第二章极限习题极限的四则运算高中教育文档

分类讨论求极限例已知数列｝、s｝都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p>q,nn且p丰1,q丰1且p丰1,q丰1,设c=a+bnn,S为数列C｝的前n项和nn求lim$nS_1n-82n(1997年全国高考试题解:apn-1-4 -理科难度0.33)b(qn-1)a—a。-1n-1-"+b(p-17qa—a。-1n-1-"+b(p-17qn-1-1n—1'夕％—1))^—J)・limpna(q—1J1—pn-1pnj

广+b(p-1J丝1 Ipnpnpn-1+b(p-jqn-1-1 Ipn—1 pn—1jS nSn-1分两种情况讨论;(1)当p>1时，：p>q>0S••lim—«—Sn-82n-1a=p.一a:(q-1)1-0)+b(p-a=p.一a1(q-1)1-0)+b[p-1)x0a(-1J二P.叩二P(2)当p<1时，：0<q<p<1,limn-8n-1=limn-8a(q-1a 'n-1^4n-1-14b1a(q—1)x(0—1)+b(p—1)x(0—1)

1*(q—1)6—1)+*(p-1)6-1)(q-1)-b(p—1).

1G-1)-b-1)"1说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法.自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限:(1)limX—8(2)limX—8、8分析：第（1）题中，当X—8时，分子、分母都趋于无穷大，属于“一”型，变形8的一般方法是分子、分母同除以X的最高次幕，再应用极限的运算法则.X2第⑵题中,当X-8时,分式2X2-1与E都趋向于8,这种形式叫“8—8型，变形的一般方法是先通分，变成“8”型或“o"型,再求极限.解：(1)limX-8511— +二lim1X21X4X—8- -2X2X4lim1—lim—+lim—=X—8X—8X2X—8X4limX-8X4—limX-8X2-lim20-0-2 2X-8(2)limX—8、=limX—8(2X2—1)(2X+1)=limX-8(2X2)(2+1)Xlim(1+—)Xf8 X1 1、(2—0)(2+0)4lim(2——)lim(2+—)Xf8 X2Xf8 X说明：“8”型的式子求极限类似于数列极限的求法.8无穷减无穷型极限求解例求极限:(1)(2)分析:।।lim(V1+x+x2—%,1—x+x2)Xf—8lim(X.1+x+x2—11—x+x2)Xf+8含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限.解：(1)原式=lim- : Xf-^V1+X+X2+\；1—X+X2=limXf-»=limXf-^1 1 1 1 1 1I， +—+*1+ ——+1VX2XXX2 X(2)原式=lim- . xf+=»\：1+X+X2+\：1—X+X2=limXf+^=1.'+1+J-1+1XX2X\X2Xt n~~r-,vr+x+V1+V1+X+X2+\：1—X+X2利用运算法则求极限例计算下列极限:((1)limnf8、

⑵lim1—-+.•.+(-1)-113927 3n.（1992年全国高考试题，文科难度0.63）解：（1）原式=lim2=lim2E高=limn-8 n-8n-83-1n一「解：（1）原式=lim2=lim2E高=limn-8 n-8n-83-1n一「3(2)原式=limln-8 1—卜1;I3)「1、I3)r1=lim—4n-8=ill-01=1说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除的适用范围，下面的计算是错误的：超出了法则(1)原式=limn-8+limn-84 「3n-2 +...+lim n-8n2+1（2）原式=lim1-=lim1-lim1+lim—+…+limQ1)-1—=1-1+-〜3 〜9 〜27n-8 n-8 n-83n3927+...+0= 1-3T~用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设p例 设peN*，求limn-81 1P\1+11+—In)八1、分析：把1+-八1、分析：把1+-In）乙1)解：:1+-In)=1+C1—+C2(—)2+•・・+Cp+1(—)p+1p+1n p+1np+1np+1用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得.一1=C1+1C2一1=C1+1C2+(1)2C3+…+Cp+1(1)pp+1 n p+1p+1p+1n1p+11+一1=C1 =p+1p+1或：逆用等比数列求和公式:原式=lim1+1+1]+1+-2+■■■+(1\

1+-VnJ=1+1+….+1=p+1p+1个说明：要注意p说明：要注意p是与n无关的正整数，1+-p+1不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等.零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求lim(、,n+1一“：n>qn.n-88 8分析：当n—8时，所求极限相当于0-8型，需要设法化为我们熟悉的一型.8解：lim(%,n+1一、；n)%nn-8=limn-8(x,n+1一nn)Qn+1+v;n)=limn-8(、；n+1+nn)=lim—=lim—\n—8xn+1+<n说明：对于这种含有根号的0说明：对于这种含有根号的0-8型的极限可采取分子有理化或分母有理化来实现.如本题是通过分子有理化，从而化为v本题是通过分子有理化，从而化为vn8即为一型，也可以将分子、分母同除以n8的最高次幕即％n，完成极限的计算.根据极限确定字母的范围例已知limn-84n+2+(m+2)n-16，求实数m的取值范围.例已知limn-84n+2+(m+2)n-16，求实数m的取值范围.分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决.4n解：lim =lim n-84n+2+(m+2)nn-8”16+于是<1,即一4<m+2<4,-6<m<2.说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim——n-816+1-=可知，n16极限必为0,而qn-0的充要条件是|q|<1,于是解不等式零比零型的极限<1.例求limx—0……人0-一分析：这是一个0型的极限，… 1。1+x—1显然当x-0时，直接从函数* 分子、分母中x约去x有困难，但是101+X-1当xT0时也趋近于0,此时x化为(101+1)10-1,这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设y=10；1+x，则x=y10-1.解：设J=1Q'1+x，则x=>10-1,于是，当x—0时，y-1.「y-1 「原式"lim =lim =一y-1y10-1 y-1y9+y8+ +y+110说明：本题采用的换元法是把x-0化为y-1-0，这是一种变量代换.灵活地运用0这种代换，可以解决一些0型的极限问题.x2—1 .例如对于lim,我们一般采用因式分解，然后约去x—1,得至Ulim(x+1)-2.其x—1x—1 x—1实也可以采用这种代换，即设t-x-1,则当x—1时，t—0，这样就有limX2--limX2--lim

x—1x-1t—0(t+1)2-1

t-lim(t+2)-2.t—0组合与极限的综合题Cn例 lim一»n—8Cn+12n+21A.0B.2C组合与极限的综合题Cn例 lim一»n—8Cn+12n+21A.0B.2C.-2D.分析：将组合项展开后化简再求极限.Cn解：lim—2n-n—8Cn+12n+2-limn-8(2n)!(n+1)!,(n+1)! ・ n!n! (2n+2)!-limn-8-limn-8(n+1)2(2n+1)(2n+2)

n2+2n+114n2+6n+2 4故应选D.说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念.高考填空题1.-，n、计算lim(--)n-n+2n—8nJ2.若数列^a｝的通项公式是an n——i——(neN*)n(n+1)贝Ulim(a+n2a)-1n-83.1.解析lim3.1.解析lim2n-8\n十2n-lim1n-8\1+(—2nn+2-e-2n+3、计算：lim( )n-n—8n+1 一. 一..1)说明：利用数列极限公式lim1+-n-e，把原题的代数式稍加变形即可获解.本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力.2.解析2.解析•••an，.」an(n+1) 1n(n+1)=lim(1+

n-82说明：本题的思考障碍点是如何求a说明：本题的思考障碍点是如何求aJ只要懂得在通项公式中令n=L可立得a1的具体值，本题考查数列极限的基本知识.3.解析lim(n-8=lim(1+=lim(1+n+1)2n+1n-8说明：本题考查数列极限公式的应用.根据已知极限和四则运算求其它极限例若lim2na=1,且lima例若lim2na=1,且lima存在，则lim(1-n)an-8nn-8n-8A.0B.2C.D.不存在分析:根据题设知na分析:根据题设知na和a均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论.解：,/lim2nan-8-1,limna存在,

nn-8lima-解：,/lim2nan-8-1,limna存在,

nn-8lima-n-8 lim2na-lim-=0n-82n「.lima=0nn-8n-8又lim2na-1,limna

nn-8n-8n-8-lim(a-na

nn-8)-limann-811一limna=0一一二—n-8说明：lima是关键，不能错误地认为limnnT9nT9a=0,lim(1-n)a=0.nn

nT9两个数列说明：lima是关键，不能错误地认为limnnT9nT9a=0,lim(1-n)a=0.nn

nT9两个数列｝、%｝的极限存在是两个数列的和.差、积存在极限的充分条件.但的极限不一定存在.化简表达式再求数列的极限例求下列极限（1）limnT9\ + + +...+ n2+1n2+1n2+1n2+1)1+L1+..J39

lim 11 nT91+1+1+…+24limn1--1--1--…1—nT9分析:先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算.解：（1）原式=limnT93+5+7+…+(2n+1)1+2n(n+2) n=lim =lim n-=1nT9n2+1 nT91+n24r=—lim——3nnT91-4r=—lim——3nnT91-nT92\lim1-lim\lim1-lim—3nT9)lim1-lim—-2nT9nT9/2/2(3)原式=limln--nT92n=lim =2.n+2nT9n说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为limn-sinlimn-sin23*+1)(5\=0,lim n-sin2+1)二0而得到（1）的结果是0.无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限:limn-s2limn-s2n+1—5.3n+13・2n+4・3n1一anlim (a>0)n—s1+an分析：第（1）题属“S”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幕的值最大的式子.第s（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论.解：（1）原式=limn-s2•2n一15・3n(2\n2•—-15=lim一n-s3・13)(2\n—+4(2)n2lim±-lim153n-s n-s

2x0-15_15 - 3x0+4 4((2)当0<a<1时，lim-~an~=lim-~-=0,n-s1+an n-s1+1(11n[_-11—an Ia)当a>1时，lim=lim—— n-s1+an n-s(1>“—+1Ia)(11lim—n-sia)n-lim1n-s(1)nliml-n-sia)+lim1n-s说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为lima=0.nn-s根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列｝的首项为a，公比为q，且有lim（3-qn]=1，求a的取n 1 n-si1+q ）2 1值范围.分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知limqn存在，因此可得q的取值范围，n-s从而确定出。1的取值范围.解：由limn—8解：由limn—8、a——1+q)一qnJ得limqn存在.n—8q|<1且q丰0或q-1..q-2%-1,2a-1<1解得0<%<1,1又q丰0，因此a。万.TOC\o"1-5"\h\z一.(a 一、1 一当q-1时，这时有lim—-1=一， ；.a-3.n一八2 J2 11综上可得：0<a<1，且a。彳或a=3.1 12 1说明：在解决与数列有关的问题时,应充分注意相关知识的性质,仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将qW0这一条件忽视，从而导致错误.求函数在某一点处的极限例求下列极限：（1）「(3x+22x3)lim——-+（1）x―2、X2+4x3+2J「2X2+17X+35(2)lim ————xTX2+13X+40(3)sin2(3)X—01-cos3X(4)(4)limX—3、X-3X2619)分析：第（1）题中，X-2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限;0（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0,属“0”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“8-8”型,也应先对函数作适当的变形,再进行极限的运算．

解：（1）lim解：（1）lim=limx-2+limx-22x3lim(3x+2) lim2x3x>2 +x>2 lim(x2+4)lim(x3+2)x-2 x-23limx+lim2 2limx3—x>2 x>2—+ x>2 limx3+lim4limx3+lim2x-2xx-2x-2 x-2x-23x23x2+22x22 8+ =1+22+4 23+2 5135.(2)limx-52x2+17x+35(2)limx-52x2+17x+35x2+13x+40二5(x+5)(2x+7);limx-5(x+5)(x+8) x-52x(—5)+7

(—5)+8(3)limx-0sin2x1-COS3x=limx-01-C0S2x(1-cosx)(1+cosx+COS2x)=lim1+cosx-01+cosx+cos2x1+1 2((4((4)limx-3\(x+3)—6=lim =limx-3x2—9 x-31116说明：不能错误地认为，由于16说明：不能错误地认为，由于lim--不存在，lim——-也不存在，x-3x—3 x-3x2—9因此（4）式的极限不存在．（4）属于极限不存在．（4）属于8—8”型，一般要先对函数式进行变形，变为“00”型或“型，