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文档简介

严格满足自相似条件的图形，我们称之为数字分形，也叫做有规分形。在地球科学和物理学中存在的分形，它们的自相似是近似的或统计意义上的，我们称之为统计分形，或无规分形。如果我们将一个自相似图形缩小倍，原来的图形包括了a个缩小的图形，从自相似角度定义的分维D可以由下式得出，1a=-SD数盒子法(Box-Countingmethod)这是一种常用的分形图形分维的实用方法。取边长为r的小盒子(可以理解为拓扑维d的小盒子)，把分形覆盖起来。由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，所以有些盒子是空的，有些小盒子覆盖了分形的一部分。数数多少小盒子不是空的，所得的非空盒子数记为N(r)。然后缩小盒子的尺寸r，所得N(r)自然要增大。当rT0时，得到数盒子法定义的维数：-lim-limrtOlgN(r)

lgr在实际应用中只能取有限的r。通常做法是求一系列的r和n(r)，然后由双对数坐标中lgN~lgr的直线的斜率求D0，这里要强调的是，式()必须要求存在标度关系N(r)~r-D如果不存在这种标度关系，就根本不能使用分维的概念。这样求得的D0叫做容量维。信息维数盒子方法式()的主要缺点是没有反映几何对象的不均匀性，含有一个点和许多点的盒子在式()中具有同样的权重。因此，我们将修改分维的定义，并相应修改数盒子的方法。具体做法是把小盒子编号，如果第i个盒子落入Ni(r)个点，我们就知道分形中的点落入第i个盒子的概率

P(r)二N(r)/N(r)ii这里N(r)是总的点数。然后利用信息量的公式I(r)=-呛P(r)logP(r)i 2ii=1定义信息维D=-lim1 rTOlog2r不难看出，当各个盒子具有同等权重，即Pi(r)=1/N(r)时，信息量/(r)=log2N(r),这时信息维D1等于容量维D0。 1关联维若在空间中某一集合由N个点组成,每个点的空间坐标是Xj=(i=1,2,…，N)。凡空间距离小于r的点对，称为有关联的点对。数一下有多少对关联点对，它在一切可能的N2配对中所占的比例称为关联积分：-yI)-yI)iiC(r)= °(r-1xN2i丰j式中台阶函数°(r)”0当r太大时，任何两点都发生关联，C(r)=l，取对数后为0。如果取得合适，而原始数据客观地反映出C(r)~rD的标度性质，那么可以定义关联维D2D=hm也)2 rT0lgr分形大体上可以分成两类：一类是严格满足自相似条件的分形，如Cantor集合，Koch曲线等，分形的自相似性所要求的整体和局部完全(从形状、数量等所有的角度来看都是)相似的条件得到严格的满足；另一类是自然界中遇到的大多数图形，如连绵起伏的山脉轮廓线曲折蜿蜒的江河川流，频繁演变的海岸线，变幻无常的布朗微粒运动轨迹，以及材料断裂后展示的奇妙的断口图

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