初中数学一元一次不等式及不等式组

一元一次不等式及不等式组中考要求内容基本要求略高要求较高要求不等式（组）能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）.不等式的性质理解不等式的基本性质.会利用不等式的性质比较两个实数的大小.解一元一次不等式（组）了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示（确定）其解集.会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解.能根据具体问题中的数量关系列出一■元一■次不等式解决简单问题.例题精讲板块一、一元一次不等式及不等式组的解法【例1】求不等式1+3x土D〉1_xz5的解集.8 2【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解.去分母，得8x+3（x+1）>8_4（x_5），去括号，得8x+3x+3>8—4x+20移项，得8x+3x+4x>8+20_3,合并同类项，得15x>25系数化为1,得x>53【答案】x>53【巩固】当x为何值时，代数式2x+1_1的值不小于亘叁的值？3 4【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解.― 2x+1 3+5x依题意，得三七1-1三—x3417・，.4（2x+1）-12三3（3+5x）,8x-15x》9+12-4,-7x》17Z.xW——7所以，当xW-—时，代数式处里-1的值不小于"x的值.73 417【答案】xW-1774x5【例2】求不等式”一^<1的正整数解.12【解析】对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研1究限制条件，便可达到目的.去分母， 得4%-5<12移项，合并，得4%<17一.. 17系数化为1,得％<174・•求原不等式正整数解.•・%=1,2,3,4为原不等式正整解.【答案】％=1,2,3,4【巩固】不等式％+3〉1%的负整数解是 .2【答案】-5、-4、-3、-2、-113%-1〉一4【例3】解不等式组f%1〉4，并把它的解集表示在数轴上.[2%<%+2_.1-%13%—1〉-4 1%〉-1【解析】( n( n-1<%<2. -1―1-b-1―1—g―L[2%<%+2 [%<2 -3-2-10123•・原不等式组的解集是-1<%<2.在数轴上表示为：【答案】-1<%<2TOC\o"1-5"\h\z2丫一3 1【巩固】解不等式：2%—3<2<1%+14212%-3.4~ 11【解析】原不等式相当于：44 ，解得2<%<11.2<1%+1 2[2【答案】2<%<-21< 1,1%—1+ 〉4+【巩固】解不等式组：4 %-10 %-10；%+3〉7+%[ 2【解析】原方程组的解为1%〉5且%*10，综合得%〉8且%丰10;I%〉8【答案】%〉8且%+10【巩固】如果2m、m、1-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求m的取值范围.Im<1-m一一【解析】根据题意可得：2m<m<1-m，即4 ，解得m<0.I2m<m【答案】m<0

【例4】已知方程组储y=2—3m的解满足%>0，y〉0，试求m的取值范围【答案】解方程组得1+3m%=【例4】已知方程组储y=2—3m的解满足%>0，y〉0，试求m的取值范围【答案】解方程组得1+3m%=，V%>0，y>0AJ1—3my=亍1+3mC >02a>02，角军得m>—3，m的取值范围是m>—3【巩固】求使方程组［%+y=m+2的解，％、y都是正数的mI4%+5y=6m+3的取值范围?【答案】解方程组得j%=8一m•V%、y都是正数，，［8一m>0Iy=2m—6 I2m—6>0，解得3<m<8【巩固】在方程组,2%+y=1—m中，若未知数％、y满足%+y>0I%+2y=2则m的取值范围为【答案】①+②得，3(%+y)=3—m，二％+y=3—m，一二一>0，解得m<3【例5】已知%、y、z为三个非负有理数，且满足3%+2y+z=5,%+y—z=2,若S=2%+y—z，贝US【解析】【答案】的最大值和最小值之和是多少?z中的一个字母看做常数，解方程，然后将结果代入S2%+y一z进行消元方法一、由尸%+2y+z=5解得"%=1—3z，I%+y—z=2 Iy=4z+1为三个非负有理数，.』4二;二0，解得0<z<1代入S=2%+y一z得，S=3—3z・•・2<S<3，・•・S的最大值与最小值之和为5方法二、根据题意得V%、y、zV%、y、z都是非负数，A—>03">0[3y= ，3S>215・•・<!S<— ・•・2<S<3,・•・S的最大值与最小值之和为54S<3板块二、解含有参数的不等式【例6】解关于％的不等式2mx+3<3x+n【答案】由原不等式，得：(2m-3)xVn-33 n-3(1)当2m-3>0，即m>3时，其解集为x<-n-32 2m-3(2)当2m-3<0，即m<3时，其解集为x>-n二3-2 2m-33(3)当2m-3=0，即m=-时，2若n-3>0，即n>3，解集为所有数；若n-3<0，即n<3,原不等式无解.【巩固】解关于x的不等式：a(x-a)>b(x-b)【答案】由原不等式得：(a-b)x>(a-b)(a+b)当a-b>0，即得不等式解集为x>a+b;当a-b=0，即得0>0，不等式无解；当a-b<0，即得不等式解集为x<a+b.【例7】已知关于x的不等式3(x-a)<4(x-1)+9的解集是x>1,求a的值。【解析】解这个不等式：3x-3a<4x-4+9,3x-4x<3a-4+9,x>-3a-5•・•解集是x>1,?.-3a-5=1,解得a=-2。【答案】a=-2【例8】已知x=3是关于x的不等式3x-竺9>”的解，求a的取值范围。23【解析】将x=3代入不等式，得9-3a+2>2。解这个不等式，得a<4。2【答案】a<4【例9】已知关于x的不等式(4a-3b)x>2b-a的解集为x<4，求ax>b的解集.2b-a4 5【解析】根据题意可得：4a-3b<0且b=-,可得6b=5a,a<0,ax>b的解集为x<5.4a-3b9 6【答案】x<56【巩固】已知关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解集是x<岑，解不等式3ax+5b>0.

TOC\o"1-5"\h\z【解析】•「Qa—b)%>5b-a的解集为l<—,可得2a—b<0,且％<也二a，二也二a=10,解得b=3a,7 2a-b 2a-b 7 5一 3 7a 5b••2a-b=2a——a=——<0，即a<0.••不等式3ax+5b>0的解集为％< =-1.5 5 3a【答案】]<-1①的解集。②x-a<0①的解集。②【例10】求关于x的不等式组L-1x+2【答案】解①得x<a，由②得x>1。应分情况讨论：⑴当aW1时，原不等式组无解。(2)当a>1时，原不等式组的解集为1<x<a。xax+2_ _.、》 ,. ..... > 【巩固】解关于x的不等式组：，32 62(x+1)>11-x【答案】原不等式组可化为〔x>3a+2当3a+2>3，即a>1时，不等式组的解集为x>3a+2;3当3a+2<3，即a<1时，不等式组的解集为x>3.3... (x+9<5x+1.【例11】不等式组f95x的解集是x>2，求m的取值范围.[x>m+1[x>2【解析】解原不等式组可得《 ，又其解集为x>2，所以m+1<2，即m<1.[x>m+1【答案】m<1[x+9<5x+1【巩固】已知不等式组「+95x+1的解集是x>2，求m的取值范围.[x>m+1【解析】先将m看作常数，分别解不等式的解，再根据不等式组的解集求出m的取值范围.由不等式x+9<5x+1得：x>2.[x+9<5x+1..又因为不等式组I 的解集是x>2，所以：x>2与x>m+1的公共部分是：x>2，所[x>m+1以：m+1<2.即：m<1所以：m的取值范围是m<1.【答案】m<1x<2【巩固】已知关于x的不等式组L>-1的解集为-1<x<2，求a取值范围.【答案】a<-1【例12】试确定c的范围，使不等式组x >3-(2x+5)《 二1.5c—(x+1)>—(c-x)+0.5(2x—1)[ 2 2⑴只有一个整数解；⑵没有整数解.【解析】⑴解不等式①得x>1.7,解不等式②得x<c.(1)要使不等式组只有一个整数解，则不等式的解集为-1,7<x<c，且这个惟一的整数必为-1,故-1<cW0.⑵要使不等式组没有整数解，则cW-1.【答案】⑴-1<cW0;⑵cW-1板块三、不等式及不等式组的应用【例13】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？【解析】设有x位同学参加照像，根据题意得：20+1.5(x-2)W4x，解得x》6.8,所以至少应有7名同学参加照像.【答案】7【例14】商业大厦购进某种商品1000件，售价定为进价的125%.现计划节日期间按原售价让利10%,至多售出100件商品；而在销售淡季按原定价的60%大甩卖.为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？【解析】设进价为a元，按原定价售出x件，节日让利售出j件(0<y<100).依题意有a•x•125%+a-y•125%-(1-10%)+(1000-x-y)-a•125%-60%>1000a,

整理得4x+3y>2000，由于0<y<100，所以x>425，因此按原定价至少销售426件.【答案】426件【例15】某高速公路收费站有m(m>0)辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。若同时开放两个收费窗口，只需8min就可以将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过，若要求在3min内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？【答案】解：设一个收费窗口每分钟可通过x辆汽车，车流量为y辆/min，需开放n个收费窗口才能在3min内将排队等候及后来到的汽车全部通过，根据题意得m+20y=20x①vm+8y=2x8x②，由①②得\X3y，代入③得n>—，.二最小正整数n=5，即至少需要开… Im=40y 9m+3y<n-3x③ 1

放5个收费窗口【例16】为加强公民的节水意识，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，如果某单元共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的最多有多少户？【解析】若月用水量恰为7立方米，则应交费7x(1+0.2)=8.4(元)，因为三黑〉8.4，即每户平均用水超过7立方米，所以设有％户用水未超过7立方米，要使%取值最大，则需另外(50-%)户用水量尽可能大，故若这％户每户用水均为7立方米及另外(50-%)户每户用水为10立方米，则总水费应不少于541.6，2即：8.4%+(50-%)x[8.4+(10-7)x(1.5+0.4)]>541,6，解得:%<28-，所以这个月用水未超过73立方米的最多有28户.【答案】28户【例17】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小警察”活动，星期天选派部分学生到交通路口执勤，协助交警维护交通秩序。若每个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人，求这个中学共选派执勤学生多少人，在几个交通路口安排执勤【答案】设选派执勤学生%人，在J个交通路口执勤，则根据题意得解得19.5解得19.5<y<20.5。，整数y=20，%=158，，学校选派了158名学生在20个路口安排执勤【例18】2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张，B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A,B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票%张，请你解答下列问题：(1)共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱？【解析】(1)由题意：600%+120(15-%)<5000%三—(15-%)[2一― 20解得：5W%W203:%为整数，・•・%=5,6・・・共两种购票方案：7

方案一：A种船票5张，B种船票10张;方案二：A种船票6张，B种船票9张（2）因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少.・•.第一种方案省钱，为5x600+120x10=4200（元）【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张;方案二：A种船票6张，B种船票9张（2）第一种方案省钱【例19】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配AB两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来.⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解析】⑴设搭配A种造型％个，贝B种造型为（50-%）个，依题鼠得：［4；依题鼠得：［4；%:蓝-；；:鬻，解得:%<33%>31・•・31<%<33・二％是整数，・•・%可取31,32,33,・・・可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.⑵）（法1）：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本.所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33x800+17x960=42720（元）（法2）：方案①需成本：31x800+19x960=43040（元）方案②需成本：32x800+18x960=42880（元）方案③需成本：33x800+17x960=42720（元）【答案】（1）可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.（2）方案③成本最低，最低成本为：42720（元）【例20】某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种‘购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需购买门票，每次2元；C类门票每张40元，持票者进入该园林时，需在购买门票，每次3元

⑴如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式⑵求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算【答案】⑴不可能选A类年票若选B类年票，80二60=10次2若选C类年票，则80-40=131次3 3若不购买年票，则—=8次10%>30一― 2解得《%>2623%>12所以计划用%>30一― 2解得《%>2623%>12‘60+2%>120贝UM0+3%>120，J0%>120所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算课堂检测.讨论a%<b的解集.、 ，一八》 b【答案】当a>0时，解集为%<—;ab当a<0时，解集为%>—;a当a=0时若b>0，则解集为所有数；若b<0，不等式无解..已知％、j同时满足三个条件：①3%-2y=4-p=②4%-3y=2+p=③%>丁则p的取值范围是 【答案】②-①得%-y=2p-2>0，,p>1.已知非负数a、b、c满足条件：3a+2b+c=4,2a+b+3c=5，设S=5a+4b+7c的最小值为m，最大值为n，求m-n的值【答案】124.开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用4.开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买