2020-2021高一数学上期末一模试卷及答案

G-2)x,x>2(1

J成立，则实数a的取值范围为（）（131A.(—8,2)B.-0C,TC.(—8,2]D.3.函数/(x)=logQ-2x)的单调递增区间为（）A.(一84),(2,+oo)C.(-oo,0)D.(1,+oc)4.［只表示不超过实数x的最大整数,G-2)x,x>2(1

J成立，则实数a的取值范围为（）（131A.(—8,2)B.-0C,TC.(—8,2]D.3.函数/(x)=logQ-2x)的单调递增区间为（）A.(一84),(2,+oo)C.(-oo,0)D.(1,+oc)4.［只表示不超过实数x的最大整数,）是方程lnx+3x—1。=。的根，则［帝］=（）A.1B.2C.3D.4.已知函数)=/(x)(x£A)满足〃x+D+/(—x)=。，若方程k，有20222x-l个不同的实数根x(/=1,2,3•«•,2022),则%+元+元 1"兀I 1 2 3 2022A.1010 B,2020C.1011 d,2022.函数〃%）的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C,函数gOO的图像与函数图像。关于y=x成轴对称，那么gQ）=A./(X+D)c./W+1D./W-1的图象大致是（)A.In1x17.函数y=——x8.A.7(-1)</(2)<7(0)c.7(0)</(-1)</(2)b.7(-1)<7(0)</(2)D.7(2)</(-1)<7(0)2020-2021高一数学上期末一模试卷（及答案）一、选择题71 71.已知奇函数y=/（x）的图像关于点（3,0）对称，当％£［。,万）时，/（x）=l-cosx,5兀则当XE( 3兀]时，的解析式为()A./(x)=-l-sinxb./(x)=l-sinxc./(%)=-l-cosxd./(x)=1-cosx/（X）-/（X）,满足对任意的实数xWx都有——3 。＜0.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10ig］的定义域和值域相同的是（）y=xy=xy=lgxy=2x.已知a=10g32,b=20.1,c=sin789°,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a11.若函数f(x)={[a]，X/T°)，则f(1og43)=()4x,xe[0,1]A.1 B.1 C.3 D.43 4.已知函数f(x)=g(x)+x，对任意的xeR总有f(—x)=—f(x)，且g(—D=1，则g(1)=()—1-33D.二、g(1)=()—1-33D.二、填空题13.已知函数f(x)=<“4 ,1+-,(x>4)x10g21<。<x<4).若关于x的方程，f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是14.已知函数fG)14.已知函数fG)=|2+Inx|,x>0-x2-2x+1,x<0,若存在互不相等实数abc、〃,有f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则a+b+c+d的取值范围是15.若当015.若当0<x<1n2时，不等式ax—e-x)+2x+e-2x)+2>0恒成立，则实数a的取值范围是..对于复数a,b,c,d，若集合S=｛勿b,c，d｝具有性质“对任意x，yeS，必有a=1,xyeS"，则当｛b2=1,时，b+c+d等于c2=b… 1m已知函数于(x)=a+e是奇函数,则:'的值为——18.函数f(18.函数f(x)=3x+1(x<0)-3-x+1(x>0)若函数y=m的图像与函数y=f(x)的图像有公共点，则m的取值范围是.(a-2)x,x>2.已知函数f(x)=v1y1c,满足对任意的实数1x。，都有K ―1,x<2 1 2[I2]

f(X)-f(x)-1 A<0成立，则实数a的取值范围为 .X—X20.定义在R上的函数f心)满足f(x)=-f(x+2),f(x)=f(2—x)，且当xG[0,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=工在[—6,10]上所有根的和为 .x—2三、解答题21.已知函数f(x)=logx^1.2x—1(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)若对于xg[2,4],恒有f(x)>10g--m——-成立，求实数m的取值范围.2(x—1)-(7—x).已矢口f(x)=log2(2—x)+log2(2+x).⑴求函数f(x)的定义域；⑵求证：f(x)为偶函数；⑶指出方程f(x)二|x|的实数根个数，并说明理由..已知函数f(x)=1ogJ-m+”,其中m为实数.21x—1)(1)若m=1,求证：函数f(x)在(1,+s)上为减函数；(2)若f(x)为奇函数，求实数m的值.24.计算或化简：1212+0.1—2+27、64)3—九0—log32;4(2)log>/27—log2-log3—610g63-lg^/2—lg^/5..已知/一「以，中丁小，，「.(1)若函数/।•”的定义域为出求实数小的取值范围；1(2)若函数八门在区间 ■,工上是递增的，求实数的取值范围..已知函数f(x)=ax(a>0,且a丰1)，且f|)=8.J(2)⑴若f(2m—3)<f(m+2),求实数m的取值范围；⑵若方程।f(x)—11=t有两个解,求实数t的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题C解析：C【解析】八兀、八兀、Xe0,-，结合奇偶性与对称性即可得到结果_27〒，3兀时，3兀一V2 .【详解】因为奇函数y因为奇函数y=f(x)的图像关于点+,0〕对称，所以f（8+x）+f（-x）且f(―x)=—f(X)，所以f(冗+X)=f(X)，故f(x)是以兀为周期的函数.-y，3兀时，3兀-故f（3兀一x）=1-cos（3兀一x）-y，3兀时，3兀-因为f(x)是周期为兀的奇函数，所以f(3冗-X)=f(-X)=-f(X)XGf，3兀V2故-f（X）=1+COSX，即f（X）XGf，3兀V2故选C【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题B解析：B【解析】【分析】【详解】a-2<0试题分析：由题意有，函数f(X)在R上为减函数,所以有｛/ 6一解出(a-2)x2<(-)2-12aQ13,选B.8考点：分段函数的单调性.【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题.从题目中对任意的实数X1WX2，都有f(X)-f(X)一1 。<0成立，得出函数f(X)在R上为减函数，减函数图象特征:从左向右看，图X-X1 13象逐渐下降，故在分界点％=2处，有（a-2）x2<（7）2—1,解出〃《 本题容易出错的地方2 8是容易漏掉分界点X=2处的情况.C解析：C【解析】【分析】求出函数/（%）=1。8工、2-2尤）的定义域，然后利用复合函数法可求出函数y=/（无）的2单调递增区间.【详解】解不等式x2—2x>0,解得x<。或x>2,函数的定义域为（一s,0）U（2,+8）.内层函数M=x2—2x在区间（―8,。）上为减函数，在区间（2,+8）上为增函数，外层函数y=i°g」在（。，—）上为减函数,2由复合函数同增异减法可知，函数故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.B解析：B【解析】【分析】先求出函数/G）=1m+3x-1。的零点的范围，进而判断土的范围，即可求出【详解】由题意可知七是/Q）=lm3xT0的零点，易知函数/（、）是（0,+8）上的单调递增函数，而/（2）=ln2+6-10=ln2-4<0,/（3）=ln3+9-10=ln3-l>0,即/（2）3（3）<0所以2<%<3,结合DJ的性质，可知%]=2.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题.

C解析：c【解析】flA都关于彳，°对称，所有/(%)7flA都关于彳，°对称，所有/(%)71二e的所有零点都关于函数/(%)和丁=77」2x-l根据对称性计算\+乜+&+…+X2022的值•【详解】•//(x+l)+f(-x)=0,・••/G)关于R，。］对称，7TOC\o"1-5"\h\z1 /1小而函数y=——；也关于彳，°对称，2x—1 )・•・/(x)=；7二的所有零点关于R，0］对称，2x—1 y2y.,./(x)=J:的2022个不同的实数根X.(2=123…,2022),2x—1 1(1、有ion组关于-,0对称，17「.x+x+...+X=1011x1=10111 2 2022故选：C【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型D解析：D【解析】【分析】首先设出y=g。)图象上任意一点的坐标为(羽y),求得其关于直线y二X的对称点为(乂兀)，根据图象变换，得到函数的图象上的点为(元一+1),之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果.【详解】设y=g(x)图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线y=%的对称点为(乂x),再将点(y，x)向左平移一个单位，得到(y+1/),其关于直线y二x的对称点为(1,y+1),该点在函数f(x)的图象上，所以有y+1=f(x),所以有y=f(x)-1，即g(x)=f(x)-1,故选：d.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y=x对称，属于简单题目.C解析：C【解析】lnx分析：讨论函数y=——性质，即可得到正确答案.x详解：函数y= ^的定义域为｛x|x丰。｝,,:((-x)= = =-((X)x xxx・•・排除B,当x>0时，y=一—=nx，,y'=11nx,函数在(。,e)上单调递增，在(e,+s)上单调递xxx2减，故排除A,D,故选C.点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用.C解析：C【解析】【分析】先根据y=f(x-2)在［0,2］是单调减函数，转化出y=f(x)的一个单调区间，再结合偶函数关于y轴对称得b，21上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】••y=f(x—2)在［0,2］是单调减函数，令t=x-2，则t£［一2,0］,即f(t)在［-2，。］上是减函数二y=f(x)在［-2，0］上是减函数函数y=f(x)是偶函数，二y=f(x)在［0，2］上是增函数••f(-1)=f(D,则f(0)<f(-1)<f(2)故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础.D解析：D【解析】试题分析:因函数y=101gx的定义域和值域分别为工：：」■.二：，；,故应选d.考点：对数函数幕函数的定义域和值域等知识的综合运用.B解析：B【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知a=log2<log33=-<亘,3 3 4 2由指数函数的性质b=20.1>1,由三角函数的性质c=sin7890=sin(2*3600+69。)=sin69。>sin600，所以ce(导1)，所以a<c<b，故选B.C解析：C【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.【详解】f(1og43)=410g4=3，选C.【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.B解析：B【解析】由题意，f(-x)+f(x)=0可知f(x)是奇函数，•・・f(x)=g(x)+|x|,g(-1)=1,即f(-1)=1+1=2那么f(1)=-2.故得f(1)=g(1)+1=-2,/.g(1)=-3,故选：B二、填空题13.【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有解析：(1,2)【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，一一4 一一4当x>4时，f(x)=1+一单调递减，且1<1+-<2，当0<x<4时，f(x)=logx单调x x 2递增，且f(x)=log2x<2，所以函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点时，有1<k<2.14.【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图「11 1 \解析：一+--2,-—1_e3e e4J【解析】【分析】不妨设。力<0,c,d>0，根据二次函数对称性求得a+b的值.根据绝对值的定义求得gd的关系式，将d转化为c来表示，根据c的取值范围，求得a+b+c+d的取值范围.【详解】不妨设a,b<0,c,d>0，画出函数f(x)的图像如下图所示.二次函数y二-x2—2x+1的对称轴为x=-1,所以a+b=—2.不妨设c<d，则由|2+lnc|=|2+lnd|得-2-lnc=2+lnd,得cd=e-4,d=——,结合图像可知1<I2+lnc|<2，解得cce（e-4,e-3，所以a+b+c+d=-2+c+e^C£（e-4,e-3），由于y=-2+x+e^在c J x【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时.••即综上故答案为：【 25解析：［—-,+^）6【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式.然后用分离参数法转化为求函数最值.【详解】1 八3设t=ex-e-x,t=ex-e-x=ex-一是增函数，当0<x<ln2时，0<t<-,ex 2不等式a（ex-e-尤）+。2x+e-2尤）+2>0化为at+12+2+2>0，即12+at+4>0,一入, ，…3、，，.、、不等式12+at+4>0在te［0,-］上恒成立，t=0时，显然成立，

TOC\o"1-5"\h\z3、 4 3te(0,—■］，—a«t+对te［0，—］上恒成立，2 t 225"6"，4 3、 25"6"，由对勾函数性质知j=t+在(0,-］是减函数，t==时，y.二mint 2 2 一min/25 、25—a«--,即a—— .6 625综上，a—--.625故答案为：［-石,+8).【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值..-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1【解析】由题意可得：b2=1,a=1,结合集合元素的互异性，则：b=-1,由c2=b=一1可得：c=i或c=-i,当c=i时，bc=-ieS，故d=-i,当c=-i时，bc=ieS，故d=i,综上可得：b+c+d=-1..【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为1解析：-乙【解析】函数fG)=a+―1-是奇函数，可得于(-x)=一于G),即a+―1-=-a-―1-,4兀—1 4-兀—1 4兀—1- 4x 1 1一、，1即2a=~A 1一=1，解得a=7，故答案为—4x—14x—1 2 218.【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m的取值范围是故答案为：【点睛】解析：［0,1)d(1,2)【解析】【分析】作出函数f(x)的图象如下图所示，得出函数f(x)的值域，由图象可得m的取值范围.

【详解】作出函数f（X）的图象如下图所示，函数f（X）的值域为［o,l）o（l,2），由图象可得要使函数y=m的图像与函数y=f（x）的图像有公共点，则m的取值范围是口，1）。〃2）,故答案为：［0,1）D（1,2）.4V > 卜一二 : #飞【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19•【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数;函数故计算得出:点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：⑴若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；⑵分段一一（ 131解析：-8,不k8.【解析】f(X)-f(X)若对任意的实数XwX都有一1一二，<0成立，1 2 X—X则函数f(X)在R上为减函数，(a-2)x,X>2•・.函数f(X)=\(1^X1 。，7―1,X<2〔I27fa-2<0故12(a-故12(a-2)<计算得出:(131&十8T.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：（1）若函数在区间［a,b］上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.20.【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周解析：16【解析】【分析】结合题意分析出函数y=f(x)是以4为周期的周期函数，其图象关于直线x=1对称，由f(2-x)=—f(x+2)可得出函数y=f(X)的图象关于点(2,0)对称，据此作出函数y=f(x)与函数y=-^―在区间匚6,101上的图象，利用对称性可得出方程x-2f(x)=工在匚6,101上所有根的和.x-2【详解】函数y=f(x)满足f(x)=—f(x+2)，即f(x)=—f(x+2)=f(x+4)，则函数y=f(x)是以4为周期的周期函数；f(x)=f(2—x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称；由f(x)=-f(x+2)，f(x)=f(2-x)，有f(2—x)=-f(x+2)，则函数y=f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称；又函数y="的图象关于点(2,0)成中心对称，则函数丁=f(x)与函数y=为在区间匚6,101上的图象的交点关于点(2,0)对称，如下图所示：由图象可知，函数y=f(x)与函数y=x—2在区间［一6，101上的图象共有8个交点,4对交点关于点(2,0)对称，则方程f(x)=」在L6,101上所有根的和为4x4=16.x-2故答案为：16.【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21.(1)奇函数，证明见解析；(2)0<m<15【解析】【分析】(1)先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；⑵由题意,言> >°对对x疑，41恒成立,转化为:；；:+1)(7—x)恒成立，求出函数g(x)=(x+D(7―x)的最小值进而得解.【详解】(1)因为x+1>0，解得X<—1或x>1,X-1所以函数f(x)为奇函数，证明如下：由(1)知函数f(X)的定义域关于原点对称，,,__,、1——— —X+1FX—1F (X+1)-1 、又因为f(—X)=log -=log--=logI-- =—f(X),2—X—1 2X+1 2IX—1)所以函数f(x)为奇函数；(2)若对于xe[2，4],f(x)>10g-一m--恒成立，2(x—1)(7—x)Ix+1「 m即10g >10g-——---对xeL2，4」恒成立，2x—1 2(x—1)(7—x)即W>7―m?>0对xeO,4]恒成立，x—1(x—1)(7—x)因为xeL,4],所以X+1>m—>0恒成立，7—x[m>0即彳 恒成立，[m<(x+1)(7—x)设函数g(x)=(x+1)(7—x),求得g(X)在L,4]上的最小值是15,所以0<m<15.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22.(1)(—2,2)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出x的取值范围即可；(2)根据奇偶性的定义即可证明函数f(x)是定义域上的偶函数.(3)将方程f(x)=X变形为10g2。-X2)=，即4-x2=2□，设g(X)=4-X2-2M(-2<x<2)，再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：(1),：f(x)=log(2-x)+log(2+x)「」2X>0，解得-2<X<2，即函数f(x)的定义域为(-2,2)；[2+X>0(2)证明：•・,对定义域(-2,2)中的任意X,都有f(-x)=log(2+x)+log(2-x)=f(x)・•・函数f(x)为偶函数；(3)方程f(x)二|x|有两个实数根，理由如下：易知方程f(X)=|X|的根在(-2,2)内方程f(x)二x可同解变形为10g2。-X2)=,即4-x2=2Ml设g(X)=4-X2-2M(-2<X<2).当xe[-2,0]时，g(x)为增函数，且g(-2).g(0)=-12<0,则在(-2,0)内，函数g(x)有唯一零点，方程f(X)二|X|有唯一实根，又因为偶函数，在(0,2)内，函数g(x)也有唯一零点，方程f(x)=|x|有唯一实根,所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题.23.(1)证明见解析(2)m=0或m=2【解析】【分析】(1)对于VX1,X2£(1,+3)，且X1<X2，计算f(X1)-f(X2)>。得到证明.(2)根据奇函数得到>/(-x)+f(X)=0，代入化简得到X2-(m-1»=X2-1,计算得到答案.【详解】(1)当m=1时，f(x)=log/=log对于VX1,X2式1*),且X1<X2，f(X)-f(X)=logX—1-log2X-112'

21x1TX-1'•—□ 因为x1<又因x1所以-\

e(1,+s)>-x,所以xx-x>xx-x1>1，所以10g且x1<x2，所以x1x2

(xx-x、2，(x1-1)>0，、x,I，,

'12 2/f(x)-f(x)>0.(2)f(x)=(2)f(x)=log/

若f(x)为奇函数，m八iE+〔J：log