单调性与最大(小)值知识点

单调性与最大(小)值1.单调性：设函数y=f(X)的定义域为A,区间M匸A.如果取区间M上的任意两个值x1,x2，改变量Ax=x-x>0，则当Ay=f(x)-f(x)>0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数；Ay=f(x)-f(x)V0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数•如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).(Ax，Ay同号，平均变化率竺>0,增函数；Ax，Ay异Ay号，平均变化率竺<0，减函数).证明函数单调性应该按下列步骤进行：第一步取Ay值;第二步作差;第三步变形;第四步：定号;第五步判断下结论函数的单调性常应用于如下三类问题：(1)利用函数的单调性比较函数值的大小．(2)利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．(3)利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值.若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递增，则函数值域为(f(a)，f(b))若函数y=f(x)在定义域C,b)上递减，则函数值域为(f(b)，f(a))；若函数y=f(x).在定义域la,b］上递增，则函数值域为［f(a)，f(b)］；若函数y=f(x)在定义域la,b］上递减，则函数值域为［f(b)，f(a)］；若函数y=f(x)在定义域la,b］上递增，则函数的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若函数y=f(x)在定义域|a,b］上递减，则函数的最大值为f(a)，最小值为f(b)；最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xEl，都有f(x)WM;(2)存在X0EI，使得f(x0)=M，那么，称M是函数y=f(x)的最大值最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xEl，都有f(x)$M; (2)存在X0WI，使得f(x0)=M，那么，称M是函数y=f(x)的最小值注意：1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在X0WI,使得f(x0)=M；2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xEl,都有f(x)WM(f(x)$M).利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；2.利用图象求函数的最大(小)值；3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值；如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调递增，则函数y=f(x)在x二a处有最小值f(a),在x二b处有最大值f(b)；如果函数y二f(x)在区间［a，b］上单调递减，在区间［b，c］上单调递增则函数y二f(x)在x二b处有最小值f(b)5•复合函数y二f[g(x)]在公共定义域上的单调性的判断对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果u=g(x)在区间(a,b)上是具有单调性，当xW(a,b)时，uW(m,n),且y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)〖JP〗具有单调性的规律见下表(可总结为：“同增异减”)比如：f(x)=2x+l是增函数,g(x)=3x+4是增函数，则f(g(x))=2(3x+4))+1是增函数；f(x)=2x+1是增函数，g(x)=-3x+4是减函数，则f(g(x))=2(-3x+4))+1是减函数；f(x)=-2x+1是减函数,g(x)=3x+4是增函数,则f(g(x))