动态优化模型

第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题乂简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。§1变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1变分法的基本概念1.1.1泛函设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)e5有一个实数丿与之对应，则称丿是对应在S上的泛函，记作J(x(O)oS称为丿的容许函数集。通俗地说，泛函就是“函数的函数”。例如对于小平面上过定点4(勺』1)和直(心』2)的每一条光滑曲线y(x)，绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x))o由微积分知识不难写出(1)(2)(3)丿()'W)= 2列(1)(2)(3)容许函数集可表示为s={yWIeeg,X2], )=儿，yg)=%}最简单的一类泛函表为丿F(t,xyx)dt被积函数F包含自变量/,未知函玄兀及导数x。(1)式是最简泛函。1.1.2泛函的极值泛函7(x(0)在Xo(/)uS取得极小值是指，对于任意一个与勺⑴接近的x(t)eS,都有J(x(0)>7(x0(r))o所谓接近,可以用距离d(x(r"o⑴)v£来度量,而距离定义为d(x⑴卫0(。)=max{|x(O-xo(r)|,|i(O~xo(O|}泛函的极大值可以类似地定义。兀0(/)称为泛函的极值函数或极值曲线。1.13泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数双/)在儿⑴的增量记为3x(t)=x(t)-x0(t)也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作=J(兀0(0+&⑴)-J(兀0(0)如果△/可以表为△丿=L(xo(O,&(。)+心o(d&(/))

其中厶为&的线性项，而厂是&的高阶项，则厶称为泛函在心(。的变分，记作刃(入⑴)。用变动的x(f)代替xo(O,就有W))。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数&的导数：*(W))=-^-J(x(f)+Q&(f))|a=o (4)da这是因为当变分存在时，增量AJ=J(x(r)+ -J(x(r))=厶(x(f),a&)+r(x(r),a&)根据厶和厂的性质有L(x(t),adc)=lim心％&=0qtoa a®adi所以8 J{x+aSx)-J{x)乔小+込)"跌 =血厶(5)+心曲)=厶(佔)=刃⑴a->o a1.1.4极值与变分利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系：若7(x(0)在x°(f)达到极值(极大或极小)，则刃g⑴)=0 (5)这是因为对任意给定的J^x^aSx)是变量a的函数，该函数在a=0处达到极值。根据函数极值的必要条件知6da6daJ（%Q+a=o=0于是由(4)式直接得到(5)式。1.1.5.变分法的基本引理7（x1）=7（x2）=0,有引理卩⑴eC[x{,x2],V?7（x）eC17（x1）=7（x2）=0,有■(p(x)7](x)dx=0,则0(x)三0,xe[x1?x2]o1.2无约束条件的泛函极值求泛函J=\F(t,x(t),x(t))dt (6)的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线兀(/),使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线(或轨线)，记为x\t)o1.2.1端点固定的情况设容许曲线x(f)满足边界条件X(『0)=X09XQf)=Xf且二次可微。首先计算(6)式的变分：刃嶋3)+阿凡。:右FQ,4)+adc(t\x(t)+Q&(f))|a=Qdt=[[Fx(r,x,x)8x+F.(r,x,x)8x]dt (8)Jzo对上式右端第二项做分布积分，并利用&(&)=&(0.)=0,有『Fx(r,x,x)8xdt=-pfFx(r,x,x)8xdt,J/o J/oat再代回到(8)式，并利用泛函取极值的必要条件，有6J=\，[Fx-^-F^3xdt=G%at因为&的任意性，及&(/。)=&(—)=0,所以由基本引理得到著名的欧拉方程它是这类最简泛函取极值的必要条件。(9)式乂可记作CT•厂心―尸訂=0 (10)通常这是x(f)的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由(7)式中的两个端点条件确定。1.2.2最简泛函的儿种特殊情形F不依赖于x,即F=F(t,x)这时件三0,欧拉方程为代亿兀)=0,这个方程以隐函数形式给出x(f),但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。F不依赖x,即F=F(t.x)欧拉方程为轨3=0at将上式积分一次，便得首次积分代(/,兀)=5,由此可求出x= 积分后得到可能的极值曲线族(hi)F只依赖于x,即F=F(x)这时Fx=0,Ft.=0yFx,=0,欧拉方程为讥=0由此可设丘=0或尸沃=0,如果丘=0,则得到含有两个参数的直线族x=clt+c2O另外若尸云=°有一个或儿个实根时，则除了上面的直线族外，乂得到含有一个参数c的直线族x=kt+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x=clt+c2中，于是，在F=F(x)情况下，极值曲线必然是直线族。(iv)F只依赖于x和Q即F=F(x,x)这时有F‘=o,故欧拉方程为&-叽-迟•=°此方程具有首次积分为F-xFr事实上，注意到F不依赖于/,于是有《(F-迅.)二Fxx+F抠—迅-x^-F,=x(Fv-¥人)=0oat dt at例1(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰•贝努里(J.Bernoulli)于1696年提出的。问题的提法是这样的：设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结4和B的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间最短。解将A点取为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向下，B点为B(x2,y2)。根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点处的速度牛满足(s为弧长)、2、2(ds—m\——[dt,将ds=Jl+W2(x)dx代入上式得dt=I匕二dx2gy于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函丿(y(x))丿(y(x))dx端点条件为y(0)=0,y(x2)=y2i+y2最速降线满足欧拉方程，因为i+y2y不含自变量X,所以方程(10)可写作化一行0等价于(F-/FV.)=Oax作一次积分得y(l+/2)=q令y'=ctg与,则方程化为静7曲卜訣―品）积分之，得由边界条件><0）=0,可知c2=0,故得这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数Q可利用另一边界条件y（x2）=y2來确定。例2最小旋转面问题S=S={yIyeCl[x^x2ly(“)=y15yg)=y2}解因F=yJl+严不包含％,故有首次积分Jl+严F-y'Fy=yjl+)"-yj•'Jl+严化简得y=qjl+严令y'=sht,代入上式，y=c1Jl+必勺=c^cht由于dx=^=E^L=C[dt积分之，得x=clt+c2消去f,就得到y=c{ch^^这是悬链线方程。1.2.3最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。（i）含多个函数的泛函使泛函取极值且满足固定边界条件

取极值且满足固定边界条件y(“)=儿,y(x2)=y2, )=sz(x2)=z2.的极值曲线y=y(x)忆=z(x)必满足欧拉方程组(ii)含高阶导数的泛函使泛函丿GG))=［：F(w',y”)dx取极值且满足固定边界条件y(“)=yi，y(①二血)'(“)=儿,)'(兀2)=)‘2的极值曲线)，=y(x)必满足微分方程(ill)含多元函数的泛函设z(x,y)ec2,(x,y)eDf使泛函J(z(x,刃)=Jj尸(兀)',JJ,Zy)dxdyD取极值且在区域D的边界线/上取己知值的极值函数z=z(x,y)必满足方程F.-—F.-—F.=04dxZxdyJ上式称为奥式方程。1.2.4端点变动的情况(横截条件)设容许曲线x(f)在厲固定，在另一端点t=tf时不固定，是沿着给定的曲线x= 上变动。于是端点条件表示为QX(/o)=X。款)=0(f)这里f是变动的，不妨用参数形式表示为t=tf+adtf寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有0=5/=亠(F(t,x+aSx,x+a&)d^a=()(11)—扌尸用力+4&匚+冲口肉(11)再对(11)式做如下分析：(1)对每一个固定的x(f)都满足欧拉方程，即(11)式右端的第一项积分为零;

(h)为考察((h)为考察(11)式的第二、第三项，建立与&之间的关系，因为x(tf+adtf)+a§x匕+adtf)= +adtf)对a求导并令a=0得x(tf)dtf+6x\t=if即&匚=[0(r.f)-U)眄 (12)把(12)代入di)并利用dr,的任意性，得[F+(0-x)F』f=0 (13)(13)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：G)当x=屮⑴是垂直横轴的直线时，卩固定，自由，并称x(y)为自由端点。此时(11)式中dtf=0及的任意性，便得自由端点的横截条件|t=tf=° (⑷(11)当兀=0⑴是平行横轴的直线时，Y自由，X(f/・)固定，并称兀(^)为平动端点。此时肖=0,(13)式的横截条件变为F-xF"=° (15)注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。13有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统= (16)寻求最优性能指标(目标函数)丿(%(/))=0码"4))+『F(r,x⑴川⑴)力 (17)其中“(f)是控制策略，x(O是轨线，G固定，匚及x(//J自由，x(t)eRn,W(r)eRm(不受限，充满肥空间),f,(p,F连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略/(/)和最优轨线x\t)的必要条件。釆用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑TOC\o"1-5"\h\z人(sM)=0(r/,x(y))+『[F(/,x川)+力(r)(/(r,x,M)-x)]t/r (18)的无条件极值，首先定义(16)式和(17)式的哈密顿(Hamilton)函数为H亿x,w,2)=F(r,x,w)+才(/)f(t.X,u) (19)将其代入(18)式，得到泛函J{(x,u,A)= ,兀(/广))+J[//(A,x,w,2)-x}dt (20)下面先对其求变分 °8J,=~^{(p(tf+adtf)++I [H(t,x+adc.u+adi,A+aSX)-(2+a3A)T(x+a3:)]clt}\a=QJ，0=[&匕)『％)+(眄)S/+(d*H(f,s,刃仁—(力』(伫)|+『[(&)丁Hx+(甌)丁Hu+(<5Z)r比-(<52)rx-力3x]clt=(dtf)T[(ptf+F(t,x,u,r)|/=//]+[&c(tf)F%)zo+『[(&)7Hx+ Hlt+(阪rHa-(靦rx]dt-处{tf)Sx\l=lf+£(&rzo注意到=Sx(tf)-x(tf)dtf,因而刃1=(A)T[%+H(Z"无)|r]+[&®)r(久-网F+『[(&)丁(比+刃+(对(W)+(3u)THu]dtJlo再令刃1=0,由c/»&(//),&,站说的任意性，便得(1)x\Z必满足正则方程：状态方程X=Ha=/(r,x,M)协态方程A=—Ho(11)哈密顿函数H(t,x\u,X)作为"的函数，也必满足并由此方程求得/。(in)求x\Xyu时，必利用边界条件x(tQ)=xQ, (用于确定兀*)A(tf)=(pxV)f (用于确定才)(pt(=-H(t,x,u,X)t=t(,(确定少)1.4最大(小)值原理如果受控系统x=f(t,x,u)fx(tQ)=XQ其控制策略U(O的全体构成有界集"，求u(t)eU,使性能指标J(«(0)=叫,M/))+『F(/,X,u)dt达到最大(小)值。最大(小)值原理：如果0匕,班少))和F(r,兀川)都是连续可微的,那么最优控制策略u(t)和相应的最优轨线x\t)由下列的必要条件决定：(1)最优轨线x\t),协态向量才(/)由下列的必要条件决定：dtdX_cH■ ■dtdx(ii)哈密顿函数H(t,x\u,X)=F(t,x\u)+XT(r)/(r,x\u)作为u(0的函数，最优策略u(t)必须使拿 拿* * *H(t.x,u，兄)=maxH(心xitdJ或使H(t,x,u,X)=millH(f,x,u,X)(最小值原理)ueU(ill)满足相应的边界条件若两端点固定，则正则方程的边界条件为x(0)—Xq,x(//、)=x(o若始端固定，终端y也固定，而x(/广)自由，则正则方程的边界条件为x(0)=x0,A(tf)=%)("(»)。若始端固定，终端都自由，则正则方程的边界条件为双0)=x0‘A(rz)=%)(tf,x(tf))‘HgMtf ),2(rf))+(plf(tf,x{t/))=0。§2生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。2.1问题分析与假设(1)设备的转卖价是时间/的函数，记为x(r)ox(r)的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价x(0)=x0o(U)设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。/时刻设备的磨损程度可以用/时刻转卖价的损失值來刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为m(t)o(in)保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果"(/)是单位时间的保养费，g(f)是f时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价)，那么单位时间的保养效益为g(t)u(t)。另外，保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义)，只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W,则Gv)设单位时间的产值与转卖价的比值记为”，则px(t)表示在f时刻单位时间的产值，即/时刻的生产率。(v)转卖价x(/)及单位时间的保养费u(f)都是时间/的连续可微函数。为了统一标准，釆用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价x(f)的贴现值计算，如果它的贴现因子为5(经过单位时间的单位费用贴现)，那么由

<d.14)=1解得令儿=0,便得/时刻单位费用的贴现(称贴现系数)为厂&,所以设备在f时刻转卖价x(f)的贴现为x(t)e~Sto仿此计算，“(/)的贴现为u⑴厂,单位时间产值的贴现为px(t)e~Sto(VI)欲确定的转卖时间和转卖价x(//)都是自由的。2.2模型构造根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损一保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费"(/)作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损一保养系统的(转卖价)状态方程[竽一砍)+g(M) (21)1/(0)=X。之下，在满足的函数集W中寻求最优控制策略/(/),使系统的经济效益这一性能指标(22)(23)J(“⑴)=Wr)不旳+[[pXO-u(t)]e~Stdt为最大,其中都是自由的。(22)(23)2.3模型求解首先写出问题的哈密顿函数H=[p兀(!)-呗)]严+A[-m(Z)+g伽⑴]再由协态方程及边界条件求出A(r),即由^-=-Hx=-pe-Sl解得兄(0=(1一£)£一叫+£广“o o下面利用最大值原理求u\t)o先将(23)式改变为H=px(f)e"-如?(f)+[兄g(f)-e~^]w(r)显然，H是对u的线性函数，因此得到“ 恐⑴-宀0u(0=<|0, 恋⑴-产<0

心)=彳(25)心)=彳0, [(l-|)^+|^W)-^<0在上式中，还需解决两个问题:一是u\t)=U与/(f)=0的转换点匚在什么位置,即。等于多少？二是u\t)是由〃到0,还是由0到“。转换点匚应满足[(1-£)严+£心⑴-宀0O O即[£-(£-1)严"]曲)-1=0 (26)oo从而可解出匚。因为g(f)是时间/的减函数，所以(26)式的左端也是时间f的减函数，也就是说u\t)随时间应由U到0o于是最优控制策略的具体表达式为*卩 0<t<ts[o, ts<t<tf至于5，x(//J的求法，请见下面的例子。例3在生产设备的最大经济效益的问题