高中数学2020年月月考-三角函数与导数交汇压轴题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages33页绝密★启用前高中数学2020年06月月考试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明一、解答题1．（2019·安徽省高三月考（文））已知函数．（1）证明：函数在上有唯一零点；（2）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）对函数求导得，由可得，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案；（2）等式，可化为不等式，令利用导数求得的最大值，即可得答案.【详解】（1）证明：由得当时，，，则，函数在上单调递减，又，所以函数在上有唯一零点，得证．（2）由题知不等式，可化为不等式，则由题有对恒成立，令则有，其中，由得或则当或时，，当时，，当且仅当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以，则，即得实数的取值范围是．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.2．（2020·广东省高三期末（理））已知函数，，，是函数的导函数.（1）当时，证明：函数在区间没有零点；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时,,由可得,且,,,即可得时,,即可得到恒成立,进而证明；（2）,则在上恒成立,设,,则,,可得,对求导,由导函数的单调性进而判断的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：若,则,,又,,故,所以,又,,,当时,,所以恒成立,所以当时,函数在区间没有零点.（2）解:,,故在上恒成立,设,,所以,,即,因为,由,得,所以在区间上单调递减,所以；在区间上单调递增,,又,所以,,,故在区间上存在唯一零点区间,由的单调性可知,在区间上,单调递减；在区间上,单调递增,,故【点睛】本题考查函数的零点的分布问题,考查利用导函数研究函数的单调性,考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力3．（2019·福建省厦门双十中学高三月考）已知，且，函数（1）在上的极值点个数；（2）研究函数在的零点个数.【答案】（1）1个；（2）无零点【解析】【分析】（1）求得，，得出在上单调递增，由，得到，，得到存在，使得，进而得到函数单调性，即可得到答案.（2）由（1）得出函数，且，设,，转化为在恒成立，结合的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，，所以在上单调递增，因为，所以，，所以存在，使得，所以当，，函数在递减，当，，函数在递增，所以在存在唯一的极小值点，没有极大值点，所以极值点有1个.（2）由（1）知在递减，在递增，其图像如图所示，可得，，，且，又由，即，设,，则在恒成立，所以故在单调递减，所以，所以在恒成立，即在无零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4．（2019·山东省山东师范大学附中高三月考）设函数.（Ⅰ）当，时，恒成立，求的范围；（Ⅱ）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.解析：由，当时，得.当时，，且当时，，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.即方程有两解，可得，所以.令，则，当时，，所以在上是减函数.当时，，所以在上是减函数.所以.又当时，；且有.数形结合易知：.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．（2019·四川省成都七中高三期中（理））已知函数，其中为实数，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在三个不同的，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递增区间为与，单调递减区间为与（2）存在，【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解，（2）结合（1）的讨论,对进行分类讨论，即可求解．【详解】解：（1）.当，即时，.∴.当时，；当时，.当，即时，.∴.当时，；当时，.∴函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与.（2）由（1）可知，函数在有两个极小值，，存在一个极大值，另外.对于函数.假设存在满足题意的实数.当时，，满足题意.当时，.由题意，解得.当时，.由题意，解得.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题综合考查了导数的应用及逻辑推理与运算的能力，属于难题．6．（2020·海南省海南中学高二期末）已知.（1）求；（2）设，求证：在内有且只有一个零点；（3）求证：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用平方差公式和二倍角余弦公式可得出，求导，将代入导函数的解析式，可得出关于的方程，即可解出的值；（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可证明出结论成立；（3）分析出函数在区间上为增函数，由可证明出不等式成立.【详解】（1），，，解得；（2），，，，，，函数在上单调递增.，，所以，使得，列表如下：极小值，，使，当时，函数单调递增，此时，.因此，函数在内有且只有一个零点；（3）由于函数在上单调递增，则当时，，所以，函数在单调递增.，函数在上单调递增，当时，.【点睛】本题考查导数值的计算，同时也考查了利用导数研究函数的零点问题以及证明不等式，解题时要结合导数分析函数的单调性，在求解零点问题时，可以结合零点存在定理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．（2019·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断在内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）（2）在内有且仅有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解；（2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数.【详解】（1），所以切线方程为，即，亦即.（2）①当时，，所以在上单调递增，且，，故在内有唯一的零点.②当时，令，则，所以在上单调递减，且，，所以存在，使得，所以当时，，即在递增，当时，，即在递减.又，.故在内有唯一的零点.综上，在内有且仅有两个零点，.【点睛】此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.8．（2020·江西省高二期末（文））已知函数.⑴当时，证明:在上有唯一零点；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）通过导数可得单调性，利用零点存在性定理依次验证在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（2）采用分离变量的方式将问题转化为对恒成立，令，利用导数得到在内的最小值，从而得到结果.【详解】（1）当时，当和时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减，在有一个零点在上没有零点在上没有零点综上所述：在上有唯一零点（2）当时，恒成立等价于对恒成立令，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增即的取值范围为：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数和零点存在性定理研究函数的零点个数、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，得到所求范围.9．（2014·辽宁省高考真题（理））已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】【详解】（1）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（2）考虑函数，令，则时，，记，则，有（1）得，当时，，当时，.在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.在上是减函数，又，存在唯一的，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以考点：1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用.10．（2020·江西省高三其他（文））已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若，，求证：.【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意得，，分和两种情况讨论，从而得出结论；（2）由题意分析，只需证，由得，设，根据导数研究其单调性与最值，从而得出证明．【详解】解：（1）∵，∴，①若，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数；②若，即，当和时，，是增函数，当时，，是减函数；综上可得，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）当时，要证，只需证，即证，∵，∴，设，则，∴在上是增函数，，，∴，因此成立．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．11．（2020·四川省高三三模（理））已知函数．（1）判断函数在区间上零点的个数，并说明理由．（2）当时，①比较与的大小关系，并说明理由；②证明：．【答案】（1）有唯一一个零点，理由详见解析；（2）①，证明详见解析；②证明见解析．【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，结合函数的性质可求函数的零点个数；（2）①令，然后对其求导，结合导数可研究函数的单调性，进而由函数的取值范围可比较大小；②结合①的结论，利用分析法分析结论成立的条件，然后利用导数可求．【详解】（1）因为，所以．当时，，函数在上单调递增，所以，且，故在上无零点；当时，，函数在上单调递减，又由，故在区间上有唯一零点；综上，函数在区间上有唯一一个零点．（2）①，证明过程如下：设函数，则，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，π）上单调递增．则函数在处取得极小值，亦即最小值，即，综上可得，成立；②要证：ln[f（x）]+1ecosxf（x）﹣cosx成立，即证明ln（sinx﹣xcosx）（sinx﹣xcosx）ecosx﹣cosx﹣1成立，因为f（x）在（0，π）上单调递增，，即sinx﹣xcosx＞0，所以（sinx﹣xcosx）ecosx＞0，由①知，即有，有（sinx﹣xcosx）ecosx≥1+ln[（sinx﹣xcosx）ecosx]成立，当时，成立，由成立，此时能取等号，即有成立，即成立.【点睛】本题主要运用导数研究考查了函数的零点个数，比较函数式的大小及证明不等式，其中解答中合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于难题．12．（2020·湖北省高三三模（文））已知函数.（1）若，求过点且与相切的直线方程；（2）若，证明：.【答案】（1）或（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程；（2）判断函数的单调性，要证：，，只要证，根据正弦函数的性质即可证明．【详解】解：（1）若为偶函数，，，①当切点为时，，切线方程为，即②当切点不为时，设切点为，，切线方程为，其过点，有，易知是其一解.即，即，故点的横坐标，有，又，故切线方程为，综合可知，若，过点且与相切的直线方程为或.（2），，，，时，，单调递增；由，有在单调递增，由，有，，要证：，，即证：，，，，此式恒成立，故时，恒成立.13．（2020·广州大学附属中学高三一模（理））已知函数（1）求函数的最小值；（2）若函数在上有两个零点，，且，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）判断函数为偶函数，求导得到，计算得到，单减，，单增，得到最小值.（2）只需证明，构造函数，确定函数单调递增，故，即，根据函数单调性得到证明.【详解】（1），，为偶函数，故只需求时的最小值，，当时，设，，显然单增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得，当，，单减，当，，单增，而，，故，，即，，单减；又当，，，单增，所以.（2），只需证，由（1）得，，构造函数，，，即单增，所以，即当时，，而，所以，又，即，此时，，在单增，所以，，即证.【点睛】本题考查了函数的最值，函数零点问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．（2020·天津高三二模）已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为对任意恒成立，构造函数，对函数求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令，对函数求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可.【详解】（1）因为，所以，∵，∴，∴，所以，故函数在上单调递减，函数的最大值为；的最小值为，所以函数的值域为．（2）原不等式可化为…（*），因为恒成立，故（*）式可化为．令，则，当时，，所以函数在上单调递增，故，所以；当时，令，得，所以当时，；当时，．所以当，即时，函数成立；当，即时，函数在上单调递减，，解得综上，．（3）令，则．由，故存在，使得，即．所以，当时，；当时，．故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数，因为，所以，故，即．【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.15．（2020·福建省高三其他（文））已知函数，为的导函数．（1）设，求的单调区间；（2）若，证明：．【答案】（1）的单调递增区间；单调递减区间；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）先对求导，然后结合导数符号可求函数的单调区间；（2）要证明：，只要证，构造函数，，结合导数及函数性质可证．【详解】（1）由已知，，所以，，令，得，解得，令，得，解得，故的单调递增区间；单调递减区间（2）要证，只需证：．设，，则．记，则．当时，，又，，所以；当时，，，所以，又，，所以．综上，当时，恒成立，所以在上递增．所以，，即，所以，在上递增，则，证毕．【点睛】本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道有一定难度的压轴题.16．（2020·湖北省高三三模（文））已知函数，.（1）证明：不等式在恒成立；（2）证明：在存在两个极值点，附：，，.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1），首先利用导数证明当时，总有，然后可得（2）分和两种情况讨论，每种情况都要用导数求出的单调性.【详解】（1），设，易得在上为增函数，又，，∴存在唯一，使得，∴在时，，为减函数，，在时，，为增函数，，因此时，总有，为减函数.∴，从而原不等式得证.（2），则，在时，令，则在上递增.又，.∴存在唯一，使.在时，，为减函数，即为减函数，在时，，为增函数，即为增函数，而，.又，存在唯一的使得，∴在时，，为减函数，在时，，为增函数，故为一个极小值点.另一方面，在时，由，而，∴，由（1）可知，∴在上恒成立，又在上恒成立，∴是的极大值点，从而得证.【点睛】本题考查的是利用导数证明不等式，利用导数研究函数的单调性，属于难题，考查了学生的分析问题、解决问题的能力.17．（2020·辽宁省高三一模（理））已知函数（1）若函数在点处的切线与轴平行，求实数的值及函数在区间上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若，，求证：.（为的导函数）【答案】（1），函数的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用求得的值.再结合求得在区间上的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为证明，进一步转化为证明.利用构造函数法，结合导数证得在区间上成立，由此证得不等式成立.【详解】（1）∴所以当时，，递减，当时，，递增所以函数的递增区间为，递减区间为（2）由（1）知与异号，不妨设，则因为在单调递减，要证，需要证明，需要证明因为∴需证，因为即需要证明，即即令所以在上递增综上【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.18．（2020·福建省高三月考（理））已知函数（）.（1）求的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）增区间为（）；减区间为和（）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求导根据余弦函数的值域求解的正负,进而求得的单调区间即可.(2)由题即证当时,.再对进行分析,并利用对进行放缩,转换为三角函数合一变形求解范围的问题,进而求得在上单调递增证明即可.【详解】（1）,由得,解得（）,由得,解得或（）所以的单调递增区间为（）；的单调递减区间为和（）.（2）要证当时,,即证当时,,,令,则,在上单调递增,故,即,所以,所以,在上单调递增,故,故当时,.【点睛】本题主要考查了利用导数分析包含正余弦的函数单调性问题,需要结合三角函数的性质以及范围进行求解,同时注意利用放缩将函数转换为只有正余弦的函数进行分析,属于难题.19．（2020·山东省潍坊一中高二月考）已知函数（a∈R，e为自然对数的底数），，其中在x=0处的切线方程为y=bx.（1）求a，b的值；（2）求证：；（3）求证：有且仅有两个零点.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，，，解得答案.（2）先证明，，再证明，得到，得到答案.（3）求导得到，确定导函数单调递增，故存在使，故函数在上单调递减，在上单调递增，根据零点存在定理得到答案.【详解】（1），，故，，故，.（2）先证明，设，则，函数在上单调递减，在上单调递减，故，故恒成立.再证明，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故.故，，当时，，；当时，易知，函数为偶函数，故恒成立，故.故，得证.（3），则，，恒成立，故单调递增，，，故存在使，故函数在上单调递减，在上单调递增.，当时，，故函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，故有且仅有两个零点.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．（2020·广东省高三二模（理））已知函数（）.（1）若恒成立，求a的取值范围；（2）若，证明：在有唯一的极值点x，且.【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）计算得到，再证明当（）时，，先证明（），讨论和两种情况，计算得到证明.（2）求导得到，，得到存在唯一实数，使，存在唯一实数，使，得到，得到证明.【详解】（1）由，得，即，解得，，以下证明，当（）时，.为此先证：（）.若，则；若，则.令（），可知，函数单调递增，故，即（），综上所述：（）.若（），则当时，，故，即；当时，，由（），得.故当（）时，.综上，所求a的取值范围是.（2），令，，∵，∴是上的增函数，又，，故存在唯一实数，使，当时，，递减；当时，，递增.又，则，，，∴，，.故存在唯一实数，使.当时，，递减；当时，，递增.所以在区间有唯一极小值点，且极小值为.又由，得，∴.又.以下只需证明，即证，.∵，∴.则，所以.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，极值点问题，证明不等式，先算后证是解题的关键.21．（2020·湖南省湘潭县一中高三三模（文））已知（1）求的解集；（2）求证，．【答案】（1）或（2）见解析.【解析】【分析】（1）将函数转化为，令．用导数法研究其单调性及零点即可.（2）由（1）知当时，，要证，只需证，即证，令，用导数法证即可.【详解】（1）∵令．则，．由于恒成立∴在R上递增．又，∴当时，，当时，．故g（x）在上递减，在上递增．∴，即在R上恒成立．故的解集是或．（2）由（1）知当时，，所以要证，只需证，只需证：，只需证：．令，则令，则，令，则，故在上递减，在上递增．∴，即在上恒成立故命题得证．【点睛】本题主要考查导数在解不等式和证明不等式中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．（2020·云南省昆明一中高三月考（文））已知函数.（1）若，求的零点个数；（2）若，证明：.【答案】（1）在上有且仅有一个零点，（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）当时，，，然后分，，三种情况讨论即可（2）当时，，且，故，构造函数，，然后利用导数证明即可.【详解】（1）当时，，若，因为，所以在上单调递增又，且结合零点存在定理可知在上有且仅有一个零点若，则且，所以若，因为，所以综上：在上有且仅有一个零点（2）当时，，且，故构造函数，则若，则，故在上单调递增若，则，故在上单调递减故，即对任意恒成立，当且仅当时取得等号当时，，故对任意恒成立【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的零点个数及利用导数证明不等式，属于较难题.23．（2020·山东省高三二模）（1）若，恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）的条件下，求证：函数在区间内存在唯一的极大值点，且．【答案】（1）．（2）家粘结性【解析】【分析】（1）令，求出导函数，由确定增区间，确定减区间，从而得的最小值，得的取值范围，即得；（2）求出导函数，通分后，令，再求导数，令．分类讨论，当时，，得递减，从而可得在上有唯一零点，时，令．利用导数得的单调性，从而得，于是得出在上的单调性，得唯一极大值点．由可对变形，得，只要证明在上，从而可证得结论．【详解】（1）解：令，则．可见，；．故函数在上单调递减，在上单调递增．所以，当且仅当时，函数取最小值1．由题意，实数．所以．（2）由（1），．令，则．令．①当时，，，，所以．可见，，所以在上单调递减．又（由（1），可得，所以），，所以存在唯一的，使得．从而，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．②当时，令．则．所以在上单调递减．所以（由（1），可得，所以）．又当时，，，，所以当时，，从而．所以在单调递增．综上所述，在上单调递增，在上单词递减．所以，函数在区间内存在唯一极大值点．关于的证明如下：由上面的讨论，，且，所以，所以．于是．令．当时，．所以在上单调递增．所以，当时，，即．又因为，所以，，所以．所以．【点睛】本题考查导数研究不等式恒成立问题，用导数研究函数的极值点，证明极值点的性质．本题涉及到多次求导，等价转化思想，分类讨论思想，难度较大，属于困难题．24．（2020·广东省高三其他（理））已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若时，求证：对于任意的，均有.【答案】(1);(2)证明过程见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导数及二阶导数，由二阶导数的符号推出在上单调递增，因此求出使的a的取值范围即可；(2)对函数在上的单调性进行讨论，证明其最小值非负即可证明对于任意的，均有.【详解】（1），，当时，，，则，所以函数在上单调递增，若在上单调递增，则在上恒成立，所以；（2）由(1)知，，当时，恒成立，当时，，此时；当时，，当时，，此时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，而，则，，，则函数在上有且仅有一个零点，设该零点为，则时，，时，，所以函数在上单调递增，上单调递减，因为，，当时，，当时，因为，所以，因为，所以时，，即对任意的，均有.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，指数与指数函数，三角函数以及函数综合，属于难题.25．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考（理））已知函数有两个不同的极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）设，求证.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，再求导得到函数单调区间，得到，，，解得答案.（2）不妨假设，则，根据单调性得到，设，计算的单调性得到，得到证明.【详解】（1）设，则，为在的两个不同的零点，且，故当时，，当时，所以当时单调递增，当时单调递减.故当在有两不同的实根时，，，，解得.（2）不妨假设，则，时，所以在单调递减，故要证，只要证，即证，即，设，则，因为时，，故，所以在单调递减，故有，即成立，即，从而，即.综上所述.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.26．（2020·湖北省高三二模（理））已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若函数在上有两个零点，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由于函数为偶函数，故只需求，时的最小值，利用，对分及，，两类讨论，即可求得函数的最小值；（2）只需证，其中，，构造函数，，利用导数结合题意可证得．【详解】解：（1）由于函数为偶函数，要求函数的最小值，只需求时的最小值即可.因为,所以，当时，设，显然单调递增，而，由零点存在定理，存在唯一的，使得，当单减，当单增，而，，即，，单减，又当，，，单增，所以；（2）只需证，其中，，构造函数，，，即单增，所以，，即当时，，而，所以，又，即，此时，，由第（1）问可知，在上单增，所以，，，即证.【点睛】本题考查利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．27．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数.（1）若是上的单调函数，求的值；（2）当时，求证：若，且，则.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，可得，令则恒成立，由于，所以，即可求出结果.（2）方法一：利用消元求导，由题意可得，令，，不妨设，，令，原题即证明当时，，利用导数在不等式中应用，即可求出结果.方法二：利用切线放缩法，化解过程同方法一，原题即证明当时，，，注意到，求出在处的切线方程为.下面证明恒成立（）；令，然后再利用导数在不等式中应用，和不等式放缩即可证明结果.【详解】（1），，由题意恒成立，由于，所以，解得.方法一：消元求导死算（2），令，，不妨设，，令，原题即证明当时，，，其中，因为，所以当时，，得证.方法二：切线放缩化解过程同上，原题即证明当时，，，注意到，求出在处的切线方程，则，即，则：切线方程为.下面证明恒成立（）；令，则，得在恒成立，故在（）上单调递增，恒成立，故恒成立，同理可证始终位于在处的切线的上方，即：（实际上与关于轴对称），故恒成立，原不等式得证.【点睛】本题主要考查了导数在恒成立和不等式证明中的应用；本题第（2）问中的方法一，对这一步化简和后面的换元是关键；方法二的切线放缩是难点，平时学生们要加强训练.28．（2020·江西省高三月考（文））已知函数，函数(a，，).（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，（3）证明：.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得，再对分四种情况讨论；（2）由（1）中的结论可得，从而证明不等式；（3）利用（2）中结论及不等式的放缩法，可证得结论.【详解】（1）解：的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：当时，.由（1）知，，所以.（3）证明：因为中，所以.由（2）得，即.又，所以，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式、放缩法的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.29．（2020·福建省高三其他（理））已知函数（1）若为的导函数，且，求函数的单调区间；（2）若，证明：.【答案】（1）的单调递增区间；单调递减区间）；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）先对求导，然后结合导数符号可求函数的单调区间；（2）要证明：，只要证，构造函数，，结合导数及函数性质可证．【详解】（1）由已知，，所以，，令，得，解得，令，得，解得，故的单调递增区间；单调递减区间（2）证明：若，要证明：，只要证即可，设，，，设，则，设，则当时，，当时，，所以，故时，，所以在上单调递增，所以，即，所以在单调递增，则，即，所以在单调递增，则，所以原不等式成立．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，涉及到三角函数的基础知识，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的题.30．（2020·湖南省高三二模（理））已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，对任意，证明：．【答案】（1）单调递增区间；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）结合（1）可知，结合已知不等式的特点，合理的构造函数，结合函数的性质及导数可证．【详解】（1）函数的定义域，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，，所以的单调递增区间，（2）由（1）可知，即，即因为，所以，∴①，（1）知，，∴②，由①②知，要证原不等式，知即，则，设，则，∵，则，则在上单调递增，，即，故在上单调递增，故，所以，故．【点睛】此题考查导数的应用，根据导函数讨论函数的单调性，通过等价转化，构造函数，结合函数单调性证明不等式.31．（2019·浙江省镇海中学高三开学考试）已知函数，．（1）若在处的切线为，求的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）因为在处的切线为，即：，所以.（2）通过分离参数，转化为，进而求导，判断单调性，即可得出答案.【详解】（1）由题意得：，又因为在处的切线为所以，所以.（2）存在，使得，又因为，所以.所以在上有解.设，即：在上有解在上有解.设所以又因为，所以，.故所以，，所以在上单调递增.即在上单调递增.又因为，所以，故所以在上恒大于0.所以在上单调递增.故所以【点睛】本题主要考查导数的几何意义及参变分离方法，属于难题.32．（2020·北京高三二模）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求证：曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线．【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数解析式，求得导函数，令即可求得的单调递增区间；（2）曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线，等价于在区间上方程有唯一解，构造函数，求得导函数，并判断的符号，确定的单调性与极值，从而判断出在上存在唯一一个零点，即可证明结论.【详解】（1）函数,，则，令得，，∴单调递增区间为，（2）原命题等价于：在区间上，方程有唯一解，设，则此时，，，变化情况如下：0极大值此时，在上单调递增，且，，在上单调递减，且，∴在上存在唯一一个根，在上存在唯一一个零点，∴曲线在区间上有且仅有一条斜率为2的切线.【点睛】本题考查了由导函数判断函数的单调区间，函数零点、方程的根与函数单调性的综合应用，构造函数法分析函数的单调性与极值，属于中档题.33．（2020·湖南大学附属中学高三零模（理））已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，，且，证明：.【答案】（1）单调递减区间为；单调递增区间为.（2）见解析【解析】【分析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式和，得函数的增区间和减区间即可；(2)由,得，可构造函数，则，探究在上的单调性，构造函数，探究在上的单调性,再结合关系式，利用单调性可得出结论【详解】（1）的定义域为，，由，得，从而；由，得，从而；所以，的单调递减区间为；单调递增区间为.（2），即，令，则，.当时，；当时，，，故时，恒成立，所以在上单调递增，不妨设，注意到，所以，令，则，令，则，所以在上单调递增，从而，即，所以在上单调递减，于是，即，又，所以，于是，而在上单调递增，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题34．（2019·辽宁省高三月考（理））已知函数．（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，若存在，，，使，证明：．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况，考虑函数的单调性；（2）不妨设，由，得，所以．构造函数，利用函数的单调性，可得，接着再转化一下，可证.【详解】（1）解：的定义域为，．①当时，恒成立，所以在上单调递减．②当时，令，得，则单调递减；令，得，则单调递增．综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：不妨设，由，得，所以．设，则，故在上单调递增．因为，所以，所以，即，故，所以，于是，则．【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式.35．（2019·海南省海南华侨中学高三月考（理））已知函数，，.（1）求证:；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为,的最小值为1.【解析】【分析】（1）构建函数，通过导数研究函数在单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数，通过分类讨论的方法，，和，利用导数判断函数的单调性，并计算最值比较，可得结果.【详解】（1）由所以.又，,所以在区间上单调递减.从而,.（2）当时,“”等价于“”“”等价于“”.令,则,当时,对任意恒成立.当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减.从而对任意恒成立.当时,存在唯一的，使得.与在区间上的情况如下:0↗↘因为在区间上是增函数,所以.进一步,“对任意恒成立”当且仅当,即,综上所述：当且仅当时,对任意恒成立;当且仅当时,对任意恒成立.所以，若对任意恒成立,则最大值为,的最小值为1.【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.36．（2020·辽宁省高三一模（文））已知函数，曲线在函数零点处的切线方程为.(1)求，的值；(2)当时，若有成立，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求，判断其单调性并结合零点存在性定理可求出函数的零点，根据导数的几何意义求出在零点切线的斜率，根据点斜式方程即可求出切线方程，再与比较对应项的系数，即可求出，的值；(2)构造函数，由单调性可知，从而可得，进而可得，再结合，即可证出.【详解】(1)由题意得：因为，定义域为.，因为，所以在上为减函数.因为，所以由零点存在定理可知，在上必存在一点使所以当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，所以极大值，故至多有两个零点，又因为，，故，是的两个零点，所以由，，所以两切线方程为：或所以或(2)由已知得，设，因为，所以在上为增函数，因为，所以当时，，即在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以，即，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理，在一点处的切线方程，构造函数证明不等式，属于难题.37．（2020·辽宁省高三一模（理））已知函数．（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；（Ⅱ）若有两个零点，求证：．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）见解析【解析】【分析】(I)先把代入得到，根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点和，代入求出切线斜率即可求出切线方程；(II)先构造一个函数，利用这个函数可得到，从而有，再构造，得到，有，再根据即可证明.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：，，定义域为，，，在上为减函数．，由零点存在定理可知，在上必存在一点使当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，极大值，故至多有两个零点，又，，故，是的两个零点，由，，易得出两切线方程为：或（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，设，，，在上为增函数，当时，，即在上为减函数，当时，，即在上为增函数，，即，设与的交点横坐标为，，为增函数，，同理设，，，在上为增函数，，当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，，即，设与的交点横坐标为，，为减函数，，故：，得证．【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用构造函数以及函数的单调性来证明不等式，属于困难题.38．（2020·合肥市第二中学高三月考（文））已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明：在上恒成立.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求出切线方程，（2）要证：，即证：；令，