2010年高考数学北京卷文科试题及答案

的概率是A.454.若a,a丰的概率是A.454.若a,a丰b,则函数f(x)=^x;a+b^^^-^bb-a)是A「一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数。二次函数且是偶函数口.二次函数但不是偶函数5.一个长方体去掉一个小长方体,所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为正（主）视图侧（左）视图绝密★使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第I卷和第n卷两部分，第I卷i至2页，第n卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．.集合P=｛X£Z|0&X<3｝,M=ixGZIx2w9｝,贝UPnM=A.{l,2}B.{0, 1,2}C. {l, 2, 3} DA.{l,2}.在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i.从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为b,则b〉a35b是非零向量，且a±b,A．A．B．C．DC．.给定函数①y=x:,y=log（%+1）,③y=|x-1|,④y=2*+1,其中在区间（0,1）上单12调递减的函数的序号是A.①② B.②③ C.③④ D.①④.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为I,顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为2sina-2cosa+2sina-v3cosa+33sina-<'3cosa+12sina-cosa+1.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2,动点E,F在棱AB上，1111 11点Q在棱CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1,DP=x,AE=y1（x,y大于零），则三棱锥P-EFQ的体积A.与x,y都有关.与x,y都无关C.与x有关，与y无关D.与y有关，与x无关第n卷(选择题共Iio第n卷(选择题共Iio分)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．.已知函数y=[l0g2*'x三2右图表示的是给定x的值，求其对应的函数[2-x,x<2值y的程序框图.①处应填写；②处应填写..在△ABC中，若b=1,c=33,/C=型，则a=3.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则m-..从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图中数据可知a-.若要从身高在1120,130),1130,140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在1140,150]内的学生中选取的人数应为 ..已知双曲线x2-兰-1的离心率为2,焦点与椭圆x2+匕-1的焦点相同，那么双曲线a2b2 259的焦点坐标为；渐近线方程为..如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y-f(x),则函数f(x)的最小正周期为;y-f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC沿x轴负方向滚动.

三、解答题．本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题共13分)已知函数f(%)=2cos2%+sin2%(I)求fn-的值；13)(II)求f(%)的最大值和最小值.16．(本小题共13分)已知｛a｝为等差数列，且a=-6,a=0.n 36(I)求｛a｝的通项公式；n(II)若等比数列(II)若等比数列｛b｝满足b=-8,

n1b=a+a+a,求｛b｝的前n项和公式.2123 n17．(本小题共14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF〃AC,AB=22,CE=EF=1

.(I)求证：AF〃平面BDE；(I)求证：CFI平面BDE；

.(本小题共13分)设函数f(%)=3%3+bx2+ex+d(a>0)，且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(I)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(II)若f(x)在(-8,+8)内无极值点，求a的取值范围..(本小题共14分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是J.；2,0),(a,0),离心率是"6，直线y=t与3椭圆C交于不同的两点M,N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(I)求椭圆C的方程；(II)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；20.(III)设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y20.(本小题共13分)已知集合S=|x|X=(x,x, ,x),xg{。，11i=1,2, ,n}(n三2).TOC\o"1-5"\h\zn 1 2 n i对于A=(a,a, ,a),B=(b,b, ,b)gS，定义A与B的差为12 n ・11、2 nn .一A-B=(a-bI，|a-b\, ,|a-b|J；1 1 2'2 nn…A与B之间的距离为d(A,B)=X|a-b|.ii/ i=1(I)当n=5时，设A=(0,1,0,0,1),B=(1,1,1,0,0)，求A-B,d(A,B)；(I)证明：VA,B,CeS，有A-BeS,且d(A-C,B-C)=d(A,B)；n n

（III）证明：VA,B,CeS，d（A,B）,d（A,C）,d（B,C）三个数中至少有一个是n偶数.绝密★使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.BB2.CA3.D1.BB2.CA3.DC4.5.C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.x<2y=1ogx10.111.L-312.0.030313.(+4,0) \'3x±j=014.4兀+1三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（共13分）c2c2兀.71=2cos 1-sin2—=-1+r=3cos2x—【因为COSXG[-1,1],所以，当cos%=±1时，/（%）取最大值2；当oos16.（共13分）解：（I）设等差数列L｝的公差为d.n因为〃=—6,a=0,3 6x=0时,/（%）取最小值-1.所以u+2d——69ia+5d=0.i解得a=—10,<7=2.所以J=-l0+(n-l)-2=2n-12.(II)设等由数列%｝的公比为q.n因次]b-a+fl+ci——24,b——8,2 12 3所以—8q=—24,即q=3.所以独｝的前〃项和公式为Sn i17.（共13分）证明：（I）设AC与交于点G.因为石尸〃AG,<EF=1AG=-AC=1.2所以四边形AGEF为平行四边形.所以A尸〃£G.因为£Gu平面5DE, ,

所以AF〃平面BDE.(II)连结FG因为EF//CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF1EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD1AC.又因为平面ACEF1平面ABCD,且平面ACEFp平面ABCD,所以BD1平面ACEF.所以CF1BD.又BDnEG=G,所以CF1平面BDE..由f(%)=3%3+bx2+cx+d得f，(x)=ax2+2bx+c.因为f，(x)-9x=ax2+2bx+c一9x=0的两个根分别为1,4,所以a+2b+c-9=0所以16a+8b+c-36=0(I)当(I)当a=3时，由⑴式得2b+c-6=0,

8b+c+12=0.解得b=-3,c=12.又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0.故f(x)=x3-3x2+12x.等价于(II)由于a>0，所以“f(x)=3x3+bx2+cx+d在(-8,+s)内无极值点等价于“f,(x)=ax2+2bx+c三0在(-8,+8)内恒成立”.由⑴式得2b=9-5a,c=4a.又A=(2b1-4ac=9(a-1)(a-9).解|Al9(a-1)(a-9)W0得aJ,9]，即a的取值范围是11,9]..(共14分)解：(I)因为°=而，且c=、巧,

a3所以a=<3,b=、a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x2+产=1.(I)由题意知P(0,t)(-1<t<1).由vx2 得x=士J'3G-t2).了+y2=1 '所以圆P的半径为<3(1-12).当圆P与x相切时，\t\=、：'3G-t2).

所以点尸的坐标是0,土乂.z因为点Q（%,y）在圆尸上,（III）由（H）知，圆尸的方程为因为点Q（%,y）在圆尸上,所以y=/土43Q一0）一心W/+j（lT2）.设]=COS。，0G（0,71）,贝I]=2sinfo+->.I6)当e=W，1Pr=|,且％=0时，y取最大值2.20.(共13分)(I)解：A-B=(0-l|,|1-1|,|0-1|,|0-0,|1-0|)=(1,0,1,0,1).d(A,B)=0-1|+1-1+|0-l|+|0-0|+|l-0|=3.(H)证明：设A=Q,g,,a),B=(b,b, ,b),C=(c,c, ,c)eS.,1、2 n n 、12 nnTOC\o"1-5"\h\z因为a,Z?g10,11,所以 1}。=1,2, ,n).iiz •••ii x*** **•从而A-B=\a-b\,\a-b|, ,\a-b|7gS. …11 2 2 nnn又d(A-C,B-c)=2||a-c—b-c||.iiiii=[TOC\o"1-5"\h\z由题意知a,b,ce{o,1}G=1,2, ,n).iii当c=0时，\a-c|-|Z?-c||=|tz-b；i i i i i1 ii当c=1时，||a-c\-b-c||=|(l-a)-(l-Z?)=|«~b\.i i i i i i iii所以d(A—C,B-C)=E|a-b\=d(A,B).iij=l(III)证明：设4=(a,a,,a),B=(b,b, ,Z?),C=(c,c, ,c)eS,/ 、 x1x2 /"\12 n 1 2 nnd\A,B)=k,d{A,C)=l,