平面点集与多元函数市公开课金奖市赛课一等奖课件

§1平面点集与多元函数多元函数是一元函数推广,它保留着一元函数许多性质,同时又因自变量增多而产生了许多新性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数能够以便地推广到普通多元函数中去.返回一、平面点集二、R2上完备性定理三、二元函数第1页第1页一、平面点集※平面点集一些基本概念由于二元函数定坐标平面上满足某种条件P

点集合,称为平对与平面上所有点之间建立起了一一相应.在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数义域是坐标平面上点集,因此在讨论二元函数之前，有必要先理解平面点集一些基本概念.

面点集,记作第2页第2页比如：

(2)(3)第3页第3页图16–1

(a)

圆C

(b)矩形S

图16–2

(a)

圆邻域

(b)

方邻域

第4页第4页由于点

A任意圆邻域能够包括在点

A某一方邻域之内(反之亦然),因此通惯用“点A邻用记号或来表示.

点

A空心邻域是指:或并用记号

来表示.域”或“点A邻域”泛指这两种形状邻域,并第5页第5页注意:不要把上面空心方邻域错写成

:(请指出※

点和点集之间关系下列三种关系之一

:任意一点

与任意一个点集

之间必有是E内点;由E全体内点所构成集合称为(i)内点——若则称点

AE内部,记作intE.

错在何处?)第6页第6页(ii)外点——若则称点A是

E外点；由

E全体外点所构成集合(iii)

界点——若

恒有(

其中

),则称点A是E界点;由E全体界点所构成集合称为E边界;记作注

E内点必定属于E;E外点必定不属于E;

E界点也许属于E,也也许不属于E.并请注意:称为E外部.

第7页第7页只有当时,E外部与

才是两个相同集合.图16–3例1

设平面点集（见图16–3）于D;满足一切点也是D内点;满足一切点是D界点,它们都属满足一切点都是D界点,但它们都不属于D.第8页第8页点A与点集E上述关系是按“内-外”来区别.另外，还可按“疏-密”来区别，即在点A近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)

聚点——若在点A任何空心邻域内都含有E中点，则称点A是点集E聚点．注1聚点本身也许属于E，也也许不属于E.注2聚点上述定义等同于:“在点A任何邻域内都含有E中无穷多个点”.注3

E全体聚点所构成集合称为E导集,记第9页第9页作

又称为E

闭包,记作比如,对于例1中点集D,它导集与闭包同为其中满足

那些聚点不属于D,而其余

所有聚点都属于D.(ii)

孤立点——若点

,但不是E聚点（即有某δ

>

0,使得

则称点A是

E孤立点.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点界点必第10页第10页为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2

设点集

显然,E中所有点(p,q)全为E孤立点;并有※

一些主要平面点集依据点集所属点所含有特殊性质,可来定义一些主要点集.开集——若E所属每一点都是E内点(即E=

intE),则称E为开集.第11页第11页E为闭集.比如前面列举点集中,(2)式所表示C是开集;(3)式所表示S是闭集;(4)式所表示D既非开集,又

非闭集;而(1)式所表示R2既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2

与

是既开又闭.开域——若非空开集E含有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E有限折线相连接,闭集——若E所有聚点都属于E

则称E为闭集.若E没有聚点这时也称

第12页第12页则称E为开域.简朴地说,开域就是非空连通开集.

闭域——开域连同其边界所成集合称为闭域.区域——开域、闭域、开域连同其一部分界点所成集合,统称为区域.不难证实:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.在前述诸例中,(2)式C是开域,(3)式S是闭域,(1)式R2既是开域又是闭域,(4)式D是区域(但既不是开域又不是闭域).又如第13页第13页它是I、III两象限之并集.即使它是开集,但因不含有连通性,因此它既不是开域,也不是区域.有界点集——对于平面点集E,若使得其中O是坐标原点(也能够是其它固定点),则称E

为有界点集.不然就为无界点集(请详细写出定义).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.E为有界点集另一等价说法是:存在矩形区域第14页第14页另外，点集有界性还能够用点集直径来反应,

所谓点集E直径,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

与P2(x2,y2)之间距

离,即

于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.依据距离定义,不难证实下列三角形不等式:

第15页第15页二、R2上完备性定理

※

平面点列收敛性定义及柯西准则反应实数系完备性几种等价定理,构成了一元函数极限理论基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论基础.

第16页第16页定义1

设

为一列点,为一固定点.则称点列{Pn}收敛于点P0,

记作同样地有第17页第17页由于点列极限这两种等价形式都是数列极限,因

此马上得到下述关于平面点列收敛原理.

定理16.1(柯西准则)收敛充要条件是:证（必要性）第18页第18页应用三角形不等式,立刻得到(充足性)当(6)式成立时,同时有这阐明{xn}和{yn}都满足关于数列柯西准则,

因此它们都收敛.

由点列收敛概念,推知

{

Pn

}

收敛于点P0(x0,y0).

第19页第19页

(这是一个主要命题,证实留作习题.)第20页第20页定义2

设平面点集,若按照某相应法则f,

D中每一点P(x,y)都有惟一拟定实数z与之相应,则称f为定义在D上二元函数(或称f为

D到R一个映射),记作也记作或点函数形式第21页第21页与一元函数相类似,称D为f定义域;而称

为f在点P函数值;全体函数值集合为f

值域,记作.通常把P坐标x与y称为f自变量,而把z称为因变量.

当把和它所相应

一起构成

三维数组(x,y,z)时,三维点集便是二元函数f图象.通常该图象是一空间曲

第22页第22页面,f定义域D是该曲面在xOy平面上投影.

例7

函数图象是R3

中一个平面,其定义域是R2,值域是R.例8定义域是xOy平面上

单位圆域,值域为区间[