2021年深圳高中数学竞赛试题及答案

2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每题6分，共36分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合，，假设，那么的值为A3侧视图正视图22（第2题图）2． B． C． 3侧视图正视图22（第2题图）22．一个简单几何体的正视图、侧视图如下图，那么其俯视图不可能是①长方形；②正方形；③圆；④菱形.其中正确的选项是A．①②B．②③C．③④D．①④3．设，那么 A． B． C． D．4.平面上三条直线，若是这三条直线将平面划分为六部份，那么实数的值为A.B.C.或D.，或（第5题图）5．函数（其中）的图象如图所（第5题图）示，为了取得的图像，那么只要将的图像A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6.在棱长为1的正四面体中，记，那么不同取值的个数为（第8题图） A．6 B．5 C．3 D．2（第8题图）二、填空题7．已知，，假设，那么=.8．如图，执行右图的程序框图，输出的T=.9.已知奇函数在上单调递减，且，那么不等式的解集为．10.求值：．11．对任意实数，函数都知足等式，且，那么.12.在座标平面内，对任意非零实数，不在抛物线上但在直线上的点的坐标为.答题卡一、选择题（本大题共6小题，每题6分，共36分．）题号123456答案二、填空题7．8．9．10．11．12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤.）13.（本小题总分值12分）为预防病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(假设疫苗有效的概率小于90%，那么以为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A组B组C组疫苗有效673疫苗无效7790已知在全部样本中随机抽取1个，抽到B组的概率是.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方式在全数测试结果中抽取360个，问应在C组中抽取多少个？（3）已知,,求该疫苗不能通过测试的概率.14．（此题总分值12分）已知函数．（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）假设，求的值．15．（此题总分值13分）ACBB1A1C1FGE如图，在直三棱柱ACBB1A1C1FGE（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.16．（此题总分值13分）已知函数.当时，记的最小值为.(1)求的表达式；(2)是不是存在，使得？假设存在，求出；假设不存在，请说明理由.17．（此题总分值14分）已知圆和直线，点在圆上，过直线上一点作.（1）当点的横坐标为且时，求直线的方程；（2）求存在点使得成立的点的横坐标的取值范围.18．（此题总分值14分）在区间上，假设函数为增函数，而函数为减函数，那么称函数为区间上的“弱增”函数．已知函数．（1）判定函数在区间上是不是为“弱增”函数，并说明理由；（2）设，证明；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．2021年深圳市高中数学竞赛决赛参考答案选择题：CBADDC二、填空题：7.8．9.10.11．12.三、解答题：13.（此题总分值12分）解：（1）因为在全部样本中随机抽取1个，抽到B组的概率，因此，………………2分即.………………3分（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，………………4分现用分层抽样的方式在全数测试结果中抽取360个，那么应在C组中抽取个数为个.………………7分（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知，且,因此C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情形有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个.………………9分由于疫苗有效的概率小于90%时以为测试没有通过，因此疫苗不能通过测试时，必需有，…10分即，解得，因此事件M包括的大体事件有：（465，35）、（466，34）共2个.…11分因此，故该疫苗不能通过测试的概率为.…12分14.（本小题总分值12分）解：…1分… 2分.…4分（1）的最小正周期为；…5分又由，…6分得，…7分从而的单调增区间为．…8分（2）由得，…9分因此，．…10分又因为，因此或．…12分15.（此题总分值13分）ACBB1A1C1FACBB1A1C1FGE又，因此；…………2分又平面，平面，因此平面．…………3分（2）直三棱柱中，因为，因此平面；……………4分又，因此平面，即；……………5分又因为，因此四边形是正方形，即；……………6分又别离是的中点，因此，从而有，……………7分由，因此平面，即．……………8分（3）因为平面，因此．……………10分由于平面，因此，且．…………11分又由于，……………12分因此，即．……………13分16.（此题总分值13分）1O解：（1）1O．……………1分①当时，在时为增函数，因此在时的最小值为；……………3分②当时，；……………5分综上所述，．……………6分（2）由（1）知，当时，，因此当时，．……………7分由得：，……………8分即，……………9分整理得，……………11分解得：或.……………12分又因为，因此.即存在，使得成立.……………13分17.（此题总分值14分）解：（1）圆的方程可化为：，因此圆心（2，2），半径=.……1分由于点的横坐标为，因此点的坐标为（4，5），即.……………2分假设直线的斜率不存在，很显然直线与夹角不是，不合题意，故直线的斜率必然存在，可设直线的斜率为，那么的直线方程为，即.……………3分由于因此到直线的距离为，现在，即如此的点存在.……………4分由，得，解得.……………5分因此所求直线的方程为或.……………6分(2)当时，过点的圆的两条切线成直角，从而存在圆上的点（切点）使得.……………7分设点的坐标为，那么有，……………8分解得或.……………9分O记点为，点为，显然当点在O线段上时，过的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点使得；……11分当点在线段的延长线或反向延长线上时，过的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点使得，…………13分因此知足条件的点为线段上的点，即知足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（此题总分值14分）解：（1）由能够看出，在区间上，为增函数.………………1分 又，……………3分显然在区间上为减函数，在区间为“弱增”函数.………………4分（2）.…6分,，，，即，………………8分.