人教版数学中考复习：二次函数综合题(带答案)

二次函数综合题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；（2）若点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当t为何值时，（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点∴解得：∴该抛物线解析式为：（2）设直线BE的解析式为∵B(3，0)、E，∴解得：，∴直线BE的解析式为.因为F是抛物线与BE的交点∴整理得：解得：、（舍去）∴∴F（）连接AH，与BE交于点G，设直线BC的解析式为∵B(3，0)、C∴∴∴直线BC的解析式为∵H(1，y)在BC上∴H(1，)∵A(1，0)∴AH2.已知抛物线经过A，B两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．解：（1）如右图，∵抛物线经过A，B两点∴∴∴该抛物线的解析式是∵，∴点D坐标S1，S2，S3之间的数量关系是过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，∴E，F∵B,C∴∴,,则在中∴,,则在中∵∴△BCD是直角三角形∴∴,∴存在点M，使得，设点M，∴则在中，∵MN∥BC∴∴若，∵∴△AMN∽△ACM∴∴∴∴∴，（舍）∴点M坐标设直线BC的解析式为∵B,C∴∴∴直线BC的解析式为∵MN∥BC∴*设直线MN的解析式为∵点M坐标∴∴直线MN的解析式为∴存在点M，使得，此时直线MN的解析式为3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）三点．（1）请直接写出抛物线的解析式．（2）连接BC，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标．（3）在（2）中的线段AD上有一动点E（不与点A、点D重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△AFD的面积最大求出此时点E的坐标和△AFD的最大面积．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4）.∵C（0，﹣2）在抛物线上，∴﹣2=a×1×（﹣4），∴a=.∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣4）=x2﹣x﹣2，①（2）设直线BC的解析式为y=kx﹣2，∵B（4，0）∴4k﹣2=0，∴k=，∴直线BC的解析式为y=x﹣2.∵直线BC平移，使其经过点A（﹣1，0），且与抛物线交于点D，∴直线AD的解析式为y=x+，②联立①②，解得（舍去），或，∴D（5，3）.（3）∵A（﹣1，0），D（5，3），∴以AD为底，点F到AD的距离越大，△ADF的面积越大，作l∥AD，当l与抛物线只有一个交点时，点F到AD的距离最大，设l的解析式为y=x+n，③联立①③转化为关于x的方程为x2﹣4x﹣2n﹣4=0，∴△=16﹣4（﹣2n﹣4）=0，∴n=﹣4.∴直线l的解析式为y=x﹣4，∴x2﹣4x+4=0，解得x=2.将x=2代入y=x﹣4得，y=﹣3，∴F（1，﹣3），∴E（1，1）.∴EF=4.∴S△AFD的最大面积=EF×|xE﹣xA|+EF×|xD﹣xE|=×4×2+×4×4=12．4.如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．解：（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3），令y=﹣x2+2x+3中x=1，得到y=4，∴D（1，4），当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE=4﹣2=2，∵0＜m＜3，∴yF＞yP，∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF=PF•BM+PF•OM=PF（BM+OM）=PF•OB，∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0＜m＜3），则当m=时，S取得最大值．5.如图所示，抛物线y=ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣x+c，得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x．当x=6时，y=2×6﹣2=10，当y=0时，2x﹣2=0，解得x=1，∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在Rt△ACD中，CD==5，∵点A与点A′关于直线y=2x﹣2对称，∴∠AED=90°，∴S△ADC=וAE=×5×10，解得AE=2，∴AA′=2AE=4，DE==，∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，∴==，解得AF=4，A′F=8，∴OF=8﹣6=2，∴点A′坐标为（﹣2，4），当x=﹣2时，y=×4﹣×（﹣2）=4，∴A′在抛物线上．（3）∵点P在抛物线上，则点P（x，x2﹣x），设直线A′C的解析式为y=kx+b，∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点，∴，解得，∴直线A′C的解析式为y=x+，∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x，x+），∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，∴l=（x+）﹣（x2﹣x）=﹣x2+x+，∴l与x的函数关系式为l=﹣x2+x+，（﹣2＜x≤6），∵l=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，l的最大值为．6.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标解：（1）依题意，得解之，得∴抛物线解析式为．∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），∴B（－3，0）．把B（－3，0）、C（0，3）分别直线y＝mx＋n，得解之，得∴直线BC的解析式为．（2）∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC.∴使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点.设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线，得y＝2.∴M（－1，2）（3）设P（－1，t），结合B（－3，0），C（0，3），得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.解之,得t＝－2.若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．综上所述，满足条件的点P共有四个,分别为(－1，－2),(－1，4),(－1，),(－1，)．7.在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图所示的.（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；（2）连结，点是位于线段上方的抛物线上一动点，若直线将的面积分成两部分，求此时点的坐标；（3）现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.解：（1）∵、，将经过旋转、平移变化得到如图所示的，∴.∴.设经过、、三点的抛物线解析式为，则有，解得：.∴抛物线解析式为.（2）如图所示，设直线与交于点.∵直线将的面积分成两部分，∴或，过作于点，则∥. ∴∽,∴.∴当时，，∴，∴.设直线解析式为，则可求得其解析式为，∴，∴（舍去），∴.当时，同理可得.（3）设平移的距离为，与重叠部分的面积为.可由已知求出的解析式为，与轴交点坐标为.的解析式为，与轴交点坐标为.①如图所示，当时，与重叠部分为四边形.设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.由，得，∴.∴.∴的最大值为.②如图所示，当时，与重叠部分为直角三角形.设与轴交于点，与交于点.则，，.∴.∴当时，的最大值为.综上所述，在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C，对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点M是抛物线上的一动点，过点M作MN知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．解：（1）∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣=1，∴抛物线过（1，4）和（，﹣）两点，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，|CD|=，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=﹣3，∴此时对应的点P为（﹣3，0）；（3）y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：y=设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=有一个公共点，此时t=，当线段PQ过点（3，0），即点P与