几何的五大模型

几何的五大模型、等积变换模型等底等高的两个三角形面积相等两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比3c3c如左图S1:S2=a:b⑷夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，SAABC=S△BAD反之，如果AABC △BADS=S△ 则可知直线AB平行于CD(AB//CDSAABC △BCD二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图在△ABC中，D,E分别是ABAC上的点如图•(或D在BA的延长线上，E在AC上)贝卩S: S=(ABXAC):(ADXAE)ABC AADETDA/lALB 图CO 图(2)推理过程连接BE再利用等积变换模型即可。证明：

图(1)中设：过顶点D做底边AE的高为H1;过顶点B做底边AC的高为H2△ABE中SAADESAABE=A：AB同理SAADESAABE=H1H2AD:AB=HI:H2}又因SAADE=AE*H1*1/2 "SAABC=AC*H2*1/2 得出SAADESAABC=AE*H1AC*H2所以SAADESAABC=(AB<AC):(ADXAE)图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1,过顶点B做底边AC的高为H2ADBE中,SAADESAABE=ADABSAADESAABE=H1:H2AD:AB=H1:H2又因SAADE=AE*H1*1/2SAABC=AC*H2*1/2得出SAADESAABC=AE*H1AC*H2所以SAADESAABC=(AXAC):(ADXAE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)<7①S1:S2二S4:S3或者S1xS3二S2XS4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明(1):在乂ABD中，在乂ABD中，S1:S2=D0:0B在厶DCB中，S4:S3二DOOB得到S1:S2=S4:S3或者S1xS3=S2xS4(十字相乘法)证明(2):设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)= (AO*H1*1/2+AO*H2*1/2)：( OC*H1*1/2+OC*H2*1/2)约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO:OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系“梯形蝴蝶定理”)b①S1： S3=a2:b2证明：由AOOC=DOOC=a:b*而S1：S2=DOOCS1:S2=a:b，得到S仁a/b*S2②而S2:S3二AOOCS2:S3二a:b，得到S3二S2*b/aS1S3=aS3=a12:b2③S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab证明：由上面公式转换推得③梯形S的对应份数为（a+b）2证明：由上面公式转换推得四、相似模型相似三角形性质:秒漏模型金字塔模型秒漏模型金字塔模型所谓相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质DEAFDEAFBCAGS AF2:AG2△ADEAABCA.相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它AD AE DEAFAB AC BC AGSS AF2:AG2△ADEAABC证明：SSAADESAABC=DE*AF*1/2:BC*AG*1/2们的相似比；B•相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;五、燕尾定理模型AS S =S S =BE:CEABG