离散序列课件

《信号分析与处理》课程

第三章离散时间序列及其Z变换第一节离散时间系统第二节离散时间信号序列第三节Z正变换第四节Z反变换第五节Z变换的性质第六节Z变换与拉普拉斯变换的关系第七节离散信号的Z变换

重点内容:离散时间系统和序列，序列的Z变换及其性质，Z变换和傅立叶变换的关系.第一节离散时间系统一、离散系统的定义

离散（时间）系统是指输入输出都是时间序列的系统。输入又称为激励，输出又称为响应。二、离散系统的分类

离散时间系统可以用变换（运算）T[]来表示。线性离散系统和非线性离散系统

线性离散系统的零状态响应不满足这个关系的离散系统为非线性离散系统第一节离散时间系统时不变离散系统和时变离散系统稳定离散系统和非稳定离散系统有界输入产生有界输出，或者：因果系统和非因果系统或者

输出只取决于当前的输入和过去的输入本章讨论仅限线性时不变系统，实际应用中研究因果稳定的系统。系统的输入在时间轴上有个平移，输出也产生同样的时间上的平移满足时不变，否则时变第二节离散时间信号序列正弦序列

矩形脉冲序列

单边指数序列

任意时间序列：任意连续时间信号的等间隔采样离散信号的时域分解振幅、初始相位角、数字角频率，是周期序列吗？指数函数信号的等间隔抽样矩形脉冲序列的等间隔抽样第二节离散时间信号序列二、序列的基本运算序列加减序列相乘序列权乘各序列同序号的项对应乘积所组成的序列各序列同序号的数值对应相加减序列的每一项都乘于权系数第二节离散时间信号序列序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为序列折叠：将原序列以纵轴为对称轴进行折叠序列卷积（离散卷积或卷积和）表征了系统响应y(n)与激励x(n)和单位冲激响应h(n)的关系。正整数，右移，负整数，左移h(n)反转延迟，再与x(n)进行序列相乘，并求和第二节离散时间信号序列卷积和性质交换律结合律

分配律两个线性时不变系统的级联可以交换次序，等效为一个新的线性时不变系统第三节Z正变换在离散信号和系统中，Z变换的运算方法与拉普拉斯类似，可以将问题从时域转换到复频域进行分析和处理。一、Z变换的定义双边Z变换单边Z变换在实际中的离散系统都是因果系统，因此它对应的Z变换为单边Z变换。

第三节Z正变换我们也可以从拉普拉斯变换导出Z变换则令：第三节Z正变换例3-1已知

求求卷积的matlab函数是：conv_m二、Z变换的收敛域Z变换是的幂级数，系数是x(n)本身，对于级数必定存在收敛问题。只有级数收敛，X(z)才存在，使X(z)存在的z的区域，称为收敛域。Z变换收敛的充要条件是：对于正项级数的收敛问题，可以采用比值判定和根值判定两种方法来判别。第三节Z正变换二、Z变换的收敛域收敛域的判定方法1）比值判定法当ρ＜1时级数收敛，ρ＞

1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。2）根值判定法

当ρ＜1时级数收敛，ρ＞1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

第三节Z正变换四种类型序列的收敛域a)有限长序列b)右边序列c)左边序列d)双边序列结论：左内右外双边环有限长序列有限平面。例求序列的Z变换，并确定其收敛域，其中b>a>0.第三节Z正变换三、一些常用序列的Z变换单位抽样序列

单位阶跃序列

单位斜变序列第三节Z正变换指数序列正、余弦序列第四节Z反变换一、留数法(围线积分法)

m是积分曲线内部的极点数，若

在Z=Zm处有k阶重极点，则留数表示为例3-3求的反变换。

第四节Z反变换二、幂级数法幂级数法就是将X（z）表示成一个幂级数的形式根据Z变换的定义式可知此级数的系数a0，a1，...，an，...，即是要求的序列x(n)。例3-4已知收敛域为|z|>1，求x(n)。

右边序列，长除法的时候分子分母写成Z的降幂或者z-1升幂第四节Z反变换三、部分分式法可表示为，由表可以直接查它们的反变换。例3-5求的反变换。

时域平移性（单边Z变换）时域扩展性:时域扩展是在原序列中每两个序列点之间插入a-1个零。第五节Z变换的性质第五节Z变换的性质Z域尺度变换性ssTre=考察复变量这是一个s域到z域的变换。复变量（直角坐标形式）经变换后也是一个复变量(极坐标形式)其中，。重复频率为由此可得s～z平面有如下的映射关系：1、s平面的整个虚轴映射到z平面的是单位圆；s平面的右半平面映射到z平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面映射到z平面是单位圆的圆内。

第六节Z变换与拉普拉斯变换的关系2、s平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴；s平面平行于实轴（ω=ω0是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，当S平面内通过

，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。

3、由于是以2π为周期的周期函数，s平面与z平面的映射的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上。因此，s平面和z平面的映射关系不是单值的。

关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为第六节Z变换与拉普拉斯变换的关系第六节Z变换与拉普拉斯变换的关系二、Z变换与抽样信号拉氏变换的关系

x(t)的拉氏变换为Xs(s)的相应Z变换为

第七节离散信号的Z变换一、离散系统函数与单位冲激响应

极点、零点第七节离散信号的Z变换二、Z变换在求解差分方程中的应用零状态、输入是因果序列的情况下系统函数的零极点分布对系统特性的影响 确定单位样值响应 稳定性 因果性三、离散系统的零极点分布对系统特性的影响及其稳定性1．单位样值响应与系统函数线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为激励为因果序列系统处于零状态上式两边取z变换得只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的特性。h(n)和H(z)为一对z变换●系统的零状态响应：●2系统函数的零极点分布对系统特性的影响1．由零极点分布确定单位样值响应展成部分分式：（假设无重根）的极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定了的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。:与H(z)的零点、极点分布都有关。由零极点分布确定单位样值响应(续)极点位置与h(n)形状的关系s平面z平面极点位置h(t)特点极点位置h(n)特点虚轴上等幅单位圆上等幅原点时

左半平面衰减单位圆内减幅右半平面增幅单位圆外增幅利用z～s平面的映射关系离散系统的稳定性对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（BIBO)。(2)稳定性判据(1)定义：判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内:。单位圆上的极点是临界稳定连续系统和离散系统稳定性的比较

连续系统离散系统系统稳定的充要条件极点H(s)的极点全部在左半平面H(z)的极点全部在单位圆内收敛域含虚轴的右半平面含单位圆的圆外临界稳定的极点沿虚轴系统的因果性系统因果性的判断方法：z域：收敛域在圆外输出不超前于输入则解：求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换已知离散系统的差分方程为：激励下面方程所描述的系统是否为因果系统？解：输出未超前于输入，所以是因果系统。解：不稳定系统从时域判断因果系统从z域判断极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（临稳定）。因果稳定的系统，收敛域为包含单位圆的圆外。h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。LTI系统，，判断因果性