2013北京海淀区高三一模数学(文)试题答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）参考答案及评分标准说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号答案二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）TOC\o"1-5"\h\z9 -1 161 2.4 ia>4 i2,2三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(本小题满分13分)解：()f(3)=2-G/3.223-2)2=1 分因为f(x)=2-(*/3sinx-cosx)2=2-(3sin2x+cos2x-2*3sinxcosx)=2-(1+2sin2x-J3sin2x) 分=1—2sin2x+v'3sin2x=cos2x+<3sin2x 分一•，一n、 ”、=2sin(2x+) 分所以f(x)的周期为6

TOC\o"1-5"\h\z2 2n 2nT- 二——二n 13| 2rnn n2n 兀、「n5n1(I当xE[一下，不]时，2xE[—不，-^-]，(2x+T)E[~~7，~^]63 33 6 66兀分当，兀分当，-6时函数取所以当x=一么时，函数取得最小值f(-么)=_1 66“兀、一得最大值“兀、一得最大值f(-)-23分解因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为的考生有人，TOC\o"1-5"\h\z所以该考场有10・0.25-40人 分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为的人数为40x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)-40x0.075-3 分(I求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1x(40x0.2)+2x(40x0.1)+3x(40x0.375)+4x(40x0.25)+5x(40x0.075)。八 -2.940 分(ni)因为两科考试中，共有6人得分等级为a,又恰有两人的两科成绩等级均为，所以还有人只有一个科目得分为 分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是的同学，则在至少一科成绩等级为的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为。={甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁}一共有个基本事件 分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)-1 分6解：()证明： 因为AABC是正三角形，M是AC中点，所以BM1AC即BD1AC 分又因为PA1平面ABCD,BDu平面ABCD,PA1BD 分又PA。AC-A,所以BD1平面PAC 分又PCu平面PAC，所以BD1PC 分(II)在正三角形ABC中，BM-2<3 分在AACD，因为M为AC中点，DM1AC,所以AD-CD，所以BM:MD，所以BM:MD=3:1/CAD=30，所以，DM=TOC\o"1-5"\h\z所以BN:NP=BM:MD,所以MN//PD 分又MN亡平面PDC,PDu平面PDC,所以MN//平面PDC 分(III)假设直线l//CD,因为lu平面PAB,CD亡平面PAB,所以CD//平面PAB 分又CDu平面ABCD，平面PAB。平面ABCD=AB，所以CD//AB 分这与CD与AB不平行，矛盾所以直线l与直线CD不平行 分18.解：(I)因为f'(x)=x2—k 分当k二4时，“x4x2-4,令八x4x2-4=0，所以T2,x2=-2于'(x)，于(x)随x的变化情况如下表：x(—8,—2)—2(—2,2)2(2,+8)f'(x)++f(x)□极大值□极小值□分TOC\o"1-5"\h\z所以f(x)的单调递增区间是(—8,—2),(2,+8)单调递减区间是(—2,2) 分()令g(x)=f(x)—k，所以g(x)只有一个零点 分因为g'(x)=f'(x)=x2—k当k=0时，g(x)=x3，所以g(x)只有一个零点0 分当k<0时，g'(x)=x2—k>0对x£R成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)只有一个零点 分当k>0时，令g'(x)=f'(x)=x2—k=0，解得x=7r或x=一& 分1 2

所以g'(X),g(x)随x的变化情况如下表:x(-8,-y/k)-4k(-坛,次)kk(4k，+8)g1(x)十十g(x)□极大值□极小值□g(X)有且仅有一个零点等价于g(—乐)<0 分即g(—kk)=3k4k—k<0，解得0<k<4 分 综上所述，k的取值范围9TOC\o"1-5"\h\z是k<4 分解： 设椭圆的焦距为2c，因为a=<2，c=卫，所以c=1 分a2所以b=1X2所以椭圆c：工+y2=1 分(I设a(5，y1)，Bx2，y2由直线l由直线l与椭圆C交于两点a，B，所以(1所以(1+2k2)x2—2=0则x+x=0，12所以|ABI=：(1所以|ABI=：(1+k2)/8(1+k2)11+2k2点M^2,0)到直线l的距离d=卜2k\%,1+k2则M=2Oi 分，矛盾，所以注二吗-长)TOC\o"1-5"\h\z解得k2=1即k=±1 分解 因为|拉|+|Ay|=3(故,Ay为非零整数)故41=11Ay|=2或1Ax|=2,|Ax|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个 分又因为(Ax)2+(Ay)2=5，即(x—0)2+(y—0)2=511所以这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心，<5为半径的圆上 分设)/(x,y)，因为M=t(H),L=t(M)MM所以有Ix—91+Iy—31=3，Ix—51+Iy—31=3 分MM MM所以|x—9|=|x—5|，所以x=7,y=2或y=4M M MM M所以M(7,2)或M(7,4) 分当〃=2k,keN*时，IPPI的最小值为0 分0n当n=1时，可知IPPI的最小值为；5 分0n当n=3时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P(x,y+1)：300P(x,y)TP(x+2,y+1)-P(x+1,y+3)-P(x,y+1)000 10 0 20 0 300故IPPI的最小值为1 分0n当n=2k+3,k>1,keN*，时，对于点P，经过2k次变换回到初始点P(x,y)，然后经000过3次变换回到P(x,y+1)，故IPPI的最小值为1n0 0 0n综上，当n=1时，IPPI的最小值为、运0n当n=2k,keN*时，IPP