傅里叶光学金典试题及答案和重要知识点总结

光学信息技术原理与应用复习资料一、基本概念：傅里叶变换，傅里叶逆变换;正变换G(〃)=Jg(x)exp[-/2m/Wx逆变换g(x)=JG(M)exp[J2^u]dw—oo—XP,V-空间频率G(P,V)—频谱，傅里叶谱，角谱物理意义：1.一个空间函数g(x,y)，可视为向前传播的一列光波。它可分解为无穷多个传播方向不同的平面波。某一方向传播的平面波可视为一个空间单频信号。每个空间单频信号可■看作原函数g(x,y)的傅里叶分量，其振幅是该频率的函数G(U,v)。原函数g(x,y)可看作是所有傅里叶分量的加权的迭加，G(U,V)是其权重°频谱，空间频率；空间频率：沿某一特定方向传播的平面波具有单一的空间频率。定义为：cos。_cos/7其中:cosa、cosp为平面波的方向余弦。U=A2空间频谱:一般情况下可视为各平面波分量的振幅分布函数，高频分量的振幅较小，低频分量的振幅较大。脉冲响应，传递函数传递函数：平面波的角谱：4(〃,V,Z)=人(",0)•exp[狄zjl-cos?Q-cos'0]改写为：A：(",v,z)=Ao(/,v,z)・H(",v)其中H(//,v)=exp[jk#1-cos'Q-cos'/?]表征光的传播在频域中的特性。脉冲响应：惠更斯一菲涅尔原理：普通光源可看作若干个单个球面波照明的集合。U(Q)=JJh(P,Q)•U(P)dZ其中：h(P,Q)=S洱；此cos(nj)h称为脉冲响应函数它表示当P处有一点源时，在观察点Q处接收到的复振幅分布。//(x,j)=^-exp(jfe)expj-^-(x2+y2)廷L2zJ表示孔径中一点在观察平面上的响应，因而h(x,y)也称为点扩展函数。空间滤波，高通滤波,低通滤波，带通滤波，振幅滤波，位相滤波；空间滤波：利用透镜的傅里叶变换特性，把透镜作为频谱分析仪，改变物体的频谱结构从而改变像的结构。高通滤波：通高频信号阻低频信号，滤除频谱中的低频部分，增强模糊图像的边缘，提高对图像的识别能力,实现衬度反转；能量损失较大，输出结果一般较暗。低通滤波：通低频信号阻高频信号，用于消除图像中的高频噪声和周期性网格。带通滤波：利用信号能量集中的频带不同，选择某些频谱分量通过，阻挡另一些分量。振幅滤波：仅改变各频率成分的相对振幅分布，不改变其位相分布。位相滤波：仅改变各频率成分的相对位相分布，不改变其相对振幅分布。光波的复振幅，平面波的空间频率，平面波的角谱；一般描述：U(P)=Uo(P)exp[/0(P)]1/11单色平面波光场:一维U(x)=Aj2mix]二维U(x,y)=Aj2/r(ux+vy)]单色球面波光场:l/(x.v}=U(p)=，lexp[土水单色球面波光场:l/(x.v}=exnfik7.)exn/i—Lx—x.}2+(v—

汇聚U(x,y)汇聚U(x,y)=^-exp(-jk\Zl|)exJ-j

kJ[(x-x0):+(y-y0)2]2|4|J平面波的空间频率：与x方向对应：〃=字与y方向对应:口=警平面波的角谱：平面上光场复振幅可视为无穷多个'平面波分加权的叠加4C0S6Tcos/7、„rrr/、「rrrT/、「-。，cos。cos/7门..A(—=夕[4(工,)技心(x,y,z】)・e邳[—/2勿(二一x+—)，)]"&/)，AX8九zt4(££*,££彳，4)称为的角谱。XAu.,y)=Uj(x,y)•r(x,y)A,=A,*T孔径由单位振幅平面波垂直照明U,(x,y)=1TA,=STA,=5*r=r菲涅耳衍射(几种表达形式)空域:Ug,z)=exP/*Z)jju°(w°,0).exp{/?[(i°)2+()，-)，。)”灯5。成人ZTOC\o"1-5"\h\z卷积形式：U(x,y)=Un(x,y)^h(x,y)A(x,j)=^-exp(jfc)exp|j^(x2+j2)1A727傅里叶变换表达式：L」〃(m)=™^exp[/=(r+)「)]•皿。Cm)exp[jK「+)‘「)H〃xv'贝2z〔2乙万保总e邳(助因传播引起的总体位相延退及衰减j^Z-\,A<•exp[J—(x2+/)]因位置不同而引起的位相色散x)，ZZL1=——，—菲涅耳衍射可视为函数"o(3o)exp[，£(x「+)，「)]}的傅里叶变馅EB痼1频域(角谱)表达式：A("“)=&(",u)exp(水z)exp[—，尻z(/+v2)]A(",v)=A°(",“)•H(w,v)=exp(/Arz)exp[-j^z(w2+v2)]A(zav)衍射场角谱4(ZAV)孔径后角谱夫琅和费衍射(复振幅分布和强度分布的表达式)一一重在理解各项意义;_2_衣21及〃(x，y)=，xP."')expL/gc/+)，)]•尸｛〃o(Xo,y。)｝XJ欢2zu=—.v=4Z夫琅和费衍射可视为孔径函数仞。3。,光)｝的傅里叶变换在〃=?，强度分布I(X,y)=u(x,y)•U*(x,_2_衣21及透镜的位相变换作用，透镜的傅里叶变换性质；2/11双凸透镜的几何特征，决定了它的中心厚度与边缘厚度有差别，光束通过时，由于位相延迟各处不同，产生波面弯曲，光束传播行为改变透镜产生了一个位相附加值，相当于一个位相变换器。2/r•(X，力=exJ—j二(X2+y2)]

2/rL光波经透镜，附加一个二次位相因2.上式的推导仅依赖于透镜本身特性与入射光场无关;3虽从双凸透镜推出，但对任何形状透镜均适用;f>0为凸透镜，fV0为凹透镜。k⑤A*YyyU/k⑤A*YyyU/+），；）]•J（%，）%）•exp[-J2i（方X。+亓），0）心0奴>J—xyy"“，）））=两'exp]/物体紧靠透镜时，后焦面上可得其傅里叶变换，空间频率为：〃=与技=斗¥¥传播中有振幅衰减、位相延迟，还包括附加的二次位相因子。说明物体紧靠透镜时，得到的不是准确的傅里叶变换；焦平面上的强度分布为:A2②物体位于透镜前相距&处If（xf9yf）=|FF[r0（x0,j0位相弯曲的影响被消除。②物体位于透镜前相距&处d、82几1—-7（寿+）'：）]•[j，o3o，Vo）・exp[—/-^（勺必+为月小如如J）-x4/物体位于透镜前do处，后焦面上仍可得其傅里叶变换，空间频率不变；传播中有附加的二次位相因子，它还依赖于&的值，当do=f时，该位相因子等于1,影响消失，后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换；焦平面上的振幅分布为：U/（丁,七）=亮FF[f0（X。,％）L齐专物体位于透镜后uM，yf）=•-exp[j—（x；+y；）]>fJ/o（・E，y。）•exp[_/—（xfxQ+yfyQ）VxQdyQ\.^J"d2d二ActM仙d增大，可使后焦面上傅里叶变换的尺寸放大；d缩小，可使傅里叶变换的尺寸缩小。作用：改变物体与透镜的距离，可人为地控制频谱的收缩与展宽，空间滤波中有用。正透镜的脉冲响应是点物在像平面的光场分布1>不考虑孔径的衍射作用时：点物成理想点像，像是物的准确相似形。2、考虑孔径的衍射作用时：像是脉冲响应与物的几何像的卷积。3、脉冲响应是孔径的傅里叶变换或夫朗和费衍射图样，中心在（-Mxo,-Myo）点。衍射受限系统，阿贝成像理论；所谓衍射受限是指仅仅考虑系统的衍射限制，不考虏系统的几何像差。在衍射受限系统中，光的衍射仅受到系统孔径光阑尺寸的限制，因此在考察衍射受限系统时，实际上主要考察孔径光阑的衍射作用。如果入（出）射光瞳无限大，则光的衍射不受系统的限制，点物应该成理想的点像。然而,对于有限大的孔径，点物不可能成理想的点像。由于高频分量被有限孔径阻挡，不能参与成像，因而点物不能成理想点像O衍射受限系统的脉冲响应：用单色光照明时，脉冲响应是出射光瞳p（x，v）的夫朗和费衍射图样，中心在几何光学的理想像点处。阿贝成像理论。r阿贝二次衍射成像理论：（详见书中145页）成像过程包含了两次衍射过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为像，这是一次傅里叶变换逆过程。相干成像系统的点扩展函数，相干传递函数；,3/11相干照明系统中，脉冲响应是点物产生的衍射斑的振幅分布。h=F[Jy）]点源的“像斑”等于出瞳的夫朗和费衍射图样在〃=万U"=Mz-的值。

相干照明系统中，像是脉冲响应与理想几何像的卷积•像的强度：L=H*U「Gz=H•GgG,：像平面的频谱响应G,：几何像的频谱H=相干传递函数CTF10.非相干成像系统的点H(")=P(M〃，Mv)/,3，)")=外J岳Gf。，月-光)乙&。,光)也外0=*岳3况)*七3双)-X非相干照明系统中，像的强度是脉冲响应与理想几何像强度的卷枳。非相干照明系统的脉冲响应：点物产生的衍射斑的强度分布。非相干照明系统与相干照明系统脉冲响应的关系扁3.况)=平(％"2像强度L0，月)=庙13,y.)*-3,力)|——A,(〃,V)=乩(“,v)•4如)光学传递函数的规范化值OTFJ7岳—，J2於土+外)］衣吐,_H.成像系统的截止频率；j项，3况所祜,光瞳的尺寸是有限的，物函数的空间频率分量不可能全部通过光瞳而进入系统，把能够通过系统的最大频率称为截止频率记为fwj,人D12.光学信息处理。光学信息处理：指用光学方法实现对输入信息的各种变换或处理。这些输入信息可以是光信息，也可以是电信号或声信号，但需要用电光、声光转换器件，把它们变为光信号，再输入光学系统处理。二、基本技能:1、简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单缝、多缝、矩形光栅、余弦光栅等;矩形光栅(Ronchi光栅)：卷积形式余弦型振幅光栅：/(%%)=X。L-+ycos(2^/0x0)余弦型位相光栅:X心0，)'。)=Xrect/?t=-x，3o,无)=expJycos(2^/0x0)2、6函数的运算，卷积和相关的运算.图解表示；6函数的性质：①偶函数性质：S(-x)=S(Q②坐标缩放性质：5(or)=fs(x)③筛选性质：(x)3(x-x0)dx=f(x0)乘积性质：/(%)•s(x-xo)=f(xo)^s(x-xo)卷积性质：f(x)*s(x)=f(x)f(x)*s(x-xo)=f(x-x0)梳状函数comb(x)间隔为余弦型振幅光栅：/(%%)=X。L-+ycos(2^/0x0)余弦型位相光栅:梳状函数comb(x)间隔为T:勇S(x—")=上文5n=—x'〃=-ccx—-H4/11卷积：g(x)=/(x)*h(x)=匚佑)/?0-U对步骤：置换变量：/ho和f2(o第一步翻转：将£($翻转，得到/2(-0

第二步平移：将及K)平移到一x处，得到"8第三步相乘：*($xf2(x-f)第四步积分：L九愆)人a—')处求曲线下的面积。4/11相关：r/g(x)=f(x)^g(x)=f(x)*g*(-x)=匚/(S)g*(g-x)此第一步取复共轴第二步平移第三步相乘第四步枳分当g(x)为实偶函数时：/(Q*g(x)=/(x)*g(x)3、常用函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶变换，图解表示;F{l}=S(〃,u)F{S(〃,u)}=l梳状函数的F.T.仍为梳状函数P{comb(x)}=conibQ/)F<:comb(j)}=comb(m)(3)F{/rc/(x)}=sinc(//)F(smc(x)}=rectal)F{Gsfs(x)}=Gcius(ja)F{S(x-a)}=皿(-j2mui)F{e^(j2牛点=5(〃-//0)F{cos(2^/0x)}=-[$("-y/0)+5(〃+〃°)]尸(sm(2^/ox)}=—[$(〃-以°)-3(〃+//0)]2JF{m(x)}=siiic2(//).尸{部(；)}=々/"F{cr'rc(r)}="仅四)4、平面波和球面波复振幅的数学描述；见基本概念第5条5、透镜的傅里叶变换功能和成像特性，傅里叶变换定理的光学模拟；见基本概念第7条傅里叶变换定理的光学模拟：Li:扩束镜L2：准宜透镜L3：傅里叶变换透镜①to：物体必须取平面透明物②照明光束可以是单色光，也可用复色光。6、简单孔径和光栅的夫琅和费衍射图样的计算和画图(含透镜焦平面上的复振幅和光强分布)；，0(我0,)'o)=，(工0,)、)①^孔衍射：设：矩孔的长、宽分别为a,b透过率函数gyo)=iect(专)典(令)，0(我0,)'o)=，(工0,)、)〃(X，y)=二eq(水Z)•FF[〃°(%%)]=F=p/Z?|snic(cm)suic(bv)ll=xv=i=^e军(*z)・e厘，=(亍+)」)]•沥sinc(w)sinc(费)|"=三,=兰jMZL2z」ZzAz1,s=—e^(Jk[)・e冲尝勺)].abs^^sd^-}ax/（］,），）=U（x,y）・U*（x,y）=②圆孔衍射:设：孔半径为aaS=cucax・•>iI，八•，sine」——sme*FF[—孝也2mpU(r)=^—exp(水勺)・J农。叮哑。0。）1二左0=土曲5可尝］.7HI/（，•）=W-expg).exJ徂2J[(kdg)kar/z°d2J^kar/zQ)

kar/zQ*8③双缝衍射："氐）=ff{"）}=ff4-d}+*七2J[Q7U：ip)2初Q丰-expgo)・exJ^O.,or、,7idx、smc(—-)cos(—-)•2ax2如一、sine（）cos（）^Zo7、简单出瞳的相干传递函数与光学传递函数的截面图，例1、边长为/的方孔（出瞳），求相干传递函数1(x)=截止频率的计算。H和/cut第一步:求光瞳函数表达式：P3）'）=iectX[7)rect第二步:求H：//（"〃）=第三步:求/c:将传递函数H变为标准型.可求得截至频率。丰-expgo)・exJ^O.,or、,7idx、smc(—-)cos(—-)•2ax2如一、sine（）cos（）^Zo7、简单出瞳的相干传递函数与光学传递函数的截面图，例1、边长为/的方孔（出瞳），求相干传递函数1(x)=截止频率的计算。H和/cut第一步:求光瞳函数表达式：P3）'）=iectX[7)rect第二步:求H：//（"〃）=第三步:求/c:将传递函数H变为标准型.可求得截至频率。//(w,v)=rect2"exp。/冬)・expJ-—I2z°例2、衍射受限系统的出瞳是边长为/的正方形，求：该系统的OTF和截止频率九e第一步：求光瞳函数表达式：P（A；y）=rectf—1第二步：用图解法求重叠面积：''f（/-祠|M-初JM）V

rect—

U重叠面积=重叠面积

总面积°风，r（1功刷-翎M）/尸三、综合能力：1、阿贝波特实验的数学分析和图解表示；阿贝一波特实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：像的结构直接依赖于频谱的结构，只要改变频谱的组分，便能够改变像的结构实验充分证明了傅里叶分析的正确性：（1）频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息o（2）零频分量是一个直流分量，它只代表像的本底。X（3）阻挡零频分量，在一定条件下可使像发生衬度反转。■（4）仅允许低频分量通过时，像的边缘锐度降低：仅允许高频分量通过时，像的边缘效应增强。（5）采用选择型滤波器，可望完全改变像的性质。2、几种典型的光学图象处理原理和方法（包括空域调制和频域调制）,空域调制①。调制（用于假彩色编码）先用不同方位角的光栅分别对输入图像的不同区域预先进行调制。这样制成的编码物片放在系统的物面上，用白光点光源照明时，在频谱面上与图像各区域相对应的频谱成分出现在不同方位上，不同方向的频谱均呈彩虹颜色。用狭缝做滤波器，在不同方位角上可抽取不同区域的像，如果在滤波器上开一些小孔，在不同的方位角上,小孔可选取不同颜色的谱，将得到一个假彩色的输出图像。②用黑白胶片保存彩色图像（任何颜色都由红、绿、蓝三原色按比例合成）彩色图像的编码和存储：用取向不同的光栅对图像进行编码。按彩色胶片、滤色片、Ronchi光栅和黑白照相底片的顺序米接触曝光。滤色片分别采用红、绿、蓝三色，对每一种滤色片，光栅取不同的方向。三次曝光在同一张黑白底片上，经显影、定影处理后得到一张经彩色编码的黑白胶片，它存储了原彩色胶片上包括颜色在内的全部信息。彩色图像的还原一解码：将黑白编码片放在4f系统的输入平面，采用白光点光源经准直透镜照明。由于黑白胶片被三个不同取向的光栅所调制，在频谱面上，其频谱分布在三个不同的取向上，分别载有红、绿、蓝三种颜色的信息。采用的滤波器与。调制类似。在三个不同的方向上开三个通光孔，适当选择它们的位置，令其分别通过红、绿、蓝三种颜色，各个小孔所透过的颜色应与编码记录时——对应，这样，在输出平面得到合成的原帝臼图样。频域调制：①多重像的产生:用余弦光栅调制频谱②图像的相加和相减：利用产生多重像的原理，用一维余弦光栅调制频谱。光栅滤波器的作用：透射光波能产生零级和±1级衍射光，相当于三个不同方向传播的载波来传递信息，因而它可■以是使输入面的物体产生三个像.图像A的+1级像和图像B的一1级像恰好在像面中心重叠，若它们位相相同，则实现相加：位相相反，则实现相减。相对于光轴移动光栅，来控制位相。光学微分一像边缘增强：用微分滤波器实现。QCjlTUl光学图像识别Y征识别：用全息匹配滤波器实现。当输入图形与滤波器匹配时，出现亮点；当输入图形与滤波器不匹配时，出现模糊斑。图像消模糊一使模糊图像恢复清晰：用逆滤波器实现。用于图像处理的光学系统结构图示，空间滤波器的选择，各种编码和解码方法。1、三透镜系统（4/系统）2、二透镜系统照明光是发散球面波的情况(1)二透镜系统（2）信息光学试题解释概念光谱：复色光经过色散系统（如棱镜、光栅）分光后，按波长（或频率）的大小依次排列的图案。干涉图：在一定光程差下，探测器接收到的信号强度的变化，叫干涉图。傅里叶光谱学的基本原理是干涉图与光谱图之间的关系，是分别用复数形式和实数表示之。复数形式方程：实数形式方程：%）=（co〃stan，）捍｛［/啪一S/皿］cos（2厅潦）｝展何谓Jacquinot优点?干涉光谱仪的通量理论上约为光栅光谱仪通量的多少倍？TOC\o"1-5"\h\zJacquinot优点是：高通量。E,M/・对相同面积、相同准直镜焦距、相同分辨率，干涉仪与光栅光谱仪通量之比为W对好的光栅光谱仪来说，由于f/I'>30则即干涉仪的通量为最好第栅干涉仪的190倍。何谓Fellgett优点？证明干涉光谱仪与色散型光谱仪的信噪比之比为（5）/=心心,m为光谱元数。.<4^（S/N）gVIFellgett优点：多重性。人0设在一扩展的光谱带勺一b：间，其光谱分辨率为岳，则光谱元数为M="j/8a=W对光栅或棱镜色散型光谱仪，设7为从/—b,的扫描总时间，则每一小节观测时间为7Z",如果噪音是随机的、不依赖于信号水平，则信噪比正比于对干涉仪，它在所有时间内探测在名一E间所有分辨率为跖•的小带，所以探测每一个小带的qA）£时间正比于T,即（2）,oc（T）1因此Q/=M^N（S/\单色光的干涉图和光谱表达式是什么？在实际仪器使用中，若最大光程差为L,试写出其光谱表达式一一仪器线性函数（ILS）o单色光干涉图表达式：［九（必—：O（0）］=2cosQ应0）其中勺为单色光的波数，S为光程差。光谱的表达式：B9）=2乙严［2邳’+吓］+sinMg-b）L］｝2汗（’+b）L24（’一b）L仪器线性函数：B（b）=2Lsinc［2双’一a）L］何谓切趾？试对上题ILS进行三角切趾，并说明其结果的重要意义。10/11切址：函数sinc［2/rG-b）£］是我们对单色光源所得到得一个近似，其次级极大或者说“脚“是伸到零值以下的22%处，它稍稍有点大。我们可以把一个有限宽度的中央峰值认为一个无限窄带宽的一个近似，但是这个”脚“会使在这些波长附近出现一个错误的来源。为了减小这个误差，我们通过截趾的方法来减小这个”脚“的大小，这就叫切趾。三角切趾后的仪器函数：B(b)=Lsinc|>(b］-。)乙］2重要意义：在6=0处只有一个极大、截趾函数值。而在8=L处，截趾函数值为零，我们在小光程差处加的较大而在最大光程差处加较小。在最大多数的实际情况中我们喜欢干涉图中信噪比高的数据。在截趾的一般理论中，所有的单色光源都是没有问题的，