理论力学精品课程第十六章 虚位移原理

第16章虚位移原理※

约束广义坐标※

虚位移理想约束※

结论与讨论※

虚位移原理※

动力学普遍方程约束——非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到的限制.1.几何约束与运动约束几何约束在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。

§16-1

约束约束的分类或yxOAA0lCOyxvCC*运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。运动约束OyxAxByBxAyABvA其约束方程的一般形式:2.定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：yxvOM3.单面约束与双面约束双面约束——约束方程可以写成等式的约束。

单面约束——约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。BByxOyxOyxO单面约束还是双面约束？约束方程？yxOAAA0lA0l3.单面约束与双面约束4.完整约束与非完整约束

完整约束——约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。

非完整约束——约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。OyxAxByBxAyABvACOyxvCC*§16-2广义坐标与自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab广义坐标——确定质点系位形的独立参变量。广义坐标——确定质点系位形的独立参变量。用q1，q2，…表示。自由度——在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式:N=3n—s

§16-3虚位移和理想约束1.虚位移BAM质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。xyOF虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MM1drdrerdr——实位移

r

——虚位移实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。（2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。2.虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。W=F·

r

3.理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。W=M·

∑FNi·

ri

=0§16-4虚位移原理FiFNim1

rim2miFi

——主动力FNi——约束反力

ri——虚位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0∑FNi·

ri

=0理想约束FiFNim1

rim2miFi

——主动力FNi——约束反力

ri——虚位移

∑Fi·

ri=0

对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理§16-4虚位移原理

∑Fi·

ri=0

上式称为虚位移原理的解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。BAOMF例题1已知：OA=r

,AB=l,不计各杆质量。求：平衡时F与M间的关系。解：取系统为研究对象∑Fi·

ri=0

由运动学关系可知：CBADM例题2已知：菱形边长为a

,螺距为h，顶角为2，主动力偶为M.求：

物体C所受到的压力。CBADMFNrArC解：(1)取系统为研究对象(2)建立虚位移间的关系xy解法二：取建立图示坐标系FNCBADMOABCDPQ例题3图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB=1/3，求此系统平衡时主动力P

和Q间的关系。OABCDPQ解：(1)取系统为研究对象由运动学关系可知：rCrBrA例题4图示系统中除连接H点的两杆长度为l

外,其余各杆长度均为2l,弹簧的弹性系数为k,当未加水平力P

时弹簧不受力，且=0，求平衡时水平力P

的大小。解：(1)建立图示坐标系(2)系统的虚功方程PMqll2lABCDPMqABCDFDsEsD例题5求图示连续梁的支座反力。解：(1)解除D处约束，代之以反力FD

，并将其视为主动力。其中:解得:PMqll2lABCDFBsEsCPMqABCDsB(2)解除B处约束，代之以反力FB

，并将其视为主动力。其中:解得:由虚功方程，得代入虚功方程，得PMqll2lABCDFAsEsCPMqABCDsA(3)解除A处约束，代之以反力FA

，并将其视为主动力。由虚功方程，得其中:代入虚功方程，得解得:考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有主动力约束力惯性力令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为§16-5动力学普遍方程利用理想约束条件得到——动力学普遍方程

任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。动力学普遍方程

主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。应用动力学普遍方程

求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。由于动力学普遍方程

中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。

应用动力学普遍方程

，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用例题6已知：m，R,f，。求：圆盘纯滚时质心的加速度。CmgaCFIR

MICx解：1、分析运动，施加惯性力2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移x。3、应用动力学普遍方程其中：C2DC1ACB求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱加速度ar。例题7质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。C2DC1ACB解：1、分析运动三棱柱作平动，加速度为a1。圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae=a1；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。a1aear2C2DC1ACBa1aear22、施加惯性力FI2eFI2rMI2FI1m1gm2g3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。第一组第二组二自由度系统具有两组虚位移：x,xC2DC1ACBFI2eFI2rMI2FI1m1gm2gx4、应用动力学普遍方程令C2DC1ACBFI2eFI2rMI2FI1m1gm2gx令C2DC1ACBFI2eFI2rMI2FI1m1gm2gx

5、求解联立方程

结论与讨论1.虚位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移作用在质点上的力在虚位移上所做的功——虚功

2.理想约束

质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。广义坐标——确定质点系位形的独立参变量。自由