高等数学教案 第九章 9-1多元函数的基本概念

南京信息工程大学孟祥瑞南京信息工程大学孟祥瑞PAGEPAGE549§91多元函数的基本概念内容提要：理解多元函数的概念和二元函数的几何意义；多元函数极限的概念；多元函数连续的概念；有界闭区域上连续函数的性质重点分析：多元函数的概念、极限、连续及连续的性质难点分析：二重极限的计算；二重极限不存在的判定方法；二元函数的连续性的概念一、平面点集n维空间一元函数x二元函数(x一、平面点集n维空间一元函数x二元函数(x,y)R1中的点集 ——>平面点集——>1 2Rn中点集

,x)nR1中的两点间距离——>平面上两点间距离——> Rn中两点间距离R1中的区间 平面上区域 ——> Rn中开集、闭集等R1中的邻域 R2中的邻域 ——> Rn中的邻域1、平面点集由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的。这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。二元的序实数组(x,y)的全体，即R2RR(x,y)x,yR就表示坐标平面。平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作E(x,y)(x,y)具有性质P。 r为半径的圆内所有点的集合是C(xy)x2y2

r2 。如果我们以点P表y)以OP表示点P到原点O的距那么集合C可表成C{POPr}。邻域P(x,

)xoyP(x,

)距离小于的点0 0 0 0 0 0P(xy

的邻域，记为U(P,)，U(P,) 0

|PP0

0

0(xx)2(xx)2(yy)20 0

.P0 点P的去心邻域，记为o(P,P0 0 0(xx(xx)2(yy)20 0U(P,) 0

P0|PP0

(x,y)|0

.区域内点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域E,PEU(PEPE内点EE。外点：若存在点P的某一邻域U(P)E,PE则称P为E的外点。E的外点必不属于E。开集：若点集E的点都是内点，则称E为开集。E1

{(x,y)1x

y

4}即为开集。边界点：PEE的点（P属于E，也可以不属于E，则称P为E边界点。如上图E的边界点的全体称为E的边界，记为E。DDDD是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，{(xy|1x2y

4}.yox开区域连同它的边界一起称为yoxyo例如，{(xy|1x2yyo

4}.x对于点集E如果存在正数K使一切点PE与某一定点A间的距离AP不超过K，APKPEE有界点集无界点集。例如，{(xy|1x

y

4}有界闭区域；{(x,y)|xy0}无界开区域。聚点：E是平面上的一个点，如果点P有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点（0P的去心邻域o(P,)内总有E中的点，则称P为E聚点）说明：a.内点一定是聚点；b.例{(xy|0x2y

1}，(0,0)既是边界点也是聚点。c.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E。例如,

{(x,y)|0x2y

1}，(0,0)是聚点但不属于集合。例如,

{(x,y)|x2y

2、n维空间n

n (x,

,,x) nn维空间：

为取定的一个自然数，我们称

元数组1 2

n 的全体为

维空间，而每个n

元数组

(x,x1

,,x)n

称为n

维空间中的一个点或一个n

xi称为该点的第i个坐标或n维向量的第i个分量。说明：nRn；Rn0Rn中的坐标原点或n维零向量；在Rn中定义线性运算（和差、数乘；n设两点为

P(x,x1

,,xn

), Q(y,y1

,,y),n

间的距离，记作

(x,y)

，规定1(x,y)|PQ(1

x)2(y1

x)2(y2

x)2.n特殊地当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。Rn中中元素x(x,x,

x0之间的距离(x,0)x（R1R2R3中1 2 n通常将x记作x，即x

x2x2

x2。1 2 n结合向量的线性运算，可得xy(x,y).Rn中的变元的极限设x(x,x, ,x)，a(a,a, ,

Rnxa0xRn中1 2 n 1 2 n趋于固定元axa。显然，xax1

a,x1

a2

x a。n nn 邻域：

U(P,)0

P|PP0

,PRn内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义。二、多元函数概念定义1：设D是R2的一个非空子集，称映射f:DR为定义在D 上的二元函数，通常记为zf(x,y),(x,y)D（或记为zf(P),PD。其中点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量，函数值f(x,y)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f(D)，即f(D)zf(x,y),(x,y)D类似地可定义三元及三元以上函数。当n2时，n元函数统称为多元函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。arcsin(3x2y2)xy2例1求f(xxy2

的定义域。解：南京信息工程大学孟祥瑞南京信息工程大学孟祥瑞PAGEPAGE5543x2y21

2x2y24二元函数的图形通常是一张曲面。例如,zsin二元函数的图形通常是一张曲面。例如,zsinxyz例如,x2y2z2a2D{(x,y)x2y2a2}.单值分支:za2x2y2z a2x2y2.oyxxy20 xy2所求定义域为D(x,y)2x2y24,xy2 。zf(x,y)的图形：zf(x,y)D，对于任意取定的P(x,yDzf(x,yxyz为竖坐标在空间就确定一点M(x,yz)xD上一切点时，得一个空间点集yz)zf(xy),(xy三、多元函数的极限2：zf(x,yDP(xy

)是其聚点，如果对于任意给定0 0 0的正数总存在正数使得对于适合不等式0PP 0

(xx0

)2(yy)20

的一切点，都有f(xyA成立，则称Azf(xyxxyy时的0 0）极限，记为 limf(x,y)A（或f(x,y)0)这里PP）0yxxy0y0也记作limf(P)A（或f(P)APP0说明：

PP0）。PP0

的方式是任意的；limf(x,y（yxxyy0二元函数的极限运算法则与一元函数类似。

lim(x,y)(x,y0 0

f(x,y)；例2（p7例4） 求证lim(x2y2x0y0

1x2y2

0,(x2y20) 。1 1(x2y2)sin

0x2y2sin ,当0 (x ,当0 (x0)2(y0)2时，(x2y2)sin1x2y20原结论成立。3求极限limsin(x2y)。x0x2y2y0limsin(x2y) limsin(x2y) x2y , x0 x2y2 x0 x2y x2y2解：y0 y0limsin(x2y)

sinux0y0

x2y

ux2y

limu0

u 其值随k的不同而变化，故极限不存在。确定极限不存在的方法：P(x,yykxP(x,y，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；0 0找两种不同趋近方式，使limf(x,yf(x,y)yxxy0y0P(xy处极限不存在。0 0sin(xy)

xy

1x2例51）lim

（）lim

（）

lim1 xyx0 y2

xy

x2y2 x xya（1）原式limsin(xy)ylimsin(xy)limy122；x0 y2

xy0

y2（2）因为 0 x

xy

11 1 x2y2 2xy 2y x又lim1

10

x

0；x2y x

x

x2y2x2yx2x2yx2y2 x2 x0,1limsin(x2y)0.x0y0x2y24证明limx3yx0x6y2y0不存在。证：ykx3limx3yx3kx3kx0x6y2y0limx0ykx3x6k2x6 1k2南京信息工程大学孟祥瑞南京信息工程大学孟祥瑞PAGEPAGE557lim

11xx

11xxy（3）原式

xxxxxya

xxx xxyalimee

xxy

lim 1x1yxya

eya x e。利用点函数的形式有n元函数的极限：2设nf(P的定义域为点集D，P0

是其聚点，若对于任意给定的正数，总存在正数0PP0

PDf(PAA为nf(PPP0

limf(P)A。PP0四、多元函数的连续性1、连续性3：设nf(Pf(xyDP0

P0

D，如果limf(P)

lim f(x,y)f(x,

)f(P)，则称n元函数f(x,y)在PP0

(x,y)(x,y)0 0

0 0 0P(x,y

)处连续。0 0 0若函数f(x,y)在D的每一点都连续，则称函数f(x,y)在D上连续，或称f(x,y)是D上的连续函数。推广：n元函数的连续性f(PP0

P0

是函数f(P)的间断点。孤立点：0,0(P,)0

EP0

为E的孤立点。zf(xy的不连续点。沿D内某些曲线，函数f(x,y)没有定义，则这些曲线上的点是函数的间断点。z

1x2y21

x2y2

1没有定义，该圆周上各点均是间断点。x3y3x2y2

, (x,y)(0,0)例6讨论函数f(x,y)

0, (x,y)

在(0,0)处的连续性。f(x,y)f(0,0)2，故lim f(x,y)f(0,0)，即函数(0,0)处连续。(x,y)(0,0) xyx2y2

, x2y20解取xcos, ysin，解取xcos, ysin，f(x,y)f(sin3cos3)2，0，当02x2y2时，0,x2y20解ykx，limxykx2x0x2y2y0limx0x2k2x2ykxlimkx2x0x2k2x2ykx其值随k(0,02、有界闭区域上多元连续函数的性质：性质1、最大值和最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。DP

，使得Df(Pf(Pf(P)1 2 2 1性质2、介值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。※性质3、一致连续性定理：在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续。3、多元初等函数定义4多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。注：一切多元初等函数在其定义区