专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分1．【解析】∵an11an，∴an是等比数列310141又a24，∴a14，∴S10331310，故选C．13132．D【解析】由数列通项可知，当1n25，nN时，an0，当26n50，nN时，an,0，因为a1a260，a2a270∴S1,S2,,S50都是正数；当51n100，nN同理S51,S52,,S100也都是正数，所以正数的个数是100.3．63【解析】通解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632．所以S61248163263．优解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n≥2时，anSnSn12an12an11，所以an2an1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S61(126)63．12高考真题专项分类（理科数学）第 1页—共10页2a12d34．n【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则4a143，n12d10解得a11，d1，∴Snna1n(n1)dn(n1)，所以122(11)，22Snk(k1)kk1所以n12[(11)(11)(11)]2(11)2n．k1Sk223nn1n1n15．1【解析】当n=1时，S1a11，所以11，nS1因为an1Sn1SnSnSn1，所以111，即111，Sn1SnSnSn1所以{1}是以1为首项，1为公差的等差数列，Sn所以1(1)(n1)(1)n，所以Sn1．Snn6．20【解析】由题意得：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a111nn1)nn121(2所以12(11),Sn2(11)2n,S1020．annn1n1n1117．【解析】当n=1时，a1=S1=2a11，解得a1=1，33当n≥2时，an=SnSn1=2a1－(2a11)=2a2a1，即an=2an1，3n33n33n3n∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(2)n1.8．（1）1，（2）1(11)1632100【解析】(1)∵Sn(1)nan1．2n1233－1①n3时，a＋a＋a＝－a84时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－1，∴a1＋a2＋a3＝－1.②16 16高考真题专项分类（理科数学）第 2页—共10页1由①②知 a3＝－ ．(2)n1时，Sn1(1)n1an1(1)n1，∴an(1)nan(1)nan1(1)n22当n为奇数时，an(1)n11an1；22当n为偶数时，an1(1)n．2(1)n1,n为奇数1故an2，Sn2n1,n为奇数(1)n,n为偶数0,n为偶数2∴S1S2S100(1111)2461002222114(12100)111(11)．113(12100)3210049．1830【解析】可证明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3a4n2a4n2a4n16bn16b1a1a2a3a410S151015141830．1516210．3018【解析】因为cosn的周期为4；由anncosn1nN22∴a1a2a3a46，a5a6a7a86，S201250363018．11．【解析】(1)由a4 2是a3，a5的等差中项得 a3 a5 2a4 4，所以a3a4a53a4428，解得a48．由a3a520得8(q1)20，q因为q1，所以q2．高考真题专项分类（理科数学）第 3页—共10页(2)设cn(bn1bn)an，数列{cn}前n项和为Sn．由cnS1,n1，解得cn4n1．SnSn1,n≥2由(1)可知an2n1，所以bn1bn(4n1)(1)n1，12故bnbn1(4n5)()n2，n≥2，2bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)(1)n2(4n9)(1)n3713．222设Tn37111(1)2(4n5)(1)n2，n≥2，2221Tn317(1)211(1)3(4n5)(1)n122222所以1Tn3414(1)24(1)n2(4n5)(1)n1，22222因此Tn14(4n3)(1)n2，n≥2，2又b11，所以bn15(4n3)(1)n2．212．【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q．由a11,a3a22,可得q2q20．因为q0，可得q2，故an2n1．设等差数列{bn}的公差为d，由435，可得b13d4.由a5b42b6，abb可得3b113d16,从而b11,d1,故bnn.所以数列{an}的通项公式为an2n1，数列{bn}的通项公式为bnn.(2)(i)由(1)，有Sn12n2n1，12nnn故Tn(2k1)2kn2(12)n2n1n2．k1k112证明：因为高考真题专项分类（理科数学）第 4页—共10页(Tk+bk+2)bk(2k1k2k2)kk2k12k22k1(k1)(k2)(k1)(k2)(k1)(k2)k2k，1所以，n(Tkbk2)bk(2322)(2423)(2n22n1)2n22．k1(k1)(k2)3243n2n1n213．【解析】证明:（1）因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n≥4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3,所以an3an2+an1+an1an2+an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”.（2）数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2a1a1a24a，①nnnn当n4时，an3an2an1an1an2an36an.②由①知，an3an24an1(anan1)，③an2an34an1(an1an)，④将③④代入②，得an1an12an，其中n4，所以a3,a4,a5,是等差数列，设其公差为d'.在①中，取在①中，取

n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d'，n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a22d'，所以数列{an}是等差数列.14．【解析】（Ⅰ）设an的公差为d，S77a428，∴a4a4a11，∴ana1(n1)dn．4，∴d3∴blgalg10，blgalg111，blgalg1012．111111101101（Ⅱ）记b的前n项和为n，则1000121000nTTbbb高考真题专项分类（理科数学）第 5页—共10页lga1lga2lga1000．当0≤lgan1时，n1，2，，9；当1≤lgan2时，n10，11，，99；当2≤lgan3时，n100，101，，999；当lgan3时，n1000．∴T1000091902900311893．15．【解析】（Ⅰ）当n1时，a122a14S134a1+3，因为an0，所以a1=3，当n2时，an2anan21an14Sn34Sn134an，即(anan1)(anan1)2(anan1)，因为an0，所以anan1=2，所以数列{an}是首项为 3，公差为 2的等差数列，所以an=2n1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=13)1(111)，(2n1)(2n22n2n3所以数列{b}前n项和为n1111111b1b2bn=2[(35)(57)(2n12n3)]11n.=4n63(2n63)16．【解析】（1）由题意知：a12a2nan4n22n1当n3时，a12a2=4221；2当n3时，a12a2+3a3=4322；23a3=432(422)32421a3=1+2（2）当n=1时，a1=4-21-1 =1；当n≥2时，由a12a2n2nan4n1知2高考真题专项分类（理科数学）第 6页—共10页a12a2(n1)an14n122n2n1n2n1，此时an=1两式相减得nann2n12n2n-1．2211为公比的公比数列，经检验知a1=1也满足an=．故数列{an}是以1为首项，n-1221[1(1)n]1故Tn22．112n12（3）由（1）（2）知，b1=a1=1．Tn1111211111(12n2当n≥2时，bnn23)ann(123)nn2n12(11111)1．n23n1n2n1当n=1时，S1=1<2+2ln1=2，成立；当n≥2时，Sn1[2(11)1][2(111)1]222132322[2(111111)1n1]n23nn2=12(1111111111123)(2n1)(223n1)n2222222111111112)11(342n12)(n1n(n1)3222n122n21111111112n2=12(23n)(12n1)2(2212)1211111111112n33(231122)n1(2n12n2)n(2n1)2=12(11111123)(1n1)(n1)n2221(11)1(11)1(11)3n1n22222(111)(1111)122(111)．23n23n2n123n构造函数f(x)ln(1x)1x,x0x高考真题专项分类（理科数学）第 7页—共10页f(x)x20,f(x)在0,+单调递增1xf(x)ln(1x)xf(0)01xx上恒成立，即xln(1)ln(1x)在0,+)<+x1x111+x1,n≥2，则ln(1)，令x=nnn11从而可得1ln(11)，1ln(11)，，1ln(11)，221331nn1将以上n1个式子同向相加即得111ln(123nln(23nn)121故S22(11n23

1)ln(11)ln(11)2131n1lnn，1) 2 2lnn综上可知，Sn22lnn．17．【解析】（Ⅰ）令n1得:S12(1)S1320,即S12S160,所以(S13)(S12)0，S10,S12,即a12.（Ⅱ）由Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0,得:(Sn3)Sn(n2n)0,an0(nN),Sn0,从而Sn30,Snn2n,当n2时,anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n,又a1221,an2(nN).n（Ⅲ）当kN时,k2kk2k3(k1)(k3),221644111111ak(ak1)2k(2k1)4k(k1)4(k1)(k3)24411111114(k1)(k1)14k(k1)4444高考真题专项分类（理科数学）第 8页—共10页1 1 1a1(a1 1) a2(a2 1) an(an 1)1(111)(111)111．41131(n1)124244n44418．【解析】(Ⅰ)S1a1.当n1时，2a1a1S1S1a10,a11.当n1时，ansn2ana12an1a12an2an1an2an1-sn1S1S1{n}时首项为1公比为的等比数列，n2n1,*.aqanNa（Ⅱ）设Tn1a12a23a3nanqTn1qa12qa23qa3nqanqTn1a22a33a