锐角三角函数的难题汇编及答案

锐角三角函数的难题汇编及答案一、选择题1．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A． B． C．若AB=4，则 D．【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2；利用正弦的定义得sin∠CBE=．【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=2DE，

∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；

∵AB=2DE，

∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，

CH=CE=1，EH=CH=，在Rt△BEH中，BE=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．2．如图，点从点出发沿方向运动，点从点出发沿方向运动，同时出发且速度相同，（长度不变，在上方，在左边），当点到达点时，点停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．【详解】解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB∴S阴影=S△GDE＋S△EGF=DE·GN＋GF·EM=DE·（x·sinB）＋DE·[（AB－x）·sinB]=DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]=DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都为定值∴S阴影也为定值故选B．【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2＋ B．2 C．3＋ D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，故选A.4．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．【详解】解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝，所以sin∠A＝0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．如图，已知圆的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】连接，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵多边形是正六边形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴该圆的内接正三角形的面积，故选：D．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键．7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=，故选A8．如图，是一张顶角是的三角形纸片，现将折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，∵AB=AC，AH⊥BC，

BH=BC=3，∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=30°，

∴AB==2，由翻折变换的性质可知，DB=DA=，∴DE=BD•tan30°=1，

故选：A．【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．如图，是的弦，直径交于点，若，，则的长为()A． B．4 C．6 D．【答案】D【解析】【分析】连接．证明是等边三角形即可解决问题．【详解】如图，连接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，故选D．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣的图象上，OA'交反比例函数y=的图象于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）A．4 B． C．8 D．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），∵点B'在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣asinα=﹣，得a2sinαcosα=2，又∵点C在反比例函数y=的图象上，∴2acosα=，得k=4a2sinαcosα=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．【详解】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，∵沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，∴，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM==11.6，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.7，∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.13．如图，等边边长为，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①形状不变；②的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；③四边形的面积始终不变；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC，利用SAS证出△ODB≌△OEC，从而得出△ODE是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O作OH⊥DE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得S△ODE=OE2，从而得出OE最小时，S△ODE最小，根据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=S△OBC=即可判断②和③；求出的周长=a＋DE，求出DE的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB、OC∵是等边三角形，点是的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ABC和∠ACB∴∠OBA=∠OBC=∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=∠ACB=30°∴∠OBA=∠OCB，∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=120°∵∴∠BOC∴∠FOG－∠BOE=∠BOC－∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB和△OEC中∴△ODB≌△OEC∴OD=OE∴△ODE是顶角为120°的等腰三角形，∴形状不变，故①正确；过点O作OH⊥DE，则DH=EH∵△ODE是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=（180°－120°）=30°∴OH=OE·sin∠OED=OE，EH=OE·cos∠OED=OE∴DE=2EH=OE∴S△ODE=DE·OH=OE2∴OE最小时，S△ODE最小，过点O作OE′⊥BC于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE的最小值∴BE′=BC=在Rt△OBE′中OE′=BE′·tan∠OBE′=×=∴S△ODE的最小值为OE′2=∵△ODB≌△OEC∴S四边形ODBE=S△ODB＋S△OBE=S△OEC＋S△OBE=S△OBC=BC·OE′=∵=×∴S△ODE≤S四边形ODBE即的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，故②正确；∵S四边形ODBE=∴四边形的面积始终不变，故③正确；∵△ODB≌△OEC∴DB=EC∴的周长=DB＋BE＋DE=EC＋BE＋DE=BC＋DE=a＋DE∴DE最小时的周长最小∵DE=OE∴OE最小时，DE最小而OE的最小值为OE′=∴DE的最小值为×=∴的周长的最小值为a＋=，故④正确；综上：4个结论都正确，故选A．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．14．如图，在中，，则的长为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF．【详解】解：∵，∴，∵，∴点D是AB的中点，∵，，∴∠B＝30°，∴，∴DF=3，故选：D．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝AD＝x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝OE＝x．∴tan∠EDC＝＝＝．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．16．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．nmile B．60nmile C．120nmile D．nmile【答案】D【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【详解】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=60×．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．17．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC=,∴PA=tan60°×1=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠A