勾股定理及全等三角形

.word.zl-.word.zl-,,D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE1、已知：如图，ZXABC中，/C=90，DF.求证：AE2+BF2=EF2.2、如图，4ACB和△口6口都是等腰直角三角形，/ACB=/ECD=90°,D为AB边上一点,求证：（1）4ACE白ABCD;（2）AD2+DB2=DE2.dj

dj,AD与3、如图，4人86中，AB=BC,BEXAC于点E,AD±BC于点,AD与BE交于点尸，连接CF.（1）求证：BF=2AE;（2）若CD=2,求AD的长.4、如图①，已知点D在AB上，△ABC和AADE都是等腰直角三角形，/ABC=/ADE=90°,且乂为EC的中点.（1）求证：4EMD为等腰直角三角形.（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N,构造△CMN白AEMD,于是ED==DA,即可以证明AEND也是等腰直角三角形，且8乂是等腰三角形底边的中线就可以了.）请你完成证明过程：（2）将△人口已绕点人再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），4BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.1、证明：延长口口到6,使口6二口口，连接口尸、FG、66,如图所示：:DF=DF,/EDF二/FDG=90°,DG=DE/.△EDF^^GDF(SAS),：EF=FG又「D为斜边BC中点」.BD=DC又「/BDF=/CDG,DE=DG.1.△BDE^ACDG(SAS)/.BE=CG,ZB=ZBCG.-.AB//CG/.ZGCA=180°-ZA=180°-90°=90°在Rt^FCG中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2・•.EF2=fg2=be2+cf2证明：过点人作人乂//8C交FD延长线于点乂，连接EM「「AM//BC,：/MAE=/ACB=90°,ZMAD=ZB.vAD=BD,ZADM=ZBDF,AAADM^ABDF.aAM=BF,MD=DF.又DE，DF,：EF=EM.：AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF22、证明：(1).••/ACB=/ECD,，/ACD+/BCD=/ACD+/ACE,即/BCD、ZACE,VBC=AC,DC=EC,，4ACEW4BCD.(2)：4ACB是等腰直角三角形，，/B=/BAC=45度..・.△ACEW^BCD,，/B=/CAE=45°ZDAE=zCAE+zBAC=45°+45°=90°, AD2+AE2=DE2.由（1）知AE=DB,/.AD2+DB2=DE2.3、解答：（1）证明：■.ADXBG,/BAD=45°,「.AABD是等腰直角三角形，.•.AD=BD,：BE，AC,AD，BC,「./CAD+/ACD=90°,/CBE+/ACD=90°,「./CAD=/CBE,在^ADC和ABDF中，/CAD=/CBEAD=BD/ADC=/BDF=90°,/.AADC^ABDF（ASA）,「.BF=AC,'/AB=BC,BE±AC,.\AC=2AE,Z.BF=2AE;（2）解：'/△ADC^ABDF,ADF=CD=2，在RtACDF中，CF=DF2+CD222+22=2,VBE±AC,AE=EC,.,.AF=CF=2,「.AD=AF+DF=2+24、解答：（1）证明：延长DM交BC于N,，//EDA=/ABC=90°,「.DE//BC,.,./DEM=/MCB,在△EMD和ACMN中/DEM=/NCMEM=CM/EMD=/NMC,AAEMD^ACMN,A=DE=DA,MN=MD,VBA=BC,「.BD=BN'•△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，」.BM，DM,/DBM=12/DBN=45°=/BDM,「.^BMD为等腰直角三角形.(2)解：4BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，证明：作//DE交DM的延长线于N,连接BN,「./E=/M=45°,，「/DME=/NMC,EM=CM,AAEMD^ACMN(ASA),.,.二DE=DA,MN=MD,在4DBA和4NBC中DA=/DAB=/B,BA=BC.△DBA组△NBC,「./DBA=/NB