝30°,从而得到∠OAE’是90°,即为直角三角形。8.解：情境观察AD〔或A′D,90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴eq\f<AG,EP>=eq\f<AB,EA>.同理△ACG∽△FAQ,∴eq\f<AG,FP>=eq\f<AC,FA>.∵AB=kAE,AC=kAF,∴eq\f<AB,EA>=eq\f<AC,FA>=k,∴eq\f<AG,EP>=eq\f<AG,FP>.∴EP=FQ.9．解：①结论：能．设AP=xcm,则PD=<10-x>cm．因为∠A=∠D=90°,∠BPC=90°,所以∠DPC=∠ABP．所以△ABP∽△DPC．则AB/PD=AP/DC,即AB·DC=PD·AP．所以4×4=X<10-X>,即x2-10x+16=0．解得x1=2,x2=8．所以AP=2cm或8cm．②结论：能．设AP=Xcm,CQ=ycm．由于ABCD是矩形,∠HPF=90°,所以△BAP∽△ECQ,△BAP∽△PDQ所以AP·CE=AB·CO,AP·PD=AB·DQ,所以2x=4y,即y=x/2,①x<10-x>=4<4+y>．②消去y,得x2-8x+16=0,解得x1=x2=4,即AP=4cm．一、选择题〔每小题6分,共48分1．在△ABC中,D、F是AB上的点,E、H是AC上的点,直线DE//FH//BC,且DE、FH将△ABC分成面积相等的三部分,若线段FH=,则BC的长为〔 A．15 B．10 C. D．2．在△ABC中,DE//BC,DE交AB于D,交AC于E,且S△ADE：S四边形DBCE=1：2,则梯形的高与三角形的边BC上的高的比为〔A．1： B．1： C．1： D．：3．在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,AC=5,BC=8,则S△ACD：S△CBD为〔A． B． C． D．4．如图1—5—1,D、E、F是△ABC的三边中点,设△DEF的面积为4,△ABC的周长为9,则△DEF的周长与△ABC的面积分别是〔A.,16 B.9,4C.,8 D.,165．如图1—5—2,在△ABC中,AD⊥BC于D,下列条件：〔1∠B+∠DAC=90°；〔2∠B=∠DAC；〔3；〔4AB2=BD·BC。其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有〔A．3个 B．2个 C．1个 D．0个6．如图1—5—3,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且,AE=BE,则有〔A.△AED∽△BEDB．△AED∽△CBD C.△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD7．如图1—5—4,PQ//RS//AC,RS=6,PQ=9,,则AB等于〔A. B. C. D.58．如图1—5—5,平行四边形ABCD中,O1、O2、O3是BD的四等分点,连接AO1,并延长交BC于E,连接EO2,并延长交AD于F,则等于〔A．：1 B．3：1 C．3：2 D.7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形,那么这个三角形必是〔A．等腰三角形B.任意三角形C．直角三角形D．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC和△A'B'C'中,AB：AC=A'B'：A'C',∠B=∠B',则这两个三角形〔A．相似,但不全等 B．全等C．一定相似 D．无法判断是否相似11．如图1—6—1,正方形ABCD中,E是AB上的任一点,作EF⊥BD于F,则为〔 A． B． C． D．12．如图1—6—2,把△ABC沿边AB平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分〔图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半,若,则此三角形移动的距离AA'是〔A． B． C．1 D13．如图1—6—3,在四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=,AD=2,则四边形ABCD的面积是〔A． B． C．4 D．614．如图1—6—4,平行四边形ABCD中,G是BC延长线上一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有〔A．3对 B．4对 C．5对 D．6对15．在直角三角形中,斜边上的高为6cm,且把斜边分成3：2两段,则斜边上的中线的长为〔A.cm B．cm C．cm D．cm16．AD为Rt△ABC斜边BC上的高,作DE⊥AC于E,,则=〔A． B． C． D．17．如图1—6—5,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,已知AB=m,BC=n,求CD的长。甲同学求得CD=m－n,乙同学求得,下列判断正确的是〔 A．甲、乙都正确 B．甲正确、乙不正确 C．甲不正确、乙正确 D．甲、乙都不正确18．如图1—6—6,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3。如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有〔A．1个 B．2个 C.3个 D．4个二、填空题〔每小题4分,共16分20．如图1—5—6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=3.6,则BC=_______________。21．等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则此三角形的面积是____________________。22．在△ABC中,BD,CE分别为AC、AB边上的中线,M、N分别是BD,CE的中点,则MN：BC=_______________________。23．在△ABC中,DE//BC,D、E分别在AB、AC边上,若AD=1,DB=2,那么=_______________________。24．平行于△ABC的边AB的直线交CA于E,交CB于F,若直线EF把△ABC分成面积相等的两部分,则CE：CA=__________________。25．Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,该图中共有x个三角形与△ABC相似,则x=________________________。26．在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16,则CD=_______________________。三、计算题〔本大题共86分27．如图1—5—7,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于P点,过P作PQ//BC交AC于点Q。证明PQ=PB。28．如图1—5—8,已知DE//AB,EF//BC。求证：△DEF∽△ABC。29．在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,S2△BCD=S△ABC·S△ADC。求证：BD=AC。30．如图1—5—9,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,在AD上取一点F,使,连接FE交CB的延长线于H,交AC于G,求证。34．如图1—5—10,已知AD是△ABC的中线,过△ABC的顶点C任作一直线分别交AB、AD于点F和点E,证明：AE·FB=2AF·ED。32．如图1—5—11,在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c。点P是AB上一个动点〔P与A、B不重合。连接PC,过P作PQ//AC交BC于Q点。33．如图1—6—7,在△ABC中,BD是AC边上的中线,BE=AB,且AE与BD交于F点,求证：。34．如图1—6—8,∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,找出图中两个相似的三角形,并给出证明。35．如图1—6—9,AD、BE是△ABC的高,DF⊥AB于F,DF交BE于G,FD的延长线交AC的延长线于H,求证DF2=FG·FH。36．如图1—6—10,AP是△ABC的高,点D、G分别在AB、AC上,点E、F在BC上,四边形DEFG是矩形,AP=h,BC=a,〔1设DG=x,S矩形DEFG=y,试用a、h、x表示y；〔2按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形,使它们的面积和等于△ABC的面积？选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试[试题答案]一、选择题〔每小题6分,共60分1.A 2.D 3.B4.A 解析：如图D—1—24所示,∵D、E、F分别为△ABC三边中点∴,∴ 且∴∴ 又∴ 故∴选A5.A解析：验证法：〔1不能判定△ABC为直角三角形∵∠B+∠DAC=90°,而∠B+∠DAB=90°,∴∠BAD=∠DAC同理∠B=∠C,不能判定∠BAD+∠DAC等于90°；〔2中∠B=∠DAC,∠C为公共角,∴△ABC∽△DAC。∵△DAC为直角三角形,∴△ABC为直角三角形；在〔3中,可得△ACD∽△BAD,∴∠BAD=∠C,∠B=∠DAC,∴∠BAD+∠DAC=90°；〔4中AB2=BD·BC,即,∠B为公共角,∴△ABC∽△DBA,即△ABC为直角三角形。∴正确命题有3个选A。6.B解析：直接法。注意到∠A=∠C=60°可设AD=a,则AC=3a,而AB=AC=BC=3a所以AE=BE=,所以。又,所以,∠A=∠C=60°,故△AED∽△CBD,选B。7.A8.B9.D 10.D 11.A 12.C13.C解析：由∠B=∠D=90°,于是设想构造直角三角形,延长BA与CD,它们的延长线交于E,则得到Rt△BCE和Rt△ADE由题目条件知,△ADE为等腰直角三角形,∴DE=AD=2,∴S△ADE=×2×2=2.又可证Rt△EBC∽Rt△EDA,选C14.D解析：由AB//CD,可得△CGF∽△BGA,△ABE∽△FDE又由AD//BC,可得△CGF∽△DAF,△AED∽△GEB还可得△DAF∽△BGA,△ABD∽△CDB,故共有6对。15.A 16.A 17.A18.C解析：直接法。假设有一点P,连接PD、PC设AP=x,则PB=7－x图D—1—26〔1若△PAD∽△PBC,则,即得符合条件。 〔2若△PAD∽△CBP,即,解得也符合条件故满足条件的点P有3个。二、填空题〔每小题4分,16分19.解析：设三边长a－d,a,a+d〔d>0,则〔a+d2=a2+〔a－d2,∴a=4d．∴三边之比为3：4：5．20.8 21.48 22.1：423.4 24.25.2解析：△ACD∽△ABC,△CBD∽△ABC26.4解析：由△BAC∽△ADC可知三、解答题〔本大题共74分27.证明：∵PQ//BC,BC//A