专升本高数第一章练习题(带答案)

专升本高数第一章练习题第一部分：一、选择题1．下面函数与yx为同一函数的是（）A.y2B.yx2C.yelnxD.ylnexx解：ylnexxlnex，且定义域,，∴选Df2x的反函数是（）则2．已知是f的反函数，1xB.y2x12xC.y2D.y22xA.y211解:令yf2x,反解出x：xy,互换x，y位置得反函数yx，选A223．设fx在,有定义，则下列函数为奇函数的是（）A.yfxfxD.yfxfxB.yxfxfxC.yx3fx2fx2xfxyx232解：yxyx,的定义域且x3fx3∴选C,4．下列函数在内无界的是（）1A.y1x2B.yarctanxC.ysinxcosxarctanxD.yxsinxxx11x2x22sinxcosx2有界，C解:排除法：A有界，B，2故选D5．数列x有界是存在的（）limxnA必要条件nnB充分条件C充分必要条件D无关条件解：x收敛时，数列x有界（即xM），反之不成立，（如1n1有界，但不收敛，选A.nnn116．当n时，与为等价无穷小，则k=（）nnsin2k1AB1C2D-22sin211n21，k选C2limnlim解：11nnnknk二、填空题17．设fxffx的定义域为1x，则x112xx11解：∵ffx1fx111x∴ffx定义域为(,2)(2,1)(1,).8．设f(x2)x21,则f(x1)解：（1）令x2t,ftt24t5fxx24x5（2）fx1(x1)24(x1)5x26x10.9．函数ylogxlog2的反函数是44解：（1）ylog(2x)，反解出x：x42y1；（2）互换x,y位置，得反函数y42x1.4limnn1n210．n有理化3n3.解：原式limnn1n225knlim1ne10,则k11．若.nelim5(kn)e5ke10故k2.解：左式=nn3n25sin2limn12．=n5n322时，～∴原式=lim3n2526=.5n3n5解：当n三、计算题sinnnnxfsin1cosx求fx13．设2x2x.221212.故fxfxxsin2cos21sin2f解：222x2，求fgxlnx，gx的反函数gx114．设fx1x1y22x2x1x∴反解出：xyyx22xy解:（1）求g(x):y2互换x,y位置得g(x)x2(2)x2.2gxlnfgxlnx2xn2an8，求的值。a15．设lim3nan3nlim1nn2a3ananaea,ea8,故aln83ln2.nnalim3elim解：nann1122311nlimnnn116．求1k1k11k(k1)(k1)kkk1k1,2,,n解：（1）拆项，1n1111nn12231111nn111122311nenlimn1nn1e1lim（2）原式=n1＊选做题，求1222n21已知1222n2n(n1)(2n1)n31n32n3nlim6n1222n2解:n3n1n21222n2n3nn312n13且lim1222n2nn3nlimnn1(2n1)16nn33nlim1222n2limn(n1)(2n1)1n316(n1)33nn∴由夹逼定理知，原式132若对于任意的x,y，函数满足：fxyfxfy，证明fy为奇函数。f0：令解(1)求x0,y0,f02f0f00(2)令xy:f0fyfyfyfyfy为奇函数第二部分：1．下列极限正确的（）limarctanx2sinx1xsinxlimxsinx不存在C．limxsin11limxA．B．xD．xxxx1tlimxsin1xlimsint选C解：xtxt01sinx注：Alimsinx0;Blimx101sinxx1xxx102．下列极限正确的是（）11B．x1lim(1x)xeD．lime0lime0C．lim(1cosx)secxeA．xx0x0x0x11limexe0选A解：ex0注：B:,C:2,D:1limfx，limgx，则下列正确的是3．若（）xxxx00limfxgxlimfxgxA．B．xxxx001fxgxk0C．0limD．limkfxxx0xx0limkfxklimfxkk0选D解：xxxx00limf2xx2，则limx04．若（）f3xxx01B．31D．2A．3C．22tx3x2t231211lim2ft3解：limlimt0323，选Bx0f3xf2tt0t1sinx(x0)x0(x0)5．设fx且limfx存在，则a=（）xsin1a(x0)x0xA．-1B．0C．1D．2limsinxx011,limxsinaoaa1解：选C.xxx0时，fx1xa1是比x高阶无穷小，则6．当x0（）a1A．B．a0D．a1C．a为任意实数1lim2a10a1.故选Axa1x1a解：limxxx0x0x1xxlimx7．11xelimx1xlim1x1xe1解：原式x12x1x21limx18．x12limx1x111x1x12limx1解：原式2x13x2973limx9．3x11002x13x13x2238397limxlimx解：原式3x1327x2ax61xlimx110．已知存在，则=alim1x0limx2ax60160,，aa7解：x1x1limesin1arcsinx111．xx2xx0sin11,limex0limexsin10又limarcsinxlimx1，故原式=1.x0x11解：x2x2x0x0x0xx2ln1x20且limsinnx0,则正整数=nlim12．若1cosxsinnxx0x0x2ln1xlimx2x2n40,limxnn20n2,n4,故n3.2lim解：sinnxxnx0x2x0x02sin3x2xlim13．求xsin2x3xsin3x1sin2x1limx0sin3x1,lim0lim0sin2x1,lim0解：xxxxxxx022原式0331tanx1sinxx1cosxlimx014．求解：原式有理化limlimtanx(1cosx)1x0x(1cosx)(1tanx1sinx)(1cos)2limtanx11tanxsinxxxx0limx1x22x0x2x2limsincos1x15．求xxx1解：t，当x时，t0令xlimcost1sin2te211e原式limcostsin2tlim1cost1sin2tt0tttt0t0lncos2xlim16．求x0lncos3x1等价limcos2x1等价2x2ln1cos2x1变形lim492limx0123x2解：原式ln1cos3x1x0cos3x1x0lim2sin2xcos3x4cos2x3sin3x9注:原式x02xxexelimx017．求xsinx0000limexeexexsinxexexcosx20limx00limx02x解：原式1cosxx01ea,x0x且limfx存在，求18．设fxa的值。1cosx,x0x0xlime1xaea0aa解：x01xx2lim1cosxlim2222limxxxx0x0x02a2113lnxlimsin3x19．x03cosxlim0换底法0sin3xxln(sin3x)x013lnxe033xx1limelimxelimx03xe3e解：原式x3sinx01limxx2ln1x20．求x0111tttln1t0lim1ln1t1通分x解：原式limt0limt2t22ttt0t0lim1t11t121limt02tt1t0lim3x9x12x121．求2x9x9x22x1有理化2x12limlimx3x解：原式x3x9x22x19x21x2212limx392133x1.3xx2xmx812limx2m,n22．已知x2nx2n5，求常数的值。2limx2nx2n0x2解：（1）∵原极限存在且2limxmx80,42m802m12,m6，2x20x6x80lim2x646212x2n42n2n52limx2（2）x2nx2n2x2102nn12答m6,n12第三部分：1x1．若fx为是连续函数，且f01,f10，则limfxsin()xA．-1B．0C．1D．不存在sin1f连续解：原式1xf10，选Bflimxsinflimx1xxxmfxln1kx在点x0处连续，应给f0补充定义的数值是()2．要使xkA．kmB．lnkmC．D．ekmmlimfxlnlim(1kx)lnelimkxlnekmkmmm解：xx0xx0x0f0km选A3．若limf(x)A，则下列正确的是（）xalimfxAD．limf(x)AC．limfxAB．limfxAA．xaxaxaxa连续u解：limfxlimfxA选Bxaxafx,x000,00,则x是Fx的()004．设Fxx且fx在x处可导，fff0,x0A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．连续点fxf0limFxlimf0,解：x0x0x0x0是Fx的第一类可去间断点。选Af0f0F0f0limF0，故x0xsin1fx0x,x0在x处()5．0,x0A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导但不连续limfxlimxsin10f00，且解：xx0x0xsin10fx不存在，在x0不可导选Cfxf0limx0xx0连续，又在x06．设fx1,1xx2在x1a,b可导，则为（）axb,x1A．a2,b2B．a0,b2C．a2,b0D．a1,b1x1连续，limx12,limaxbab解：（1）fx在2x1x1故ab21axb21ax1ax1x21x1limf1lim2,f1lim（2）x1x1x1x1a2b0，代入得，选1Cf(x)为连续奇函数，则f0=7．设解：（1）fx为奇函数，fxfxf0f00f0连续故（2）limfxlimfxfx，又在x0x0x0fx为可导的偶函数，则f08．若解：（1）fx为偶函数，fxfx(2)fx可导，fxfx故f00即f0f02f009．设y6xk是曲线y3x26x13的一条切线，则ky6,y6x6,6x66,x2解：（1）（2）62k346213,12k121213,故k1xf0，则=10．若yf(x)满足：f(x)f0xx，且0limx0xfxf0101xxf0limx0limx0解：x0xlimf(x)1x2411．设f(x)在x2连续，且f(2)=4，则x2x24解：原式=f(2)limx244limx2x24111x244x2sinxx1f(x)12．的间断点个数为x5xxx0,xx1x1x10，x0,x1,x1为间断点，解：令52故fx有三个间断点1sin2xe2ax,x0,a在上连续，求的值f(x)13．已知xa,x0x0连续解：fx在sin2xe2axlime2ax122af0a,22aax1limsin2xx0且，故limfxlima2.xxx0x0x01ex,x0f(x)0,0x1在xx0,1连续性14．讨论lnxx1,x1f00，且1x0处，lime0,lim00解：（1）在xx0x0fxx0处连续在ln1t（2）在x1处，lim00,limlnxx1tlim1x1tx1x1x0fxx1不连续在115．求f(x)lnx的间断点，并指出间断点类型解：（1）间断点：x0,x1,x11是fx的第一类间断点。x0处：0x0limx0（2）在lnx1为fx的